精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县2024—2025学年九年级下学期5月期中数学试题

哈尔滨市2025年初中毕业学年调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到视图是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 当时，有最大值是1 6. 如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 如图，直线交于点O，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 10. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若函数在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是_________． 13. 如图，是内接三角形，，过点C的圆的切线交于点P，则的度数为__________． 14. 在一个不透明的纸箱内装有五张形状、质地、大小完全相同的卡片，五张卡片分别标有1，2，3，4，5五个数字，从中随机抽取两张卡片，卡片上两个数字积为偶数的概率为________． 15. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 16. 不等式组的解集是_____． 17. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ______． 18. 定义“*”是一种运算符号，规定a*b=5a+4b+2015，则（﹣4）*5的值为_____． 19. 如图，在中，，，，为中点．若点在边上，且，则的长为______． 20. 如图，在中，D为边上一点，，过点C作于E，交于点F．给出以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论是______．（请将正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请用直尺在图中画图形，分别满足以下要求： （1）在图中画一个以线段为一边的平行四边形，所画平行四边形的各顶点在小正方形的顶点上，且它的面积为12； （2）连接，在边上取一点E，连接，使四边形的面积为8． 23. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求本次调查的学生的人数； （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著？ 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 25. 2023年4月，省发展改革委分解下达我省教育强国推进工程2023年中央预算内投资4亿多元，包括公办幼儿园和义务教育学校2个建设专项．现某幼儿园建设工程由甲、乙两个工程队共同承担主体工程建设任务，已知甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ （2）若甲、乙两队共同施工3天后，剩余部分由甲队单独施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高为原来的2倍，当甲队的总工作量不少于乙队的2倍时，甲队至少需单独施工多少天？ 26. 已知：中的两条弦交于点E，，连接交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作，交于F，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于K，交于G，M为弧上一点，连接交于点N，若，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，与直线交于点C，C点的横坐标为6． （1）如图1，求直线解析式； （2）如图2，过点C作轴于点F，点D为x轴负半轴上一点，连接，，若点D横坐标为t，的面积为S，当平分时，求S与t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，E为y轴正半轴上一点，连接，射线与射线关于直线对称，G为中点，连接并延长交射线于点I，在线段上取一点J，使，过点E作交于点K，垂足为H，过点D作交射线于L，当，时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市2025年初中毕业学年调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．根据无理数是无限不循环小数即可得到答案． 【详解】解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故为无理数， 故选C． 2. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和轴对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义作答即可 【详解】A、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； B、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求； D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； 故选：C． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 五个大小相同正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图．根据简单组合体三视图的画法画出正面看到的图形． 【详解】解：根据主视图的定义可知，从正面看，从左往右分别有个小正方形． 故选D． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 当时，有最大值是1 【答案】C 【解析】 【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值． 【详解】解：由得，开口向上，选项A不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，选项C符合题意； 当时，有最小值为1，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 6. 如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在BA上截取BE=BN，构造全等三角形△BME≌△BMN，利用三角形三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，BA上截取BE=BN， 因为∠ABC的平分线交AC于点D， 所以∠EBM=∠NBM， 在△BME与△BMN中， 所以△BME≌△BMN（SAS）， 所以ME=MN． 所以CM+MN=CM+ME≥CE． 因为CM+MN有最小值． 当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值 此时，∵∠ABC=60°，CE⊥AB， ∴∠BCE=30°， ∴BE=， ∴CE=， 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称的应用，最短路径问题，垂线段最短等知识．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把CM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 8. 如图，直线交于点O，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，， 是线段的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 10. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若函数在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握求函数自变量的取值范围是解题的关键．根据分式有意义，分母不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，， ， 实数的取值范围是． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，是的内接三角形，，过点C的圆的切线交于点P，则的度数为__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】设交于点，连接，，根据圆内接四边形对角互补和圆周角定理求出，由切线的性质得出，最后利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】设交于点，连接，， ∵， ∴． ∴． ∵切于点， ∴． ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，涉及圆内接四边形对角互补，圆周角定理，切线的性质，三角形外角的性质等，正确添加辅助线，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 14. 在一个不透明的纸箱内装有五张形状、质地、大小完全相同的卡片，五张卡片分别标有1，2，3，4，5五个数字，从中随机抽取两张卡片，卡片上两个数字积为偶数的概率为________． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中卡片上两个数字积为偶数的结果有14种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中卡片上两个数字积为偶数的结果有14种， ∴卡片上两个数字积为奇数的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 16. 不等式组的解集是_____． 【答案】﹣1≤x＜3． 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式x﹣3＜0，得：x＜3， 解不等式，得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜3， 故答案为：﹣1≤x＜3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大，同 小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=，得R=． 【详解】根据扇形的面积公式，得 R===6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 18. 定义“*”是一种运算符号，规定a*b=5a+4b+2015，则（﹣4）*5的值为_____． 【答案】2015 【解析】 【详解】利用已知的新定义计算，即可得到（﹣4）*5=﹣20+20+2015=2015， 故答案为2015 19. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为______． 【答案】或##4或2 【解析】 【分析】由含的直角三角形的性质可求，，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 点为的中点， ， ，即， ， 如图，当时，  ，， ， ，即， ； 如图，当时，取的中点，连接，    为的中点，点是的中点， ，， ，， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 20. 如图，在中，D为边上一点，，过点C作于E，交于点F．给出以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的结论是______．（请将正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】如图，过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用直角三角形两锐角互余可判定①正确；由无法判定可判定②错误；由，可判定，根据相似三角形的性质可判定③正确，利用证明，得出，根据证明，即可得出，设，则，，利用得出，即可判定④正确，综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∵无法确定， ∴不一定正确，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则化简分式，然后根据特殊角的三角函数值求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式混合运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 22. 如图网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请用直尺在图中画图形，分别满足以下要求： （1）在图中画一个以线段为一边的平行四边形，所画平行四边形的各顶点在小正方形的顶点上，且它的面积为12； （2）连接，在边上取一点E，连接，使四边形的面积为8． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、利用网格面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据网格的特点和平行四边形的判定构造四边形是平行四边形，面积为即可； （2）根据网格中三角形面积得到，符合要求． 【小问1详解】 解：如图，平行四边形即为所求， 【小问2详解】 如图，四边形即为所求． 23. 《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求本次调查的学生的人数； （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著？ 【答案】（1）40人 （2）见解析 （3）全校大约有540名学生读完了2部以上（含2部）名著 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用阅读2部的人数除以其百分比，即可解题； （2）利用总人数减去阅读0、2、3、4部的人数，进而得到阅读1部的人数，进而补全条形统计图，即可解题； （3）利用900乘以读完了2部以上（含2部）的人数所占比，即可解题． 小问1详解】 解：本次调查被调查的学生为：（人）； 【小问2详解】 解：1部的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， ∴全校大约有540名学生读完了2部以上（含2部）名著． 24. 已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD； （2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍． 【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 【解析】 【详解】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得； （2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD， ∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD； （2）设DE=a， 则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵， ∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2， S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2， 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 25. 2023年4月，省发展改革委分解下达我省教育强国推进工程2023年中央预算内投资4亿多元，包括公办幼儿园和义务教育学校2个建设专项．现某幼儿园建设工程由甲、乙两个工程队共同承担主体工程建设任务，已知甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ （2）若甲、乙两队共同施工3天后，剩余部分由甲队单独施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高为原来的2倍，当甲队的总工作量不少于乙队的2倍时，甲队至少需单独施工多少天？ 【答案】（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天； （2）甲队至少再单独施工3天． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，不等式的应用，解答时验根是学生容易忽略的地方． （1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可； （2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要天， 由题意，得， 解得：． 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天； 【小问2详解】 设甲队再单独施工a天， 由题意，得， 解得：． 答：甲队至少再单独施工3天． 26. 已知：中的两条弦交于点E，，连接交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作，交于F，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于K，交于G，M为弧上一点，连接交于点N，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由弧、弦之间的关系得到弧弧，则，连接，则，根据线段垂直平分线的判定即可； （2）设，根据外角以及互余得到，则由已知可得，那么由三角形内角和定理可得，则，再由平行线分线段成比例定理即可证明； （3）如图2，过点E作交于T，导角证明，则，则，设，则，可得，则在中，，可得，那么由勾股定理得，则，故，解直角三角形得，连接，过点G作于W，导角证明为直径，由圆周角定理得，也可得到，设，，由勾股定理得，，则，解得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1： ∵， ∴弧弧， ∴弧弧， ∴， ∴， 连接，， ∴点E，点O在线段的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴为的垂直平分线， ∴； 【小问2详解】 证明：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由上可得：为的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过点E作交于T， ∵， ∴, ∵弧弧， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，过点G作于W， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，难度大，对解直角三角形要求很高． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，与直线交于点C，C点的横坐标为6． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，过点C作轴于点F，点D为x轴负半轴上一点，连接，，若点D横坐标为t，的面积为S，当平分时，求S与t的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，E为y轴正半轴上一点，连接，射线与射线关于直线对称，G为中点，连接并延长交射线于点I，在线段上取一点J，使，过点E作交于点K，垂足为H，过点D作交射线于L，当，时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，求得点C的坐标，再将点C的坐标代入，可求得a的值，即得答案； （2）过点O作于M，先根据全等三角形的判定与性质，求得，，然后证明，并设，根据勾股定理列方程求得，再根据相似三角形的判定与性质求得，最后根据求解即可； （3）在上取，连结，过点D作于点R，连接，过点K作于Q，先证明，再逐步求出点K和点L坐标，最后用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 把代入， 得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点O作于M， 轴， ， 平分， ， ， ， ，， 轴， 轴， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 轴， ， ， ， 解得， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，G为中点， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在上取，连结， ，， ， ， 射线与射线关于直线对称， ， ， ， ，， G为中点， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 过点D作于点R， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 过点K作于Q， ， ， ， 解得， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得，， 直线解析式． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合性问题，结合轴对称的性质、相似三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，添加辅助线，理清分析思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $