21.3 实际问题与一元二次方程 第三课 几何图形面积问题-九年级上册数学基础训练

课时 3 几何图形面积问题 1.C 2.5 3.6 4，(1) 【解】根据题意，得𝑥(72 − 2𝑥) = 640，化简，得𝑥2 − 36𝑥 + 320 = 0 ， 解得 𝑥1 = 16，𝑥2 = 20，当𝑥 = 16时，72 − 2𝑥 = 72 − 32 = 40 > 35,舍去；当𝑥 = 20 时，72 − 2𝑥 = 72 − 40 = 32 . 答：当羊圈的长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈. （2）【解】不能，理由：由题意，得𝑥(72 − 2𝑥) = 650 ，化简，得 𝑥2 − 36𝑥 + 325 = 0，Δ = (−36)2 − 4 × 325 = −4 < 0，∴ 一元二次方程没有 实数根,∴ 羊圈的面积不能达到650 m2 . 5，3 ， 13 2 【解析】根据题意得𝑆1 = 𝑆长方形𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆大正方形 − 𝑆小正方形 + 𝑆大、小正方形重叠部分 ， ∴ 𝑆1 = 6 × 5 − 𝑎 2 − 𝑏2 + (𝑎 + 𝑏 − 6)𝑏 = −𝑎2 + 𝑎𝑏 − 6𝑏 + 30 .同理可得， 𝑆2 = 𝑆长方形𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆大正方形 − 𝑆小正方形 + 𝑆大、小正方形重叠部分 ，∴ 𝑆2 = 6 × 5 − 𝑎 2 − 𝑏2 + (𝑎 + 𝑏 − 5)𝑏 = −𝑎2 + 𝑎𝑏 − 5𝑏 + 30 , ∴ 𝑆2 − 𝑆1 = (−𝑎 2 + 𝑎𝑏 − 5𝑏 + 30) − (−𝑎2 + 𝑎𝑏 − 6𝑏 + 30) = 𝑏.又∵ 𝑆2 − 𝑆1 = 3 ，∴ 𝑏 = 3.又∵ 𝑆1 = 8，∴ −𝑎 2 + 𝑎𝑏 − 6𝑏 + 30 = 8.将𝑏 = 3 代入−𝑎2 + 𝑎𝑏 − 6𝑏 + 30 = 8，得−𝑎2 + 3𝑎 − 6 × 3 + 30 = 8,即𝑎2 − 3𝑎 − 4 = 0 ，解得𝑎1 = 4,𝑎2 = −1（舍去），∴ 𝑎 = 4 .根据题意，得𝑆3 = 𝑆大正方形 + 𝑆小正方形 − 𝑆左上空白直角三角形 − 𝑆右下空白直角三角形，∴ 𝑆3 = 𝑎 2 + 𝑏2 − 1 2 (𝑎 + 𝑏)𝑏 − 1 2 𝑎2 = 1 2 𝑎2 + 1 2 𝑏2 − 1 2 𝑎𝑏 = 1 2 × 42 + 1 2 × 32 − 1 2 × 4 × 3 = 13 2 .故答案为3， 13 2 9/42 第 21章：一元二次方程 21.3，实际问题与一元二次方程 课时 3 几何图形面积问题 1.在欧几里得的《几何原本》中，形如𝑥2 + 𝑎𝑥 = 𝑏2(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)的方程的图解法是如图（1）， 分别以 𝑎 2 和𝑏 为直角边作Rt△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ,再在斜边上截取𝐵𝐷 = 𝑎 2 ，则𝐴𝐷 的长就是所 求方程的正根. 若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 2𝑚𝑥 = 36，按照图（1）构造图（2），在Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，连接𝐶𝐷，若 𝑆△𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐶𝐷 = 5 8 ，则𝑚 的值为( ) A.8 B.5 C.2.5 D.5 4 图（1） 图（2） 2.将 2张长为𝑎，宽为𝑏(𝑎 > 𝑏 > 0) 的矩形纸片沿对角线剪裁后，和 2张边长为𝑏 的小正方形 纸片按如图的方式拼成一个边长为(𝑎 + 𝑏) 的大正方形，若图中阴影部分的面积与空白部分的 面积之比为1: 2，则 𝑎 𝑏 = ___. （第 2题图） 3.如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 16 cm，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高.动点𝑃从点 𝐴出发，沿𝐴 → 𝐷方向以√2 cm/s 的速度向点𝐷运动.设△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑆1，矩形𝑃𝐷𝐹𝐸的面积 为𝑆2，点𝐸，𝐹 分别在𝐴𝐶，𝐵𝐶上，运动时间为𝑡 s(0 < 𝑡 < 8)，则𝑡 =___时，𝑆1 = 2𝑆2 . 19/89 第 21章：一元二次方程 4.如图，老李想用长为70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙长为35 m)围成一个矩形羊 圈𝐴𝐵𝐶𝐷，并在边𝐵𝐶上留一个2 m 宽的门（建在𝐸𝐹 处，另用其他材料）. （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650 m2 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说 明理由. 5.核心素养 模型观念［较难］已知在长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 6，𝐴𝐷 = 5 ，现将两个边长 分别为𝑎和𝑏 的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式放置（图（1）、图（2）中两张正方 形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图（1） 中阴影部分的面积为𝑆1 ，图（2）中阴影部分的面积为𝑆2，若𝑆2 − 𝑆1 = 3，则𝑏 =___；在上述 条件下，在边长为𝑎 的大正方形纸片的左上角摆放一个边长为𝑏的小正方形纸片，如图（3）， 若𝑆1 = 8 ，则图（3）中阴影部分的面积𝑆3 = ___. 图（1） 图（2） 图（3） 20/89