精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三下学期三模数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 270 B. 225 C. 180 D. 135 3. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A B. 1 C. D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过平面内一点作的切线最多有三条 D. 有三个不同的根，则 11. 已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若直线的斜率分别为，则 C. 若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则 D. 的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则______. 13. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 已知定义在上的函数满足，则______；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 16 某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求. （1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； （2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． （1）证明：平面； （2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知函数 （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若，求证：． （3）若在上有唯一零点，求实数的最小值． 19. 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. （1）求点轨迹方程； （2）设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合，再求交集即可. 【详解】集合，，则 故选：B. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 270 B. 225 C. 180 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式计算即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 则. 故选：C. 3. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解. 【详解】点对应的复数， 则， 所以. 故选：D 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 7. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原始数据的下四分位数为3，再重新求得新的一组数据的下四分位数，求出满足题意的所有的取值，即可求得相应概率. 【详解】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. e 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案. 【详解】令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又当时，， 而，所以； 由，得， 所以在单调递增， 由，得， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】 【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过平面内一点作的切线最多有三条 D. 有三个不同的根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，即判断，的不同解个数是否是2；对于B，由对称中心定义可得，由题可得，结合赋值法可得对称中心；对于C，设平面内一点为，设其对应切线的切点为，说明存在使有三个解即可判断选项正误；对于D，通过比较与系数可判断选项正误. 【详解】对于A，，当时， 则的判别式，则有两个不同根或有两个相同根， 则有两个极值点或无极值点，故A错误； 对于B，设对称中心为：，则. 即， 则 ，则， 则，令，则.故B正确； 对于C，设平面内一点为，设其对应切线的切点为. 则切线方程满足：， 即 ，因在切线上， 则 ，当， 即时， ，若还有， 则方程有三个根，分别为：， 即此时对于，存在三个不同的切点， 即过平面内一点作切线最多有三条，故C正确； 对于D，有三个不同的根， 则， 即， 与相比较，可得，故D错误. 故选：BC 11. 已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，连接并分别延长交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若直线的斜率分别为，则 C. 若抛物线的准线与轴交于点，直线的倾斜角为，则 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据条件确定椭圆的标准方程，对A选项，可结合抛物线的焦半径公式和过焦点的弦长公式判定其真假；对B选项，结合A选项中焦点弦的有关结论，可判断B的真假；对C选项，结合两角和的正切公式，可判断C的真假；对D选项，分别表示出，，结合换元法和函数的单调性，可判断D的真假. 【详解】如图： 对椭圆：，所以椭圆：； 对抛物线：，所以，. 设，. 对A选项：设直线方程：，代入抛物线：，得： ，整理：. 所以，， 所以， . 因为，所以， 所以 . 所以故A正确； 对B选项：由A选项解答可知：，故B错误； 对C选项：直线的倾斜角为，即，所以直线：，即. 此时，，，所以. ，， 所以, 故C正确； 对D选项：因为直线：，由得： ，，所以， 同理，且，. 因为 ， 又， 所以 设，则， 所以，. 因为在上单调递减， 所以. 所以.故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式即可求得的值. 【详解】因为复数满足，则，故. 故答案为：. 13. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，则______；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在等式中，令可得出的值；利用已知条件推出函数的对称性和周期性，数形结合可得出图象与曲线的交点个数. 【详解】在等式中，令可得，解得； 在等式中，用替代可得， 即，即， 因为，则， 由可得，即函数为奇函数， 因为为偶函数，则，即， 所以，函数的图象关于直线对称，且有， 所以，， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，可得， 所以，，故函数是周期为的周期函数， 当时，，且， 则， 所以，函数在上单调递增，且， 又因为函数为上的奇函数，则， 设的图象为曲线， 当时，， 在曲线上取点，则点关于轴的对称点为，则， 即点也在曲线上，所以，曲线关于轴对称，作出函数的图象和曲线如下图所示： 由图可知，函数的值域为， 因为，，且，， 所以，点、在曲线上， 对于曲线，将代入曲线的方程可得，可得，且， 由图象可知，函数的图象和曲线有个公共点， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，的面积为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求，进而可求； （2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由得，由正弦定理得． 由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由于的面积为， ， ， 由余弦定理得：． ． 16. 某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求. （1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； （2）用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据甲选择建模与乙同学未选中建模的概率求解即可； （2）由题意可能的取值有0，1，2，3，再分别分情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为； 乙同学没有要求，则选中建模的概率为. 故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为. 【小问2详解】 由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为， 由题意可能的取值有0，1，2，3，故 ， ， ， . 故的分布列： 0 1 2 3 17. 如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． （1）证明：平面； （2）设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量坐标，利用空间向量的数量积为0，证明线线垂直，从而得到线面垂直. （2）设出动点坐标得到线的方向向量，设平面法向量，由法向量垂直平面内任意两个相交向量求出一个法向量坐标，然后由线的方向向量和面的法向量表示出线面角的正弦值.对于表达式进行整理化简，构造函数通过二次函数对称轴求函数的最大值. 【小问1详解】 如图，在平面ABC内过点作直线， ∵平面，平面，∴，， ∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∵为的中点，∴， ∴，，， ∴，即， 又∵平面，平面，， ∴平面. 【小问2详解】 设，即 则， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 令， 当时，取最小值，即， 即当时，取得最大值，， 18. 已知函数 （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若，求证：． （3）若在上有唯一零点，求实数的最小值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2）证明见解析； （3）1． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造，应用导数研究单调性求其最小值得到，即可证； （3）问题化为与有唯一的交点，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，， ， 由，， 令，则，所以，或， 令，则，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 【小问2详解】 令，则，可得， 令，则，，在上单调递减， ，在上单调递增， 所以时，即，所以； 【小问3详解】 令，即， 在上有唯一的零点，即与有唯一的交点， ，由（2）知， ， 在上单调递增，故，， ，的最小值为1． 19. 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）的最小值为9. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得曲线的方程为，联立，写出韦达公式，应用导数几何意义求切线方程，进而求点的轨迹方程； （2）（i）设，得到，， ，进而有、、，可得，最后应用对数的运算性质、等比数列的定义写出的通项；（ii）应用错位相减法求得，根据不等式能成立求参数值. 【小问1详解】 依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得，① 同理得的方程为，令，可得，② 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由①可知，， ①②可得. 于是可得，即，又因为，则， 于是，即，即， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，所以，所以. （ii）由（i）可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得 所以. 令，即. 当时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， ， 则满足不等式的的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$