精品解析：四川省成都市成都市玉林中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

成都玉林中学高2024级高一下期4月诊断性评价试题 数学 命题人：高一年级备课组 审题人：高一年级各课组 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（ ） A. B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用两角差的正弦公式可得答案. 【详解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=. 故选：A. 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义来逐一分析选项. 【详解】对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  对于函数，因为，所以是偶函数. 又因为，所以的周期是，满足题目要求，所以选项正确.  对于函数，根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件. 同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以选项错误.  对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数. 但的周期，不满足周期为的条件，所以选项错误.  满足周期为的偶函数的函数是. 故选：B. 3. 已知中，为边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求得. 【详解】在中，. 因为，所以. 所以. 故选：A 4. 的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知三角形的最大内角为所对的角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】可知三角形的最大内角为所对的角，不妨设为角A， 则， 且，可得， 所以这个三角形的最大内角为. 故选：B. 5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可 【详解】因为，故，由正弦定理，，故m 故选：D 6. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算得到，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则， 即得到， 所以在上的投影向量是， 故选：C. 7. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 8. 如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线可设，且，结合题意可得，再利用乘“1”法运算求解即可. 【详解】由题意可知：三点共线，可设，且， 因为，即, 又因为，，，， 则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题.每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全上部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据数量积的定义分析判断；对于B：根据模长结合数量积的运算律分析判断；对于C：根据数量积的性质结合向量共线分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，即， 则，整理可得，故B正确； 对于选项C：表示与共线的向量，表示与共线的向量， 可知不一定相等，故C错误； 对于选项D：例如，满足， 但不能确定相等，故D错误； 故选：AB. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数是偶函数 C. 点是图象的一个对称中心 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出的解析式，再逐项判断得解. 【详解】观察函数图象，，函数的周期，， 又，则，而，于是，， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，函数不是偶函数，B错误； 对于C，，因此点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，当时，，而当时，函数取得最小值， 因此函数在区间上不单调，D错误. 故选：AC 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，的外接圆圆心为O，且满足，则m的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理求出即可；对于B，利用正弦定理化角为边再比较即得；对于C，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出即可判断；对于D，先利用余弦定理求得，再利用外接圆性质和数量积定义可得，，再将向量等式两边同时点乘，即可利用正弦定理与和角公式化简求得. 【详解】对于A，由正弦定理，，即，则， 因，则，故符合条件的只有一个，故A错误； 对于B，由正弦定理，，则由可得，则，故B正确； 对于C，由正弦定理和可得，再由余弦定理，可得， 因，则，则为钝角三角形，故C正确； 对于D，由余弦定理，，化简得， 因，因，所以， 因O为的外接圆圆心，则，同理可得，， 由，可得， 则，即（*）， 又由正弦定理，可得，其中为外接圆半径，则， 则， 代入（*）式化简，可得，即，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，向量与向量的夹角为，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量积的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：3. 13. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角公式中的平方关系求值即可. 【详解】由已知得， 则，所以. 故答案为：. 14. 如图，在平面四边形中，，，，．则四边形的面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积可得，设，根据模长结合基本不等式可得，进而分析面积最值即可. 【详解】因为，且， 即，可得， 设，则， 则， ， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 则四边形的面积 ， 所以四边形的面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，． （1）若，求． （2）若与共线，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，进而可得模长； （2）根据向量共线的坐标运算可得，进而可求夹角余弦值. 【小问1详解】 因为，，， 若，则，解得，即， 可得，所以. 【小问2详解】 因为， 若与共线，则，解得，即 所以. 16. 已知锐角，满足， （1）求的值． （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果. 【小问1详解】 因为，，则，， 所以. 【小问2详解】 因为，，则， 则， 且，所以. 17. 在中，，，与的夹角为． （1）求角的大小． （2）已知，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角结合向量的坐标运算分析可得，即可得结果； （2）利用面积公式以及余弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，， 由题意可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的值为5. 18. 设 （1）求的单调增区间． （2）设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解； （2）可得，换元令，原题意等价于在内恒成立，结合二次函数的最值运算求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 令，解得， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 因为， 若，则， 可得， 又因为，令，则， 原题意等价于在内恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； 【小问3详解】 在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都玉林中学高2024级高一下期4月诊断性评价试题 数学 命题人：高一年级备课组 审题人：高一年级各课组 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（ ） A. B. － C. D. 2. 下列函数是周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，为边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则向量在向量上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 7. 若 则 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题：本题共3小题.每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全上部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数是偶函数 C. 点是图象的一个对称中心 D. 函数在区间上单调递增 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，的外接圆圆心为O，且满足，则m的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，向量与向量的夹角为，则________． 13. 已知，且，则__________. 14. 如图，在平面四边形中，，，，．则四边形的面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，． （1）若，求． （2）若与共线，求与夹角的余弦值． 16. 已知锐角，满足， （1）求的值． （2）求的大小． 17. 在中，，，与的夹角为． （1）求角的大小． （2）已知，的面积为，求的值． 18. 设 （1）求的单调增区间． （2）设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $