精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年高二下学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第二学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 2. 若服从两点分布，，则为（ ） A. 0.32 B. 0.34 C. 0.66 D. 0.68 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 3. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，则， 因为是增函数，所以，即对任意的恒成立， 所以， 又时，，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故实数的取值范围是. 故选：A. 4. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得． 【详解】由超几何分布概率公式可得，他能及格的概率是： ． 故选：D． 5. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 6. 函数与函数公切线的斜率为（    ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 7. 定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果. 【详解】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”． 故选：A． 8. 已知函数，若，则的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的零点，再根据得到与的关系，最后利用函数性质求出的最小值． 【详解】令，则或． 由可得；由，即，可得． 所以函数的零点为和． 因为恒成立，所以，即． 将代入，可得． 设，对求导，可得． 令，即，因为，所以，解得． 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则，所以在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为1． 故选：A 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有3个零点 B. 的图象关于点对称 C. 既有极大值又有极小值 D. 经过点且与的图象相切的直线有2条 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，因式分解解方程即可，对于B，由，可判断，对于C，求导确定单调性即可判断，对于D，设切点坐标，由导数的几何意义，列出等式求解即可判断. 【详解】，令，得，或， 所以有3个零点，A正确. 所以的图象关于点对称，B错误. ，令，，记方程的两个根为，（）， 易知在，上单调递增，在上单调递减， 所以既有极大值又有极小值，C正确. 设切线与的图象相切于点，， 所以切线方程为. 因为切线经过切点，所以， 整理得，该方程有两个解， 所以经过点且与的图象相切的直线有2条，D正确， 故选：ACD 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第行所有数字之和为 C. 第行的第个数最大 D. 第行中从左到右第个数与第个数之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用组合数运算公式计算；对于B，根据杨辉三角的每行系数和为即可；对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大；对于D，第行第个数为，第个数为，作比较即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 第行所有数字之和为， 以此类推，第行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第行，第个数为， 第个数为，即，故D正确； 故选：ABD. 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由性质的定义结合函数的单调性以及奇偶性即可判断BD，举出反例即可判断AC. 【详解】由性质的定义可知，当时，， 且时，. 对于A，因为的定义域为，值域为， 当时，必有， 所以函数不具有性质，故A错误； 对于B，因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 且，即为奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故B正确； 对于C，取，，即， 则， 所以函数不具有性质，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递增， 且， 所以是奇函数， 设，即，则， 所以； 设，即，则， 所以，所以函数具有性质，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 13. 若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，由导数的几何意义结合题意求出切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，且， 则作出和图像如图： 则曲线上任意一点M到直线的最小距离， 即为斜率为3的切线的切点到直线的距离； 设与直线平行的直线与曲线相切于点， 因，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，即切点为， 所以切点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______. 【答案】 ①. 240 ②. 【解析】 【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字组成的五位五进制数的个数，设构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，根据，将问题化为能被3整除，结合进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率. 【详解】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现， 则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字， 再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列， 最后剩余两个位置排重复数字， 故所求不同的五位五进制数共有个， 数字组成的三位五进制数总共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为， 转化成十进制数后此数为， 此数能被3整除等价于能被3整除， 因为，所以能被3整除的只有三种情况， 若，则的取值有、两种， 若，则的取值有、、、、五种， 若，则的取值有、两种， 故能被3整除的数共有个，则所求概率为. 故答案为：240， 【点睛】关键点点睛：对于构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，将问题化为能被3整除是关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程. （2）分析函数的单调性，可得函数的最小值. 【小问1详解】 因为：，所以切点坐标为：， 又，，即为所求切线的斜率. 所以切线方程为：，化简得： 【小问2详解】 ，（） 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在区间上的极小值为，也是最小值. 16. 在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． （1）求p的值； （2）设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案. （2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列. 【小问1详解】 因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以，则． 【小问2详解】 由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②比较与的大小并说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论函数单调性； （2）①求导，根据函数有两个极值点可转化为导函数有两个变号零点，结合二次方程解的情况可得参数范围；②根据韦达定理可得，构造函数，根据导数判断函数单调性与最值情况，即可得解. 【小问1详解】 由已知， 则， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增； 当时，令，可得，（舍）， 即当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①由，则， 由函数有两个极值点，， 可知有两个变号零点，， 令，即， 则，解得； ②，， 设，， 则， 所以在上单调递减， 所以， 即， 即. 18. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； （3）测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】这道题考查的是条件概率性质的应用、利用二项分布求分布列、求递推关系式、利用全概率公式求概率的综合运用. （1）设为三人满分的人数，可知，可得的分布列； （2）根据条件概率公式、全概率公式求解即可； （3）设数列，表示第次传球后球在乙手中的概率，先探索数列的递推公式，再求它的通项公式. 【小问1详解】 该校随机抽取三人，每个人满分的概率为， 设抽取的三人中满分人数为，则， 则，， ，， 则的分布列为： 【小问2详解】用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则，， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又因为 所以， 故， 所以. 【小问3详解】 记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 则有，所以， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率. 19. 定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． （1）判断函数与是否具有“关于的”关系； （2）若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； （3）若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，利用零点存在定理可得出结论； （2）由题意可知，对任意的，可得，令，其中，则直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）分析可知，则存在，使得，构造函数，其中，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数与的定义域均为， 若函数与具有“关于的”关系， 则存，使得，即，即， 令，其中，则该函数在连续， 因为，，所以， 由零点存在定理可知存在，使得，即， 所以函数与具有“关于的”关系. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，函数与不具有“关于的”关系， 则对任意的，，可得， 令，其中，则， 令可得，当x变化时变化情况如下表所示： 增 极大值 减 所以函数的最大值为，如下图所示： 要使得直线与函数的图象没有公共点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 若函数与在区间上具有“关于的”关系， 则存在，使得，即，即， 令，其中，则， 令，其中， ①当时，对任意的，恒成立， 此时，函数在上为减函数，则，不合乎题意； ②当时，则， （i）若时，即当时， 对任意的，恒成立，此时，函数在上单调递增， 此时，，则函数在上单调递增， 当时，，不合乎题意； （ii）若时，即当时， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以， 当时，，所以存在，使得， 故当时，函数与在区间上具有“关于的”关系. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 20. 已知函数，， （1）当时，设函数的图象、的图象与函数的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ中点M的坐标. （2）若对恒成立，求实数k的取值范围. （3）若函数至少有两个相异的零点，求整数k的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用互为反函数，又函数图象也关于直线对称，可求线段PQ中点M的坐标. （2）由题意恒成立，可令，利用单调性可得，参变分离，可得，令，求导可得其最大值，进而可得k的取值范围； （3）求导，由（2）可得，函数至多只有一个零点，可得，由，可得函数至少存在两个零点，可得结论. 【小问1详解】 当时，函数与函数互为反函数， 两个函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称， 所以P，Q关于直线对称. 综上可知点M为函数图象与直线的交点， 计算可得M的坐标为 【小问2详解】 不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立， 构造函数，上式等价于 易知为单调递增函数，所以，等价于， 设函数，求导可得， 当时，；当时，； 由此可得在上单调递增，在上单调递减， 即可得，由此可得k的取值范围是 【小问3详解】 的定义域为，由函数， 可得， 由（2）可知，当时，， 即可得在上单调递增，所以函数至多只有一个零点. 所以当函数至少有两个相异的零点时，， 又因为k为整数，所以不妨令，则， 当时，，，当时，， 此时函数至少存在两个零点，由此可得整数k的最大值为 【点睛】关键点点睛：恒成立，得到，利用同构令，利用单调性得到，进而计算可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第二学期 2026届高二年级期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若服从两点分布，，则为（ ） A. 0.32 B. 0.34 C. 0.66 D. 0.68 3. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 6. 函数与函数公切线的斜率为（    ） A. 或 B. C. 或 D. 或 7. 定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 20 8. 已知函数，若，则的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. e 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确是（ ） A. 有3个零点 B. 的图象关于点对称 C. 既有极大值又有极小值 D. 经过点且与的图象相切的直线有2条 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第行所有数字之和为 C. 第行的第个数最大 D. 第行中从左到右第个数与第个数之比 11. 若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 若M是曲线上任意一点，则点M到直线最小距离为_________. 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为． （1）求p的值； （2）设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②比较与的大小并说明理由. 18. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； （3）测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 19. 定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． （1）判断函数与是否具有“关于的”关系； （2）若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； （3）若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 20. 已知函数，， （1）当时，设函数的图象、的图象与函数的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ中点M的坐标. （2）若对恒成立，求实数k的取值范围. （3）若函数至少有两个相异的零点，求整数k的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $