第二十一章 一元二次方程全章6种常考题型中考真题训练（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

第二十一章 一元二次方程全章6种常考题型中考真题训练 类型一 一元二次方程的解 1．（2024•凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0， ∴a2﹣4＝0且a+2≠0， 解得：a＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　 ． 【分析】把x＝m代入方程x2+4x﹣1＝0，求出m2+4m的值，然后利用多项式乘多项式法则计算（m+5）（m﹣1），最后把m2+4m的值代入进行计算即可． 【详解】解：把x＝m代入x2+4x﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 3．（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　3　 ． 【分析】将x＝1代入一元二次方程，求出a的值即可． 【详解】解：由题知， 将x＝1代入一元二次方程得， 1﹣4+a＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 4．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　2　 ，　4　 ． 【分析】根据（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0中x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0，再根据4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的根，从而得出ax2+bx+c＝0的另一个根． 【详解】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0， 即x＝2或ax2+bx+c＝0， ∵4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根， ∴a（4）2+b（4）+c＝0， 整理得：31a+4b+c﹣（8a+b）0， ∵a，b，c都是有理数， ∴8a+b＝0，31a+4b+c＝0， ∴b＝﹣8a，c＝a， ∴ax2﹣8ax+a＝0， 解得：x＝4±， ∴另一个根为4； 故答案为：2，4． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，关键是掌握一元二次方程解的情况． 5．（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　3　 ． 【分析】由已知条件可得y2＝x，将其代入x2﹣3y2+x﹣3＝0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可． 【详解】解：∵y2﹣x＝0， ∴y2＝x≥0， ∵x2﹣3y2+x﹣3＝0， ∴x2﹣3x+x﹣3＝0， 即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， 即x的值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于x的方程是解题的关键． 类型二 一元二次方程的解法 （一）解一元二次方程-直接开平方法 6．（2024•攀枝花）解方程：（x+1）2﹣4＝0． 【分析】先把方程变形为（x+1）2＝4，在把方程两边开方得到x+1＝±2，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：（x+1）2﹣4＝0， （x+1）2＝4， x+1＝±2， 所以x1＝1，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （二）解一元二次方程-配方法 7．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【详解】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 8．（2024•徐州）（1）解方程：x2+2x﹣1＝0； （2）解不等式组． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝1+1， （x+1）2＝2， x+1， ∴，； （2）， 解不等式①，得x＜3， 解不等式②，得x＞2， 所以不等式组的解集是2＜x＜3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （三）解一元二次方程-因式分解法 9．（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】解方程求得x的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用． 10．（2024•贵州）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式解方程即可． 【详解】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝0． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 11．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【分析】（1）利用因式分解法即可求出方程的解； （2）根据勾股定理分类讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3； （2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边， ∴第三边的长为2或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键． 12．（2024•安徽）解方程：x2﹣2x＝3． 【分析】利用因式分解解方程． 【详解】解：x2﹣2x＝3， x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，利用十字相乘法是解题的关键． 13．（2024•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0． 【分析】利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14．（2024•滨州）解方程： （1）； （2）x2﹣4x＝0． 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）， 去括号得：4x﹣2＝3x+3， 移项得：4x﹣3x＝3+2， 合并同类项得：x＝5； （2）∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元二次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程，一元二次方程的一般方法． 类型三 根的判别式 15．（2024•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4 【分析】先求出Δ的值，再根据Δ＞0，即可得出答案． 【详解】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝16﹣4k， ∵x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根， Δ＞0， ∴（﹣4）2﹣4×1×k＞0， 16﹣4k＞0， k＜4． 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，掌握Δ＞0时，方程有不相等的实数根是关键． 16．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 17．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 【分析】先根据新定义得到x（mx）+x+1＝0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0， 整理得mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4m•1＞0且m≠0， 解得m且m≠0． 故选：D． 【点睛】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键． 18．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【详解】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0． 19．（2024•兰州）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　） A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1 【分析】因为关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9×c＝0， 解得：c＝1， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 20．（2024•济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根．构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴（﹣1）2+4m＞0， ∴m． 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 21．（2024•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【分析】由根的判别式可得Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：根据题意得， 解得m≤4且m≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 22．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 23．（2024•自贡）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 24．（2024•广安）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 【分析】根据关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，可得，即可解得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得m＜0且m≠﹣1； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根需满足Δ＞0． 25．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可列出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0， ∴k． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 26．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【详解】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用． 27．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　 ． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键． 28．（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　k＝﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 类型四 根与系数的关系 29．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【分析】设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于a，b及a，c之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， ，， 所以b＝﹣7a，c＝10a， 所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， 则x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 30．（2024•乐山）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，再结合所给的条件从而要求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵3， ∴， 即， 解得：p． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2，x1x2． 31．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x22，x1x2，再利用2，得到﹣2＝2，解方程得到k＝﹣1，然后根据根的判别式的意义确定k的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x22，x1x2， ∵2， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴﹣2＝2， 解得k＝﹣1， 方程化为﹣x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴k的值为﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 32．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　7　 ． 【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，即可得到m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m，则m+（n﹣2）2可化为m2﹣5m+9，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m ∴m+（n﹣2）2 ＝m+（3﹣m）2 ＝m2﹣5m+9 ＝﹣2+9 ＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 33．（2024•德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 　2028　 ． 【分析】根据a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解可知a2+2024a﹣4＝0，a+b＝﹣2024，再把两式相减即可得出结论． 【详解】解：∵a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解， ∴a2+2024a﹣4＝0①，a+b＝﹣2024②， ①﹣②得，a2+2024a﹣4﹣a﹣b＝2024， ∴a2+2023a﹣4﹣b＝2024， ∴a2+2023a﹣b＝2028． 故答案为：2028． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 34．（2024•烟台）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　6　 ． 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n2，mn， ∴3m2﹣4m+n2 ＝2m2﹣4m+m2+n2 ＝1+（m+n）2﹣2mn ＝1+22﹣2×（） ＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 35．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　16　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝﹣2，化简所求代数式，代入即可得到结果． 【详解】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b， ∴a+b＝﹣2， ∴4a2+8ab+4b2 ＝4（a2+2ab+b2） ＝4（a+b）2 ＝4×（﹣2）2 ＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 36．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　4　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：令方程的另一个根为m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝2， 解得m＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 37．（2024•眉山）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　 ． 【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，再把要求的式子进行通分，然后代值计算，即可得出答案． 【详解】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 38．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　14　 ． 【分析】先利用根与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5． ∴（x1﹣x2）2+3x1x2 x1x2 ＝（x1+x2）2﹣x1x2 ＝32﹣（﹣5） ＝9+5 ＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键． 39．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 40．（2024•南充）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． （2）根据k的取值范围确定整数k的值为2，3，4，当k＝2时，解一元二次方程得到x1＝1，x2＝3，满足x1，x2都是整数，当k＝3或4时，此时方程解不为整数，故k的值为2． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0， 解得k＞1． （2）∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4， 当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，k的值为2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根即Δ＞0，并且考查了根与系数的关系． 41．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　p　 ，x1x2＝ 　1　 ； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【详解】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键． 类型五 由实际问题抽象出一元二次方程 42．（2024•西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形． 根据题意，得（60﹣2x）（22﹣2x）＝600， 化简，得x2﹣41x+180＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 43．（2024•内江）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 【分析】由某市2021年底森林覆盖率为64%，2023年底森林覆盖率已达到69%即可列出方程． 【详解】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.69， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 44．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 7200（1+x）2＝8450， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 45．（2024•眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝780 【分析】利用2021年的产量×（1+年平均增长率为x）2＝2023年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：670×（1+x）2＝780． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 46．（2024•云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 47．（2024•呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 【分析】根据长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据面积得出x（60﹣x）＝864． 【详解】解：若设长为x步，则宽为（60﹣x）步， ∴x（60﹣x）＝864， 故选：C． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 48．（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　200（1+x）2＝401　 ． 【分析】利用预计今年第三季度低空飞行航线安全运行的架次数＝今年第一季度低空飞行航线安全运行的架次数×（1+第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：200（1+x）2＝401． 故答案为：200（1+x）2＝401． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型六 一元二次方程的应用 49．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 【分析】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 50．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 【分析】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 51．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得： 48（1﹣x）2＝27， 解得：（舍去）； 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 52．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　10%　 ． 【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 53．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　2　 m． 【分析】设小路宽为x m，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16，即可解得答案． 【详解】解：设小路宽为x m， 根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16， 解得x＝2或x＝12（舍去）， ∴小路宽为2m； 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 54．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　10%　 ， 【分析】4月份价格从500×（1+20%）元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程500（1+20%）（1﹣r）2＝486，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍． 【详解】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486， 解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 55．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵240000÷1600＝150（套）， ∴m＞100， 由题意得：m（160040）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300， 当m＝200时，160040＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意； 当m＝300时，160040＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 56．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得，求出k，b即可得解； （2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b， 又结合表格数据图象过（45，55），（55，45）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x2+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 【点睛】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 57．（2024•湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据2x+y＝80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将S＝750代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【详解】解：（1）∵2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； （2）∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40， 当S＝750时，﹣2x2+80x＝750， x2﹣40x+375＝0， （x﹣25）（x﹣15）＝0， ∴x1＝25，x2＝15（不合题意舍去）， ∴当x＝25m时，矩形实验田的面积S能达到750m2； （3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键． 58．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可； （2）由题意列式计算即可． 【详解】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为10%； （2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）． 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型六 配方法的应用 59．（2024•德州）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（　　） A．（x﹣3）2﹣5 B． C． D． 【分析】利用配方法把原式化为（x﹣h）2+k的形式即可． 【详解】解：x2﹣3x+4 ＝x2﹣3x4 ＝（x）2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 60．（易错题）（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　　 ． 【分析】由已知条件可得y2＝x，将其代入x2﹣3y2+x﹣3＝0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可． 【详解】解：∵y2﹣x＝0， ∴y2＝x≥0， ∵x2﹣3y2+x﹣3＝0， ∴x2﹣3x+x﹣3＝0， 即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， 即x的值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于x的方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程全章6种常考题型中考真题训练 类型一 一元二次方程的解 1．（2024•凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D． 2．（2024•南充）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　 ． 3．（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　 ． 4．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　 ，　 ． 5．（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　 ． 类型二 一元二次方程的解法 （一）解一元二次方程-直接开平方法 6．（2024•攀枝花）解方程：（x+1）2﹣4＝0． （二）解一元二次方程-配方法 7．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 8．（2024•徐州）解方程：x2+2x﹣1＝0； （三）解一元二次方程-因式分解法 9．（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 10．（2024•贵州）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 11．（2024•青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 12．（2024•安徽）解方程：x2﹣2x＝3． 13．（2024•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0． 14．（2024•滨州）解方程： x2﹣4x＝0． 类型三 根的判别式 15．（2024•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4 16．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 17．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 18．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 19．（2024•兰州）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　） A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1 20．（2024•济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 21．（2024•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2 22．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．（2024•自贡）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 24．（2024•广安）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 25．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 26．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 27．（2024•湖南）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　 ． 28．（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　 　 ． 类型四 根与系数的关系 29．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 30．（2024•乐山）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 31．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 32．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　 　 ． 33．（2024•德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 　 　 ． 34．（2024•烟台）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　 ． 35．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　 　 ． 36．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　 ． 37．（2024•眉山）已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　 ． 38．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　 　 ． 39．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 40．（2024•南充）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 41．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　 　 ，x1x2＝ 　 ； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 类型五 由实际问题抽象出一元二次方程 42．（2024•西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 43．（2024•内江）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（　　） A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69 44．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 45．（2024•眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝780 46．（2024•云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 47．（2024•呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．x•864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 48．（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　 ． 类型六 一元二次方程的应用 49．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 50．（2024•河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．1 C．1 D．1或1 51．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 52．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　 ． 53．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　 　 m． 54．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　 ， 55．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 56．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 57．（2024•湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 58．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 类型六 配方法的应用 59．（2024•德州）把多项式x2﹣3x+4进行配方，结果为（　　） A．（x﹣3）2﹣5 B． C． D． 60．（易错题）（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$