精品解析：山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2024-2025学年高一下学期联考数学试题

太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2024-2025年度下学期联考 高 一 数 学 试 题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知向量，若∥，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量， 因为∥，可得，解得. 故选：B. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理得到，由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，所以. 故选：A 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 5. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 6. 在中，角的对边分别是，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 7. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】如图所示，由题意， 则， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以建筑的高度为. 故选：A. 8. 已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，易得，再利用得到，即，然后利用“1”的代换并结合基本不等式可得到答案. 【详解】由及正弦定理，得， 因为，，所以，即， 因为，所以. 如图，， 所以， 所以，即， ∴， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是中档题. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】AB 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义可判断A，根据棱柱，棱台和圆锥的定义即可判断BCD． 【详解】 对于A，直观图的面积为，故A正确； 对于B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，正确； 对于C，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为其侧棱延长线不一定交于一点，故错误； 对于D，以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故错误． 故选：AB 10. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是的充要条件 D. 若，则中至少有一个为0 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，根据复数模的计算公式判断；C选项，根据复数定义判断；D选项，根据列方程，解方程即可. 【详解】若，则可以为，故A错； 设，，， 则， ， 所以，，故B正确； 当，时，为虚数，不能比较大小，故C错； ，则，解得或，故D正确. 故选：BD. 11. 是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的外接圆半径为 B. 在方向上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理及正弦定理求外接圆的半径，计算与比较即可判断，利用坐标系来求解，通过数形结合，理解当，重合时，，取最小值． 【详解】A．由余弦定理得：，解得：， 根据正弦定理：，解得：，故正确； B．，，所以在方向上的投影向量等于，故错误； C．建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设E为中点，D为C在x轴上的射影， ， ， ， ，， ， ，故正确； D．取的中点，连结，，取中点， 则，， 则， 则， ， 当，重合时，，取最小值，选项错误， 故选：AC． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由台体体积公式进行求解. 【详解】体积. 故答案为： 13. 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 14. 如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 【小问2详解】 依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 16. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解， （2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解. 【小问1详解】 由题意知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 则，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【小问1详解】 因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角恒等变换化简等式，进而求解三角方程可得； （2）由锐角三角形求得角范围，由正弦定理求出边，再将三角形的面积转化为角的三角函数式，结合三角函数的性质，即可求其范围. 【小问1详解】 根据正弦定理，可化为， 由 . 因，所以， 故有，即有， 因为，所以， 故有，所以. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，由（1）已得， 则有，解得. 由正弦定理可得， 所以有， 所以， 因为，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】（1）（i）312；（ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. 【小问2详解】 设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2024-2025年度下学期联考 高 一 数 学 试 题 卷面分数：150分 答题时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知向量，若∥，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别是，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ） A. B. C. 90m D. 8. 已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为 A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10. 已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是的充要条件 D. 若，则中至少有一个为0 11. 是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的外接圆半径为 B. 在方向上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为____________. 13. 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________. 14. 如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若，求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 16. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求四边形的周长； （2）求四边形的面积． 18. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $