精品解析：天津市第一中学2024-2025学年下学期八年级数学期中调研试卷

天津一中2024年-2025年第二学期期中调研 八年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 6cm，12cm，13cm B. cm，1cm，cm C 8cm，6cm，9cm D. 1.5cm，2cm，2.5cm 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 6. 下列命题有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D. 若，则 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 8. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（ ） A 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 9. 矩形中，对角线相交于点O，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 11. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 12. 如图，正方形的边长是，点E是对角线上一动点（不与点、重合），于点，于点，连接，则下列结论： 四边形是矩形； 四边形的周长是； ； 的最小值是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 14. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 15. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 16. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________． 17. 如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为________； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，四边形中，，，，，点E是上一点，且，求长． 21. 已知四边形是平行四边形， （1）如图①，若，平分且交于点M，且交于点N，则的大小________（度），的大小________（度）； （2）如图②，若，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 23. 如图，平分，交于点平分，交于点，连接． （1）若，则的长＝_ ； （2）求证：四边形是菱形． 24. 已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D线段上时， ①判断与是否全等？________（填“是”或“不是”）； ②的大小________（度）； ③若，，则的长________； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，则三条线段之间的关系是：________． （3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变： ①、、三条线段之间的关系是：________； ②若连接正方形的对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由． 25. 利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知，矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． （1）如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． （2）如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． （3）如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2024年-2025年第二学期期中调研 八年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可． 【详解】A、2是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ 3-x≥0 ， ∴ x≤3 ， 故选：A 【点睛】本题考查二次根式有意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 3. 以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 6cm，12cm，13cm B. cm，1cm，cm C. 8cm，6cm，9cm D. 1.5cm，2cm，2.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据选项中的三个数看是否满足 a²+b²=c²，若满足则为答案． 【详解】解：A.62+122≠132，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误； B.()2+12≠()2，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误； C. 不能，因为62+82≠92，故不能构成直角三角形，故错误； D. 能，因为1.52+22=2.52，故能构成直角三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，比较简单，勾股定理的逆定理，即a2+b2=c2． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 首先由实数、在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由实数、在数轴上的位置，可得，； ； 故选：A 5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 6. 下列命题有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，对顶角、邻补角，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握对顶角的定义，全等三角形的判定方法和性质，线段垂直平分线的性质定理和逆定理，绝对值的性质． 由对顶角的定义，全等三角形的判定方法和性质，线段垂直平分线的性质定理和逆定理，绝对值的性质，即可判断 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； B、对应角相等的三角形不一定全等，故B不符合题意； C、到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，故C符合题意； D、若，则，故D不符合题意． 故选：C 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 根据菱形的性质得到，再结合直角三角形性质推出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线相交于点O， ，即， E是的中点，， ， 菱形周长为， 故选：B． 8. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，，若，则正方形的面积为（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ∴得出，，， ，故， ， 所以，即正方形的面积为． 故选：B 9. 矩形中，对角线相交于点O，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识点．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的内角和的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴． 故选：C． 10. 下列说法正确的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，根据正方形、菱形、矩形的判定定理，逐一判断各项是解决问题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误； B、对角线互相垂直平行四边形是菱形，原说法错误； C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法错误； 故选：C． 11. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可． 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD， ∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=AD， ∴AB=BC=AC， ∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意； 当AB=3，则CE=DE=， ∵∠D=60°， ∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120° ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90° 在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意； ∵菱形ABCD ∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意； ∵ABCD，AB=2DE， ∴，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键． 12. 如图，正方形的边长是，点E是对角线上一动点（不与点、重合），于点，于点，连接，则下列结论： 四边形是矩形； 四边形的周长是； ； 的最小值是． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形、等腰直角三角形的性质，矩形的判定、三角形面积，关解决本题的关键是利用正方形的性质判定四边形的形状和周长，再根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质和矩形的对角线相等的性质求出的最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， 故正确； 由知 ，四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， 四边形的周长是， 故正确； 设，则，， ， ， ， ， 故错误； 如下图所示，连接， 由可知四边形是矩形， ， 当时，最短， 最短是， 的最小值是， 故正确， 正确结论的个数是个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 14. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 15. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长．根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 16. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， 是中线， ， ， ， 在中，，点E是的中点，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 17. 如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到和的长，然后可以证明和全等，然后即可得到的长． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， 是等边三角形，为的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为________； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）将二次根式化简，然后计算加减法即可； （2）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可； （3）利用二次根式除法法则计算，再计算加减即可求解； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 20. 如图，四边形中，，，，，点E是上一点，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，分别在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴、都为直角三角形， 在中，由勾股定理可得： 在中，由勾股定理可得： ∵ ∴ 解得 即 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方． 21. 已知四边形是平行四边形， （1）如图①，若，平分且交于点M，且交于点N，则的大小________（度），的大小________（度）； （2）如图②，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）70，35 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，求得，得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70，35； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】绳索AD的长度是 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 依题意，因为 所以四边形是矩形， 则， 那么， 在中，， 故， 即 解得：， 所以绳索AD的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 23. 如图，平分，交于点平分，交于点，连接． （1）若，则的长＝_ ； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）只要证明△ABC是等腰三角形即可解决问题． （2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：（1）∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA， ∴∠BAC=∠BCA， ∴BC=BA=1． 故答案为1． （2）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA， ∴∠BAC=∠BCA， ∴BC=BA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠BDC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∴AD=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 已知：在中，，，点D直线上一动点（点D不与B、C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时， ①判断与是否全等？________（填“是”或“不是”）； ②的大小________（度）； ③若，，则的长________； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，则三条线段之间的关系是：________． （3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变： ①、、三条线段之间的关系是：________； ②若连接正方形的对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由． 【答案】（1）①是，②，③ （2） （3）①，②等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）①根据四边形是正方形，求得，，进而证明； ②根据，可得，进而证明，即可求解； ③根据，即可求解； （2）根据（1）同理可证，即可求解； （3）①根据题意证明，即可求解； ②根据题意求得的度数，由①同理可证，结合直角三角形性质进而证明，即可求解； 【小问1详解】 ①证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：是； ②， ， ，， ， ； 故答案为：； ③， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 同理可得，在和中， ， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①； ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：， ②等腰三角形； 证明：，， ． 由①同理可证． ， ，则为直角三角形． 正方形中，为的中点， ． 在正方形中，，， ． 是等腰三角形； 25. 利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知，矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． （1）如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． （2）如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． （3）如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长．（直接写出结果） 【答案】（1）6 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到点是的中点，，求得；根据勾股定理得到，得到； （2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论； （3）①当时，过点作于，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到求得，进而求解；②当时，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，求得； 【小问1详解】 解：如图，连接， 将矩形纸片沿对折，点落在点处，点恰好落在矩形的对角线交点处， 点是的中点，， ， ， ； 【小问2详解】 解：将矩形纸片沿着对折， ，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时，过点F作于H， 正方形沿着对折， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图， ， 点F在的垂直平分线上， 点F在的垂直平分线上， ， 正方形沿着对折， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$