精品解析：福建省三明市第二中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

**基本信息** 2024-2025学年高三一模数学卷，以集合、向量等基础内容为主体，融入悬链线文化情境（第13题）和马尔科夫链游戏（第19题），实现知识巩固与创新应用的结合，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合、向量、椭圆、直线方程、数列、函数图像、立体几何、函数性质|基础题型，注重概念辨析与基本运算| |多项选择题|3/18|概率分布、数列递推、三角函数图像变换|选项分层设计，考查逻辑推理与批判性思维| |填空题|3/15|复数运算、双曲函数（悬链线情境）、函数零点|融入文化素材（第13题达芬奇悬链线），体现数学眼光| |解答题|5/77|三角向量综合、立体几何面面垂直与二面角、导数证明与恒成立、圆锥曲线轨迹与定值、马尔科夫链概率模型|以马尔科夫链游戏（第19题）等真实情境为载体，考查数学建模与问题解决能力，契合高考命题趋势|

2024—2025学年（下）高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断. 【详解】集合， 则. 故选：C 2. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 3. 已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 4. 已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为（1，0） B. 当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C. 当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D. 所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，将代入得直线方程，即可判断；对于B，通过给赋值，得三条直线的方程，根据三条直线交于一点不成立判断B不成立；对于C，根据公式表示距离，再利用同角三角函数关系化简，即可求最小值；对于D，根据不满足直线方程，即可判断. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确； 对于B，当时，得，即；当时，得，即，联立方程得，则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确； 对于C，当时，坐标原点到直线的距离，而，则，故，即最小值为，故C正确； 对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确； 故选：C. 5. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将、代入，求出、的值，再由等差数的性质求解即可. 【详解】解：设等差数列的公差为， 由， 可知当时，则有， 当时，则有， 解得， 所以， 解得. 故选：D. 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性可以排除B和D，结合特殊点，即可得出选项． 【详解】因为，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故B和D错误； 因为，故C错误. 故选：A. 7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，结合圆锥轴截面及内切球列式分别得出即可得出最大值. 【详解】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高. 因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1， 所以小球与容器的侧面，底面均相切. 要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球， 圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时， 所以小球的体积与容器体积之比的最大值为. 故选：A. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（ ） A. 每个盒子中恰有球的概率为 B. 事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C. 随机变量的方差为 D. 随机变量的均值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算出每个盒子中恰有球的概率，可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用随机变量期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，每个盒子中恰有球的概率为，A错； 对于B选项，记事件号是空盒，事件号是空盒， 则，， 所以，，故事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立，B对； 对于C选项，由题意可知，故，C对； 对于D选项，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 则，，， ， 因此，，D对. 故选：BCD. 10. 已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所有可能取值的集合为 C. 若，则 D. 若为正整数，则的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反推即可；对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】对于A，当时， 故A错误； 对于B，若，则只能（否则，与是奇数矛盾）， 从而（否则，与是奇数矛盾）， 由可分成三种情形： ① ；②；③ . 即所有可能取值的集合为，故B正确； 对于C，当时，依次可求 ， 即从开始数列呈现周期为 又因均能被3整除，即，故C正确； 对于D，， 则的前项和为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平移规则得到函数即可判断A正确，由余弦函数对称轴方程可得B错误，再由正切函数对称中心方程可得C正确，画出函数图像即可求得交点个数，可得D正确. 【详解】易知的图象向左平移个单位可以得到， 对于A，当时，， 由正弦函数和余弦函数图像性质可知，与在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确； 对于B，由可知，令，解得， 因此可得的图象关于直线对称，即B错误； 对于C，易知， 令，解得， 即则的对称中心为， 当时，可知的一个对称中心为，即C正确； 对于D，当时，，又； 画出函数的图象如下图所示： 结合图像可知，与的图象有6个交点，即D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】设出，利用得到方程组，求出，求出. 【详解】设，则，所以，从而，解得：，所以. 故答案为：5 13. 意大利著名画家、自然科学家、工程师达·芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______ 【答案】4048 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解. 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即， 因此，, 因此, 故答案为： 14. 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同构得到，换元后得到，参变分离得到有两个不同的根，构造，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数图象，数形结合得到，解出答案即可. 【详解】由题意得有两个不同的根， 即有两个不同的根， 变形为，即， 令，则， 其中令，， 恒成立，故在单调递增， 得到， 故有两个不同的根， 令，则，， 当时，，当时，， 故在处取得极大值，也是最大值，， 且当时，，当时，， 画出的图象如下图： 故时，有两个不同的根， 解得：. 故答案为：. 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，即从而构造进行求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案； （2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案. 【小问1详解】 因为， 所以 ，所以. 最小正周期为，令,得， 即图象的对称轴为. 【小问2详解】 由得， 因为，所以，所以； . 16. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在中，，，则， 所以，则， 由，都在面内，则面， 又面，所以面面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，应用线面垂直的判定证明面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，根据线面角的正弦值及向量法求得，进而确定相关向量的具体坐标，最后应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，即两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示， 设，由（1），则， 所以， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设直线与面所成角为，则， 所以，则， 在中，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设面与面所成角为，则. 17. 已知函数 （1）当时，求证： （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以则即 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意. ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意. 综上： 18. 已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）点，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明如下： 易知直线的斜率一定存在，设，，， 由得， 直线与交于、两点， ，解得且， ，， ，，， 直线，分别交直线于点，， 由得， 同理得， ， 由得，同理可得， 则 为定值. 【解析】 【分析】（1）分别设出，，的坐标，根据已知条件得到，，利用，得到，计算即可得到轨迹方程； （2）设直线的方程，，，将直线方程和的方程联立，利用韦达定理得到，，分别写出直线，和的方程并写出，两点坐标，利用，得到，，将韦达定理代入并化简即可求解. 【小问1详解】 设在第一象限角平分线上，则在第四象限角平分线上， ，，则，， （若在第三象限角平分线上，则在第二象限角平分线上，则，） 即， ， ， 设，则，， ， 轨迹的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程和交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为，（或，）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． （1）求x的值； （2）随机变量的分布列和期望； （3）求． 【答案】（1）2 （2） 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）确定的取值，结合条件概率、全概率公式求得对应概率即可； （3）由全概率公式得到，构造等比数列即可求解. 【小问1详解】 ，所以； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， 易知：， 由分布列性质可知： 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以; 【小问3详解】 ， 又， ， 所以 ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为（1，0） B. 当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C. 当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D. 所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 5. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 12 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（ ） A. 每个盒子中恰有球的概率为 B. 事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立 C. 随机变量的方差为 D. 随机变量的均值为 10. 已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所有可能取值的集合为 C. 若，则 D. 若为正整数，则的前项和为 11. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则___________. 13. 意大利著名画家、自然科学家、工程师达·芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______ 14. 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 16. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数 （1）当时，求证： （2）若对恒成立，求的取值范围. 18. 已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）点，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值. 19. “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． （1）求x的值； （2）随机变量的分布列和期望； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $