精品解析：安徽省合肥一六八中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥168中八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 3. 下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则为直角三角形 C. 如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c一组勾股数 D. 如果，则为直角三角形 8. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 9. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是( ) A. B. 等腰直角三角形 C D. 二、填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 已知a、b是方程的两个实数根，则_____． 13. 已知，化简：_____． 14. 如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 __________________ ． 三.解答题（共7小题，满分54分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）； （2）（x+4）（x﹣1）＝6． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、，②求此三角形最长边上的高． 18. 已知：关于的方程（）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 19. 如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ （3）若，则 ． 20. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“极化值“就等于的值，可记为： （1）在图1中，若，，，是边上的中线，则 ， ． （2）如图2，在中，，，求的值； （3）如图3，在中，，是边上的中线，点N在上，且，已知，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年安徽省合肥168中八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线条数问题，根据n边形的一个顶点出发的对角线最多条求解即可． 【详解】解：从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为条， 故选：A． 3. 下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A：原式＝，∴不符合题意； B：原式＝，∴不符合题意； C：原式＝，∴符合题意； D：原式＝，∴不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，二次根式的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 4. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴，即4到5之间． 故选B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 6. 如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正多边形外角和内角综合，如图所示，首先求出，得到，然后利用多边形内角和得到，求出，然后求出相邻外角为，然后根据正多边形外角性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ， ∴， ∴与相邻的多边形的一个外角为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故选：C． 7. 中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则为直角三角形 C. 如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c一组勾股数 D. 如果，则为直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴设， ∵，， ∴， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故符合题意； C、∵a，b，c长分别为6，8，10， ∴，且a，b，c的长都是正整数， ∴a，b，c一组勾股数．故不符合题意； D、∵①， ②， 将①代入②得：， ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 8. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【解析】 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 9. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确； ②若方程两根为和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：， 当时，，满足题意， 但此时方程无实数解，故③错误； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，④正确； 正确的为：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10. 如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论不正确的是( ) A. B. 是等腰直角三角形 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由折叠可知，，，，，，， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 是等腰直角三角形；故B正确，不符合题意； ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故C不正确，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，结合被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知a、b是方程的两个实数根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，，利用完全平方公式将原式进行化简，然后将得出条件代入即可求出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 已知，化简：_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简每一项，得出原式，再合并同类项即可作答．本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，主要考查学生的化简和计算能力． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：2 14. 如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 __________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键； 分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 故答案为：或． 三.解答题（共7小题，满分54分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 16 解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）； （2）（x+4）（x﹣1）＝6． 【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣； （2）x1＝2，x2＝-5 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解可得答案． 【小问1详解】 解：x2﹣4x﹣1＝0 ∴x2﹣4x=1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， ∴， ∴x1＝2+，x2＝2﹣； 【小问2详解】 解∶ （x+4）（x﹣1）＝6 整理得：x2+3x-10=0， ∴（x+5）（x-2）=0 解得：x1＝2，x2＝-5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）①在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、，②求此三角形最长边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可； （2）①根据勾股定理画出图形即可； ②求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 如图1，正方形ABCD即为所求； 【小问2详解】 ①如图2，△ABC即为所求． ②S△ABC＝， ∵， ∴AC边上的高． 【点睛】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键． 18. 已知：关于的方程（）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （）求出的值即可求证； （）求出一元二次方程的两个根，根据为正整数，且方程的两个根均为整数即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 19. 如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ （3）若，则 ． 【答案】（1）n； （2）第20个三角形 （3）15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的规律探索，二次根式的性质，二次根式的乘法，一元二次方程的解法，实数的混合运算等，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理和三角形的面积求解即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：根据题中反映的规律可得：， 则； 故答案为：n；； 【小问2详解】 解：，一个三角形的面积是， ， ∴， 说明是第20个三角形； 小问3详解】 解：由规律可得：， 即， ∴， ， ∴或（舍去）， 故答案为：15． 20. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，求解出y的值，根据尽可能让顾客得到实惠取值即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， 尽可能让顾客得到实惠， 该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 21. 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“极化值“就等于的值，可记为： （1）在图1中，若，，，是边上的中线，则 ， ． （2）如图2，在中，，，求的值； （3）如图3，在中，，是边上的中线，点N在上，且，已知，，求的面积． 【答案】（1）0，119 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再利用直角三角形的性质得出，然后由新定义即可得出结论；由等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，然后由新定义即可得出结论； （2）由含的直角三角形的性质求出、的长，再由新定义得出的值； （3）设，推出，最后用新定义建立方程组求解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点O是的中点， ， ∴， 如图1，取的中点D，连接， ， ∵， ∴， 中，， ∴， 故答案为：0，119； 【小问2详解】 解：如图2，取的中点O，连接， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接， ， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立①②得，或（舍）， ∴，， ． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了新定义“极化值“、勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$