精品解析：安徽省池州市贵池区2024-2025学年高一下学期4月期中教学质量检测数学试题

贵池区2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州三中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀. 5.考试结束后，将答题卡统一交回. 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 2. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出． 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A. 3. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 4. 在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：D 5. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 6. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)， ，，设， 因为BE⊥AC， 所以，解得. 由，得， 所以解得 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 7. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D. 【详解】A中，令，则，故A错误； B中，若点Z的坐标为，则，所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； C中，易知的虚部为，故C错误； D中，记，则 所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 10. 已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. ，的夹角是 B. ，的夹角是或 C. 或 D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题. 【详解】设的夹角为，由题可知， ， ，是两个单位向量，且的最小值为， 的最小值为，则， 解得，与的夹角为或， 或， 或. 故选: BC 【点睛】向量模的最值问题转化为函数最值问题研究是数形结合典型形式.注意向量夹角的范围，防止漏解. 11. 已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围. 【详解】由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，故A正确； ， 其中由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以， 故最大值为， ， 所以的最大值为，故B错误； ，故C正确； ， 因为，所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用复数相等来计算即可. 【详解】由，可得，解得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 【答案】 【解析】 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦定理得，，利用基本不等式得，再根据公式求解 【详解】因为， 又，则， 所以（当且仅当时取等号）. 则， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）求实数的值； （2）设复数，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由共轭复数定义可知，再由纯虚数定义可知. （2）将代入，利用复数的除法法则求得，可求. 【小问1详解】 因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 ， 所以. 16. 已知. （1）求与的夹角； （2）若向量为在上的投影向量，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得； （2）根据投影向量的公式气促，再根据及数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即，解得， 设与的夹角为， 则，所以， 故与的夹角为； 小问2详解】 向量为在上的投影向量， 则， 故 . 17. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以，得， 所以，因为，所以. （2）分三种情况求解： 选择①，因为， 由正弦定理得， 即的周长 ， 因为，所以， 即周长的取值范围是. 选择②,因， 由正弦定理得 即的周长 ， 因为，所以，所以， 即周长的取值范围是. 选择③. 因为，得， 由余弦定理得， 即的周长， 因为，当且仅当时等号成立， 所以. 即周长的取值范围是. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题. 18. 已知在中，为中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问3详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵池区2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州三中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀. 5.考试结束后，将答题卡统一交回. 本试卷共4页，19小题，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 中，、、分别是内角、、对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ） A B. C. D. 1 7. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. 6 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知，是两个单位向量，时，最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. ，的夹角是 B. ，的夹角是或 C. 或 D. 或 11. 已知三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为 C. D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，其中为虚数单位，则__________. 13. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）求实数值； （2）设复数，求； 16. 已知. （1）求与的夹角； （2）若向量为在上的投影向量，求. 17. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 18. 已知在中，中点，，，. （1）若，求； （2）设和的夹角为，若，求证：； （3）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． （1）已知，，求； （2）①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$