精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第二学期 高一期中考数学试卷 命题人：黄佳 审题人：朱海涛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2 （ ） A. B. C. D. 3. 在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为单位向量，当向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是不同的直线，是不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点是边上的点，且，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则角的可能取值是（ ） A. B. C. D. 10. 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 是函数一条对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 的所有零点之和为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 13. 在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为__________. 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________. 四、解答题: 本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知、、. （1）若、、三点共线，求实数的值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的体积. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；② ③. （1）求角A大小； （2）若求△ABC面积. 17. 欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”． （1）根据欧拉公式计算； （2）设函数，求函数在上的值域． 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. （1）求证: ∥平面; （2）求证: 平面⊥平面; （3）在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质. （1）判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）； （2）（i） 证明 ； （ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； （3）是否存在实数，使得函数 在上的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第二学期 高一期中考数学试卷 命题人：黄佳 审题人：朱海涛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合的元素再求. 【详解】由，所以 故选：C 【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算计算得解. 【详解】. 故选：B 3. 在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】. 故选：D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5. 已知为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故选：C 6. 已知是不同的直线，是不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】A中，,则,所以A正确； B中，，则，所以B不正确； C中，,则，或，相交或，互为异面直线，所以C不正确； D中，，则，或，相交或，互为异面直线，所以D不正确． 故选：A． 7. 已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的判定方法，结合指数函数与二次函数的图象与性质，列出满足条件的不等式组，即可求解. 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 8. 在中，点是边上的点，且，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，结合基本关系式及两角差的正弦公式可得结果. 【详解】设，因为，所以.因为， 所以，，. 在中，由正弦定理可得， 即，得， 化简得，即，故，. 解法一：因为， 所以. 故选：A. 解法二：在中，由正弦定理得，即， 得. 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，则角的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦定理解出，结合大边对大角判断出解的个数. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 注意到从而，所以角的可能取值是，. 故选：BC. 10. 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 若函数的一个对称中心为，则的一个可能值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A，化简得出，即可判断；对B，求出时，的函数值即可判断；对C，化简得出即可判断；对D，可得，解出即可判断. 【详解】解：∵将的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 故当时，，为偶函数，故A正确； 当时，求得，为最大值，可得是函数的一条对称轴，故B正确； ∵， 当，，故没有单调性，故C错误； 若函数的一个对称中心为， 则，，即，令，可得，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换和性质解题的关键是正确得出变换前后的解析式，然后利用三角函数性质判断求解. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 的所有零点之和为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性以及对称性即可得到其周期性，从而判断AB，然后分以及分别讨论的正负，即可判断C，将零点问题转化为函数图像交点问题，即可判断D. 【详解】对于A，∵为偶函数，∴， ∴，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，∴，∴， ∴，且函数的图象关于点对称， ∴函数的周期为4，故A正确; 对于B,∵当时，， 而， ，故B错误； 对于C，结合已有分析以及对称性可知当时，，与均为奇函数， 则当时，， ∴当时，， 又与的周期都为4，在上成立，故C正确. 对于D，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线 与的图象共有7个交点， 且它们关于点成中心对称，∴所有零点之和为，故D正确; 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，， 所以. 故答案为：2 13. 在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，再利用余弦定理解三角形求解所成角的余弦值. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，所以，且， 故四边形是平行四边形， 则，故即为与所成的角（或其补角）， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得 ， 故与两条异面直线所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则________.的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系可得，再由两角和差正切公式可得的值；由正弦定理得到，，再由余弦定理得到，结合向量数量积公式化简得到，换元后得到，从而得到，得到，由函数单调性得到答案. 【详解】锐角中，，所以， ，. 由正弦定理得，故，， 由余弦定理得，即，， ， 故 令，则， 因为，， 所以 ， 其中锐角φ的终边经过点，故，， 因为为锐角三角形，所以，故， 注意到：，， 所以，所以，因为所以， 从而，因为， 故在上单调递减，其中，， 所以的取值范围是 故答案为：；. 四、解答题: 本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知、、. （1）若、、三点共线，求实数的值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，结合平面向量共线的坐标表示可求出实数的值； （2）分析可知，旋转体是底面半径为，高 的圆锥，结合锥体的体积公式可求得结果. 【小问1详解】 因为、、，所以，， 因为、、三点共线，则，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即，可得， 所以，，故， 以的边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径为，高 的圆锥， 故该几何体的体积为. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①；② ③. （1）求角A的大小； （2）若求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数恒等式变换以及正弦定理，结合三角形性质，可得答案； （2）由余弦定理，建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 若选①： 因为， 由正弦定理可得， 因为，所以，可得，又，所以； 若选②： 因为由正弦定理可得：， 因，，所以，又，所以； 若选③： 因为， 则可得：， 因为，，所以，又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，由余弦定理可得：， 又，所以，解得. 所以三角形的面积. 17. 欧拉公式：（为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”． （1）根据欧拉公式计算； （2）设函数，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题干欧拉公式即可计算； （2）根据欧拉公式分别表示和，从而表示出，利用辅助角公式化成单角单函数之后，求在上的值域. 【小问1详解】 ． 小问2详解】 因为，所以，，，即. 18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. （1）求证: ∥平面; （2）求证: 平面⊥平面; （3）在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行； （2）利用面面垂直可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （3）当N为中点时，由中位线可得线线平行，据此可得线面垂直，即可得解. 【小问1详解】 在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. 【小问3详解】 存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面， 所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数 ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似性质. （1）判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性（直接写结论，不用证明）； （2）（i） 证明 ； （ii）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； （3）是否存在实数，使得函数 在上的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）偶函数，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i） 证明见解析；（ii）答案见解析. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性，利用单调性的定义判断单调区间； （2）（i）根据所给条件，结合指数幂的运算性质化简即可求出结果； （ii）写出一个结论，结合指数幂的运算性质化简即可证明； （3）利用换元法，讨论的范围，结合二次函数和复合函数单调性可求出. 【小问1详解】 双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）由题意得， . （ii） 结论： . 证明：由题意得， . 所以 成立. （注：以下三个结论也成立）： ， . 小问3详解】 令， 因为 当且仅当 即时取等号， 所以. 因为，， 所以， 所以函数 因为对数函数在上单调递减， 所以要使 在上的最大值为，则需 在上有最小值. 二次函数 的对称轴为直线 当，即时，函数在上单调递增， 则 由得，符合题意. 当 ，即时，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 则 由 得 ，此方程无实数解. 综上，实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$