加练19 几何探究之以线段旋转为引子-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

几何探究之以线段旋转为引子 1．在三角形ABC中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由； (3)若，请直接写出的值． 2．在正方形中，，与相交于点O．如图，作射线与边相交于点E，将射线绕点O顺时针旋转，得到射线，射线与边相交于点F，连接交于点G． (1)直接写出四边形的面积是 ； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若，求的长． 3．如图1，正方形中，点是正方形内一点，连接，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长与的延长线交于点． (1)求的度数； (2)如图2，连接，交于点，连接，若，取的中点，连接，求的长； (3)如图3，点在上方时，连接，交于点．连接．与和分别交于点和点，延长与边交于点，连接，若，，补全图形并求出的面积． 4．如图，在中，，把边绕点旋转到． (1)若，．当点落在的垂直平分线上时，请直接写出以为顶点的四边形的面积 ． (2)如图1，连接，当点在的垂直平分线上时，若，求到的距离； (3)如图2，连接交于点，当时，的垂直平分线分别交于，交的延长线于．判断：三条线段的关系，并给予证明． 5．如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)求（用含的式子表示）； (2)求证:； (3)如图2，当时，求的面积． 6．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 7．如图，在中，，，D是斜边所在直线上一点（不与点B重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点 D在线段 上，且时，连接交于点 O，求证：； (3)如图③，当点 D在 的延长线上时，试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 几何探究之以线段旋转为引子 1．解：（1）∵，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作于点F，连接 同（1）可得，，又∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∴，即，∴. 又∵，∴是等腰直角三角形，∴. ∵，，∴，∴， ∴，∴； （3）设，则， 如图所示，当点D在点A左边时，过点E作于点F， 同（2）可证，，∴， ∴，∴， ∴； 如图所示，当点D在点A右边时，过点E作于点F， 同（2）可证，，∴，， ∴，∴， ∴； 综上所述，的值为或． 2．解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴，∴， ∵射线绕点O顺时针旋转，得到射线，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴； （2）∵，∴ ∵，∴是等腰直角三角形； （3）∵，，∴ ∵，， ∴，∴， ∴，即，解得． 3．解：（1）∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，， 又∵，∴ 在中，，∴，∴ （2）∵，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形，∴ ∵四边形是正方形，是对角线，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，是的中点，∴； （3）解：如图所示，连接，连接交于点，则 ∵，，∴， 设，则，，， 由（2）可得四边形是正方形，∴，∴ 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，则 ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，则三点共线， ∵，∴， ∵，∴，∴ 在中，，∴， ∴， 在中，，∴， 解得或 ∴或 ∵四边形是正方形，，∴，， ∴，，∴，， ∴或；或， 解得或；或； ∴， ∴的面积为. 4．解：（1）如图所示，，是线段的垂直平分线， 当旋转到位置时，，， ∵点在线段的垂直平分线上，∴， 在中，， ∴ ； 当旋转到位置时，同理， ∴ ； 综上所述，以为顶点的四边形的面积为或； （2）如图所示，过点作于， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴点到的距离为； （3）， 证明如下：如图所示，延长至，使，连接， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 同理可得，，∴，∴， ∴，∴， ∴． 5．解：（1）∵线段顺时针旋转得到线段，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）如图，过点作，交延长线于点， ∴，由（1）得，，∴， ∴，∴， ∵线段顺时针旋转得到线段，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴； （3）如图，过点作，且使，连接．过点作，垂足为点， ∴，∴，∴， 又∵，∴， ∴， 由（1）得，∴， ∵在中，根据勾股定理，∴， ∵在中，根据勾股定理， ∴， ∵，∴是中点， 又∵，∴， ∴． 6．解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，，∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，，∴此时、重合，∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ，∴； 综上所述，的面积为或． 7．（1）证明：线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ，即， 在和中，，，； （2），，， ，， ，， 在和中，，， ，， ，，， ， ，， ，，， 在中，， ，则， ； （3）解：将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，， ，∴，即， 在和中，，， ∴，，， ，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$