精品解析：北京市第二十五中学2024-2025学年高二下学期期中过程性评价数学试卷

北京市第二十五中学2024-2025学年第二学期期中过程性评价 高二 数学 2025年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置. 每小题4分，合计40分） 1. 书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ） A. 9 B. 12 C. 20 D. 24 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 为了配合创建全国文明城市活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 为了研究某校男生的脚长(单位；)和身高(单位：)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于的经验回归方程为.已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则 A. B. C. D. 10. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题5分，合计25分） 11. 已知函数，则_______． 12. 《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制_________个名字. 13. 离散型随机变量分布列如表，则实数a＝________；E（）＝________． －1 0 1 P a 14. 已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝_____，展开式中的常数项是____． 15. 已知函数定义域是，关于函数给出下列命题： ①对于任意，函数是上的减函数； ②对于任意，函数存在最小值； ③存在，使得对于任意的，都有成立； ④存在，使得函数有两个零点． 其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，合计85分. 解答须写出文字说明证明过程和演算步骤） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17. 有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答) （1）选4人排成一排; （2）排成前后两排,前排1人，后排4人; （3）全体排成一排,女生必须站在一起; （4）全体排成一排,男生互不相邻; （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边; （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边; （7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前. 18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示. （1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； （2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； （3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：函数是单调函数； 条件②：函数有且只有一个大于零的极值点. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （Ⅰ）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望. 21. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． P（K2≥k0） 010 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5024 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十五中学2024-2025学年第二学期期中过程性评价 高二 数学 2025年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（请把答案填在机读卡相应位置. 每小题4分，合计40分） 1. 书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ） A. 9 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】分两步完成： 第一步，从上层取1本数学书，有4种不同的取法； 第二步，从下层取1本语文书，有5种不同的取法， 由分步乘法计数原理得共有种不同的取法. 故选：C 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以的系数为. 故选：D. 3. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解. 【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以； 由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现负相关，所以； 由散点图（3）可得，变量与变量之间不相关，所以， 所以. 故选：B. 4. 设随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再求对称轴即可得到答案. 【详解】， 所以，即. 所以. 故选：C 5. 为了配合创建全国文明城市活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140种 B. 84种 C. 70种 D. 35种 【答案】C 【解析】 【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解. 【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况. 若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况. 所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有 故选C. 【点睛】本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题. 6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象求出函数的单调区间，由此判断即可得解. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，ABC错误，D正确. 故选：D 7. 为了研究某校男生的脚长(单位；)和身高(单位：)的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系.设关于的经验回归方程为.已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，从而得到回归直线方程为，再代入求解即可. 【详解】由题知：，， 又因为回归直线为，所以，解得. 即回归直线为. 所该男身高为. 故选：C 8. 函数在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意恒成立，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为定义域为，且， 又函数在上是减函数， 所以恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，若，不恒成立，所以不合题意， 若，因为恒成立，则恒成立； 综上可得. 故选：D 9. 从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式可得解. 【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数， 所以，， 由条件概率可得：， 故选D. 【点睛】本题考查条件概率，属于基础题. 10. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据贝叶斯概率公式计算即可. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故所求概率． 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题（请把答案写在答题纸相应位置，每题5分，合计25分） 11. 已知函数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可. 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 12. 《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制_________个名字. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有种不同命名分式，即可求解. 【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有种不同命名分式， 所以还可以命制个名字. 故答案为：. 13. 离散型随机变量的分布列如表，则实数a＝________；E（）＝________． －1 0 1 P a 【答案】 ① ## ②. ## 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质可知，可得，再由数学期望的定义求期望. 【详解】由离散型随机变量的分布列得，解得． 所以 故答案为：； 14. 已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝_____，展开式中的常数项是____． 【答案】 ①. 4 ②. 24 【解析】 【分析】由二项式的和有求n值，写出二项式展开式通项，进而求常数项. 【详解】由题意，则，故二项式展开式的通项为， 令，得，故展开式中的常数项为24. 故答案为：4，24 15. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题： ①对于任意，函数是上的减函数； ②对于任意，函数存在最小值； ③存在，使得对于任意的，都有成立； ④存在，使得函数有两个零点． 其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 【答案】②④ 【解析】 【详解】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增， 故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④. 点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的 含义，且正确区分两者的不同. 三、解答题（本大题共6小题，合计85分. 解答须写出文字说明证明过程和演算步骤） 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 17. 有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答) （1）选4人排成一排; （2）排成前后两排,前排1人，后排4人; （3）全体排成一排,女生必须站在一起; （4）全体排成一排,男生互不相邻; （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边; （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边; （7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前. 【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20. 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用排列求解； （3）利用捆绑法求解； （4）利用插空法求解； （5）利用优先法求解； （6）利用间接法求解； （7）利用整体法求解. 【详解】（1）选4人排成一排，有种； （2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种； （3）全体排成一排,女生必须站在一起，有种； （4）全体排成一排,男生互不相邻，有种； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种； （7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种. 18. 某移动通讯公司为答谢用户，在其APP上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB）数据，如图所示. （1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率； （2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求的分布列及数学期望； （3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为，，，试比较，，的大小（只需写出结论）. 【答案】（1） （2）的分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可； （2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可. （3）根据数据的集中趋势进行判断即可. 【小问1详解】 由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量， 所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为； 【小问2详解】 由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量， 因此， ，，， 所以的分布列如下图所示： 0 1 2 ； 【小问3详解】 根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的数据最分散， 所以， . 19. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：函数是单调函数； 条件②：函数有且只有一个大于零的极值点. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）若选条件①：则或恒成立，若恒成立，则，若恒成立，则，即可求出参数的取值范围；若条件②：分，和三种情况讨论，再根据极值点的定义结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【小问1详解】 若时，，定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，. 【小问2详解】 因为定义域为，且； 若选条件①：函数是单调函数，则或恒成立， 若恒成立，当时显然不符合题意， 当时，需使，解得； 若恒成立，当时显然不符合题意， 当时，则，解得； 综上，可得实数的取值范围为； 若选条件②：函数有且只有一个大于零的极值点， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数极小值点为，无极大值点，所以符合题意； 当时，则， 若，则或， 当时，恒成立，所以在上单调递增，则函数无极值点， 所以不符合题意； 当时，恒成立，所以在上单调递减，则函数无极值点， 所以不符合题意； 当且，即或时， 令，解得， 当时，则， 当或时，， 当时，， 故函数在区间和上单调递增， 在区间上单调递减， 所以函数的极小值点为，极大值点为， 因为函数大于零的极值点有且只有一个， 所以，不等式组无解， 当时，， 当或时，， 当时，， 故函数在区间和上单调递增， 在区间上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数大于零的极值点有且只有一个， 所以，解得， 综上，函数有且只有一个大于零的极值点时，实数的取值范围为. 20. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （Ⅰ）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是，满足条件的事件数是，利用古典概率计算公式即可得出． （Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则，1，2，3．；；；，即可得出所求． 【详解】解：（Ⅰ）甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法， 记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M， 事件M共包含个基本事件，则， 所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为； （Ⅱ）方法一：X可能的取值为0，1，2，3， ，， ，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望 方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则，所以，，1，2，3， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望. 21. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5024 6.635 【答案】（1）列联表见解析 （2）能在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系” 【解析】 【分析】（1）首先求出优秀的人数，即可完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断. 【小问1详解】 由甲、乙两班全部人中，随机抽取人为优秀的概率为， 所以优秀的人数为人，则非优秀的人数为人； 所以列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 总计 30 75 105 【小问2详解】根据列联表中的数据可得， 所以能在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $