精品解析：安徽省合肥市肥西县宏图中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

数学试卷 命题单位：合肥168中学数学教研组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时问120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得. 故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，即可求出. 【详解】， 则. 故选：D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断. 【详解】由题意得，∽，所以， 所以，所以. 故选：A. 4. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】记与轴的交点为D，依题意可得，利用勾股定理求出，最后根据计算可得. 【详解】记与轴的交点为D， 因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：， 因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ． 故选：B． 5. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数相关概念求出复数的实部和虚部，进而求出的模. 【详解】设，由为纯虚数，为实数， 得，，所以. 故选：A 6. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合图形可得答案. 【详解】根据题意，从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”， 从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，只要是偶点组成的图形一定可以一笔画，C选项正确； 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，只要是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画. 故选：C. 7. 在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B. 以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C. 在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D. 过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的性质，圆锥和圆柱的概念可得答案. 【详解】斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A错误； 由圆锥的概念可知，B正确； 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C错误； 过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于截面三角形的顶角是否小于，故D错误. 故选：ACD. 10. 已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的集合是圆 C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意，通过取反例排除A项；由复数的几何意义可判断B项；设（），利用复数的乘法运算可判断C项；根据复数的几何意义，结合两向量差的模的性质即可推得D项. 【详解】对于A，设 符合题意，但，故A错误； 对于B，由，可得对应的点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，设（），由可得， 则，故C正确； 对于D，设复数对应向量分别为，则， 因，故得，即D正确. 故选：BCD. 11. 已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A. B. 外接圆面积的最大值为 C. 的最小值为8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角形的内角和及和差化积可计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、D；根据三角形三边的性质可判断选项C. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则， 所以，即， 得，即，故A错误； 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以，则，故的外接圆面积的最大值为，故B正确； 因为，故D正确； 因为，所以，由上述结论可知，所以，故C错误. 故选：BD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念求解即可. 【详解】∵向量，，则，， 所以在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解． 【详解】(1)设， 由 ，得 又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，即． 由，解得或（舍去）， ∴． （2）由题意得， ∵复数为纯虚数， ∴解得 ∴实数的值为． 【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用． 16. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理，即可求得的值； （2）由（1）得到，求得，在中，利用正弦定理，即可求得的长； （3）在中，求得，再由正弦定理，求得，进而求得的长. 【小问1详解】 解：在中，， 由余弦定理，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 因为，所以，所以. 在中，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 解：在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得， 所以. 17. 已知单位向量的夹角为，且向量. （1）求的值； （2）若与共线，求实数的值； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积定义计算即可； （2）由题意求出，，根据共线列式即可求； （3）利用平方的方法计算即可. 【小问1详解】 由题意得，. . 【小问2详解】 由题意得，， ， 因为不共线，所以，解得. 【小问3详解】 由（2）得，， . 18. 记的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若是的一条内角平分线，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解； （2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 即， ， . 【小问2详解】 由题意得，， 由，得， 即，即， ①. 由余弦定理，得， 即②. 联立①②，得或（舍）， 周长为. 19. 已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. （1）求； （2）记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 【答案】（1）1 （2）①直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外心特点得到，结合复数的运算性质可得结果. （2）①利用降幂公式和余弦定理推得，即可得到结果； ②设，则得，可得与复平面的实轴垂直，与复平面的虚轴垂直，求出的值，得到的长，即可求的面积. 【小问1详解】 点是的外心，，即， 由，得， 在第一象限，，故. 【小问2详解】 ①， ， . 由余弦定理知，两式相加可得， ，故是直角三角形. ②设，则，， ， 与复平面的实轴垂直， 由①得，，则与复平面的虚轴垂直，， 在第一象限，，故， ， . ， ， 的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 命题单位：合肥168中学数学教研组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时问120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 设，则（ ） A B. C D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A B. C. 2 D. 3 6. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B. 以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C. 在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D. 过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 10. 已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点集合是圆 C. D. 11. 已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A. B. 外接圆面积的最大值为 C. 的最小值为8 D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 16. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 17. 已知单位向量的夹角为，且向量. （1）求值； （2）若与共线，求实数的值； （3）求. 18. 记的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若是的一条内角平分线，，求的周长. 19. 已知复数在复平面内对应的点分别为，其中在第一象限，且原点是的外心. （1）求； （2）记的内角的对边分别为，且. ①判断的形状，并说明理由； ②求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $