江西省新九校协作体2024-2025学年高二下学期第二次联考数学试题

江西省新九校协作体高二年级第二次联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册、第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知函数f(x)=ln2x,则(x)= A安 B.2 D.1+2 2.对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 35 5101520253035 5101520253035 相关系数为 相关系数为2 (10 (2) A.n<-r2<0 B.r2<-r1<0 C.r2>-r>0 D.n>-r2>0 3.已知f(x)是函数f(x)=e十a.x+c(a,c∈R)的导函数，若f(0)=3,且f(x)在[0,1]上的最大值为 5,则c的值为 A.1 B.-1 C.3+e D.3-e 4.若函数f(x)= 3r一a.x-(a-2)x十5存在极值点，则实数a的取值范围为 A.(-2,1) B.(-o∞，-2)U(1,+o∞) C.[-2,1] D.(-∞，-2U[1,+o) 5.若数列{an}满足a1=2,aw+1an=am一1，则a22s= A.-1 B司 C.2 D.3 6.x-2r-3) 的展开式中常数项为 A.-80 B.80 C.-160 D.160 【高二年级第二次联考·数学第1页（共4页）】 7.设随机变量Z~V(,1),函数f(x)=x3一3x+Z·x在定义域R上是单调递增函数的概率为)，则 P(1<Z≤2)= 附：若ZN(4,g2),则P(4-<Z≤u十a)≈0.683，P(4-2Z≤十2a)≈0.954. A.0.1587 B.0.1355 C.0.2718 D.0.3413 &.若函数f(x)=x+名(a∈R,e是自然对数的底数)有两个零点，则a的取值范围为 A.a>0 Ba=是 c D.0<a<t 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有三名男生、两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有 A.如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法 B.如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法 C.如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法 D.如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法 10.已知点R(x,2)在抛物线C:x=2y(p>0)上，过C的焦点F的直线与C相交于A,B两点，C在A, B两点处的切线相交于点P,AB的中点是Q,若RF=3,则 A.x0=2/2 B.C的准线方程是y=一1 C点Q在抛物线y=22+1上 D.点P在C的准线上 1.设函数f)-数列a满足=景a1=a,.则 A.a1=3 数列}是等比数列 C1a,<1+ Dfa,)+f)>2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若焦点在y轴上的双曲线C,与双曲线C:后一苦-1有相同的渐近线，则℃的离心率为 1设两个等差数列a,、么的前n项和分别为5工，若对任意正整数u都有产-新则竿十 6平6，的值为 14.若e为自然对数的底数，f(x)是定义在R上的函数，且f(x)+f(x)<1,f(0)一4=0，则不等式 ef(x)>e+3的解集为 【高二年级第二次联考·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知各项均不相等的等差数列{am}的前n项和为Sm,S2=3,且a2,a4,ag成等比数列. (1)求{am}的通项公式： (2)若bn=2·an,求数列{bn}的前n项和Tn… 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后 的零件尺寸x(单位：cm)及个数y,如下表： 零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 甲 5 20 15 6 零件个数y 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03(cm)的误差不超过0.01(cm),其余零件为二等品. (1)试根据上述数据建立一个2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为加工后的零件是不是一等 品与甲、乙有关？ (2)如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从 这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商 家试用的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望 n(ad-bc)? 参考公式：X=(a+b0+)a十c)(6+D,其中n=a+b+c+d 参考数据： a=P(x2≥k) 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，CB=CC,AB⊥AC,AB=AC=4,D是BC的中点，CA=CD=2. (1)求三棱柱ABC-A1B,C1的体积： (2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值 【高二年级第二次联考·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数y=F(x)的定义域为I,区间[a,b们是I的子集，若y=F(x)的图象上存在两点A(a,F(a), B(b,F(b),使直线AB恰好是曲线y=F(x)的一条切线，且A,B为切点，记直线AB的方程为y= G(x),如果x∈[a,b们都有F(x)≥G(x),则称函数y=F(x)是“桥函数”，称A,B两点为“桥墩”， (1)若A(一受，一1B(牙，-1试说明函数y=sinx能否是以A,B两点为“桥墩”的“桥函数”？ (2)判断函数f(x)=1一x2与g(x)=x十sinx是不是“桥函数”？并说明你的理由. 19.(本小题满分17分) 已知过点(1，多)的椭圆C:若+芳=1(。>6>0)的离心率为2 (1)求C的方程： (2)已知A是C的左顶点，直线l:y=kx十m与C相交于P,Q两点，且P,Q两点均不与点A重合. (1)若直线1与圆x2+y=号相切，证明：以PQ为直径的圆经过坐标原点： （1)若直线AP,AQ的斜率之积为一子，证明直线1过定点，并求出定点的坐标。 【高二年级第二次联考·数学第4页（共4页）】江西省新九校协作体高二年级第二次联考·数学 参考答案、提示及评分细则 2.D 由散点图知图(1)是正相关,故r>0,图(2)是负相关,故r<0,且图(1)的样本点更加集中在一条直线附近,因此, >一0.故选D 3.D 因为/(c)=e十a,则/(o)=1+a=3,解得a=2,所以/(x)=e+2>0,故f(x)在[o,1]上单调递增,则f(xm -/(1)-e十2+c-5,解得c-3-e.故选D 4.B f(x)=-2ax-(a-2),若f(x)存在极值点,则△-4a^+4(a-2)>0,解得a>1或a<-2.故选B$ 的周期为3,因为2025-3×675,所以a=a=-1.故选A. 6.C (){}展开式的通项公式为TC·(r)~·(-)'-C·(-2)·n-,令10-5-r=0,得r-2:令 $0-5r=-5,得-3,故所求常数项为-2×Cx(-2)+1×Cx(-2)=-80-80--160.故选C 7.B 由/(r)=3r*-6x十Z=3(x-1)+Z-3>0对任意实数x都成立,得乙3,所以P(Z>3)-,由正态曲线的对 称性知-3,-1,所以--2,+-4,-2=1,+2-5,所以P2<Z<4)-0.683,P(1<Z<5)-0.954,所以$ _g(i) x-1时g’(z)0,所以g(x)在(-o,-1)上单调递减,在(一1,十oo)上单调递增,所以 g(x) =g(-1)=-1,又→-oo时g(c)→0,→+oo时g(x)→+oo,函数g(x)的图 象有两个不同的交点,故选D 9.AB 对于A,将这两名女生捆绑,作为一个“元素”与剩下的三名男生进行全排列,此时共有AA一48种不同的排法 故A正确;对于B,先对三名男生进行全排列,再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中,此时共有AA一12种不 同的排法,故B正确;对于C,如果女生不能站在两端,则两端安排男生,其他位置的安排没有限制,此时共有AA 36种不同的排法,故C错误;对于D,5个人排成一排的全排列有A三120种,三名男生连排在一起的排法有AA= 36种,所以如果三名男生不能连排在一起,此时有120一36一84种不同的排法,故D错误,故选AB 10. BCD 焦点F的坐标为(o.号),由RFl-3.R(xo,2)在抛物线C上,根据抛物线的定义知2+-3.p-2.所以C的 方程是x-4y,于是x-8,x。=士2v/②,故A错误;由C的方程x-4y知C的准线方程是y=-1,故B正确;设直线 AB的方程是y=kx+1,代入x{}-4y消去y并整理得c*-4hx-4=0,设A(x,),B(x,),则x+ C的准线y一-1上,故D正确.故选BCD 2a十1+a+2 2+1--2 2-3.十1 【高二年级第二次联考·数学参考答案 第1页(共4页)】 ##1_3,以数列{1 =3-1(3-1)= 3-1 3-(3-1) 21.2-2,等号仅当a。-1成立,又a1,所以(a)+/()2,故D _ #/+2.1+22。 正确,故选BCD 12.- 设C的方程为--1(a→0.b→),则-,,离心率-1()-# a+ax9 13.7 _. -1 2 14.(-o,0)令F(x)=e[f(x)-1],则F(x)-e[/(x)-1+/'(x)]<0,所以F(x)在R上是减函数,又F(0)=f(0) -1-3.不等式ef(x)e+3变为F(x)F(0),所以x0. 15.解:(1)设数列a)的公差为d,则d0. ((a十3d)②-(a十d)(a十7d). d-ad. 由 化简得 S-3 l2ad-3. ............................................ l2十d-3. 因为.......................................................分.. 所以a.-1十(-1)×1-n. (2)由........................................分.. 则T-1×2+2×2+3×2+..+n·2. 2T.=1...............................................................分 两式相减得-T.-2+22+2+.+2“-n·2-12(1-2-) -n·2+1-(1-)·2+1-2. 1-2 .....................2分 所以T.-(n-1)21+2. ................................................................................... .分 16.解:(1)2X2列联表为: 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 50 20 30 50 70 合计 30 100 ......................................................................................... .分. 由列联表得:一 100×(40X20-30×10)② 70X30×50×50 所以有95%的把握认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关. (2)抽取出的.......,甲加........................................8分 X的所...........................................................分 P(X-0)- C C C 35 35 35 X的分布列为: 0 2 一1 1 D ................................................ ..分 Ex-01123-1. .....................................分.. 17.解:(11)为 .B.c1. ..C...,.所以. BC.1.D..理B...AD..................... 1分 又C DOAD=D..D..AD平面 Ac.D..所以 C.平面C.D. ...............................................2分 【高二年级第二次联考·数学参考答案 第2页(共4页)】 又B.....c,所以平面.c.面..................................................................3分 又平面ABCO平面ACD=AD,作CH|AD交AD于点H,则CHI底面ABC. ..............................分. C.H就是三楼柱ABC-ABC 的高. 又AB=AC-4,ABLAC,所以BC=AB*+AC*-4/2,AD-BC-2/2 又CA=C.D-2,.所以ADC.A +C.D,.C. AD是等要直角三角形,所以C.H-AD-vV,....6分 (2)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴,过点A且与C:H平行的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系; 因为△CAD是等腰直角三角形,CHIAD,所以H是AD的中点; 则A(0.0,0),B(4.0.0).C(0.4.0).D(2.2,0),H(1,1,0).C(1,1/2) BC-(.-3.1.,)).B.C.-.B..-4.4.0).A.-.4.0.0)......... 10分 (BC·n--3a+b+v2c-0. 设平面ABC的法向量为n一(a,b.c),则 AB.n-4a-0. 取 b...............是................................................. 12分 BC.n cos(BCn)-- 1BC|n4v2x33' ...................................................................4分 所以直线B:C与平面ABC:所成角的正弦值为. 18.解:(1)因为y-sinx,y-cosx. 所以函数y-sinx的图象在点(-.-1)处的切线方程是yy+1-0.(x十),即y-1,.....2分 同理可得函数y-sinx的图象在点B(,-1)处的切线方程也是y=-1, 因此,.经过.,.两点的直线ABy...恰好是曲线y..,...)的.条切线.......................................4分 又显然sinx-1对xe[-,3-]桓成立, 所以函数.........以....点为..墩.....”......................................6分. (2)函数...-...是“桥函”,函..(..-t士i.u.是“桥函”...................7分 理由如下: 对于函数f(x)一1一r,因为f(x)=-2x,显然导函数/(x)在(-o,十o)上是减函数,所以在函数f(x)的图象上 的任意两点A,B处的切线的斜率都不相同,不满足“直线AB恰好是曲线y一f(x)的一条切线,且A,B为切点”,所以 函数/(x)-1一r*不是“桥函数”; 对于函数g(x)=x十sinx,我们先在函数g(x)的定义域(一oo,+oo)上找一个区间[a,b],使函数g(x)=x十sinx的 图象上经过A(a,g(a)),B(b.g(b))两点的直线AB恰好是曲线g(x)三x十sinx的一条切线,且A,B为切点. 方法一:因为g(x)=x+sinx,g(x)-1+cosx,设A(x.x+sinx),B(x,x+sinx),x子x,则曲线g(x)=十 sinx在A,B两点处的切线方程分别为y=(1+cosx)x+sinx-xcosx,y=(1+cosx)x+sinx-r:cosr 令 [1+cosr1-1+cosr. 1sinx-xcosx-sinx-rocosr:. 则cosx=cosx,所以x=士x+2k(kZ且xi子x). 当x:=x+2kx,代人sinx-1cos xi=sin.x:-x:cos xo,整理得cosx-0.所以x)-+mm(mz). .....13分 (一) __1. 【高二年级第二次联考·数学参考答案 第3页(共4页)】 又函数g(x)-x十sinx的图象在A,B两点处切线的斜率g”(一)-1,g(3-)-1. 这就是说,函数g(x)=x十sinx的图象上过A(一,g(一吾)),B(,g(3))两点的直线AB恰好是曲线g(x) 文十sinx的.条切线,且.,B为切点,此时,切线AB的方程为y.... ......................................15分 方法二:在函数g(tx)的定义域(-oo,+oo)上,取区间[一,],令A(一,一-1),B(,-1),则k= 3-1-(--1) -1.且函数g(x)-x十sinx的图象在A,B两点处切线的斜率g(-)-1,g()-1. 3(一) 所以函数g(x)-x十sinx的图象上过A(一,g(-)),B(",g())两点的直线AB恰好是曲线g(c)=x十 sinx的..切,...为.,..,...yA.方程..1.................... 1分 _2桓成立. 因为对任意实数x,都有sinx-1,所以x十sinx>r-1恒成立,即x十sinxx-1对-<<-桓成立. 因此,函.,.............”..........................................1.分.. 一1. 19.解:(1)由题意得 一二 .............................................................................. .分 解得 一3. ...............................分. (2)将直线/的方程与圆C的方程联立,并消去y整理得(3十4){+8bnx十4m^{}-12-0. △-64n}-4(3+4)(4n*-12)-48(4}-n+3)0. 设P(x,y),Q(x,y),则x十ro= 34_42 _ni 344 ..................................................分.. -830{12是} 34 34.....8分 3计4 34{ 342 所以OP.O-0,即OP1OQ. 所以以....为直径的.经过坐标原点..........................................................................12分 (lì)圆C的左顶点A的坐标为(-2,0). 3n-12/2 3十4 i -221.+2(x+)+44-12164 所以·-- 3nr-122 4nr*+16-16n 3+43十46起 .................................................................................................... 14分 化简得n-n-2-0. 当n-2k时,直线(的方程为=hx+2k,即-k(x十2).直线/过定点A(一2.0).不合题意; :.................16分 当m=- 时,直线/的方程为y-x-k,即y-k(x-1),直线/过定点(1,0),此时△-48(4^}一n^*+3)=144(}+1 >0,满足题意. 所以直线/过定点,定点的坐标是(01,0). ................................................................................... .分 【高二年级第二次联考·数学参考答案 第4页(共4页)】