加练20 几何探究之动点问题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

几何探究之动点问题 1．在等腰三角形ABC中，，点是边上一点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，若，点关于直线的对称点为点，连接，则 ； (2)若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 2．已知，点A在上，，动点P在直线上，连接并以为斜边作等腰直角，，连接，直线交直线于点C，当时（如图1），点P开始向左运动． (1)如图2，点P在点O的右侧运动． ①______； ②求证：； (2)当点P在点O的左侧运动时，设，的面积为S，画出图形，求S与x的函数解析式． 3．（1）如图1，在正方形中，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合．连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边上的点处，点不与点重合． ①求证：； ②求证： （2）如图2，在菱形中，，对角线和交于点，点是线段上的一个动点，且不与点和点重合． 连接和，将线段绕点旋转，点恰好落在边延长线上的点处．求证：． 4．已知：在的下方作．为射线上一动点． (1)如图（1），若运动到，求证：； (2)如图（2），若运动到． ①若设，，求的值： ②若设，，求的长． 5．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 6．如图1，在正方形中，是射线上的一个动点，过点作交的延长线于点，射线交直线于点，连接． (1)求证：； (2)猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； (3)若正方形边长为4，． ①如图2，当点在的延长线上时，求和的长； ②如图3，当点在线段上时，直接写出和的长． 7．如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； (3)如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 8．已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长． 几何探究之动点问题 1．解：（1）∵，∴三角形ABC是等边三角形，∴， ∵点D关于直线的对称点为点E，∴， ∴； （2）①补全图形如下： ②，证明如下： ∵，∴三角形ABC是等边三角形，∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，∴， ∴，∴，即， 在和中，，∴，∴； （3），证明如下： 连接，如图： ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∵，∴，即． 2．解：（1）①∵是以为斜边作等腰直角三角形，， ∴； ②证明：过点B作，垂足分别为， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵是以为斜边作等腰直角三角形，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）如图，当时， 同理（1）②得：，∴四边形是正方形，， ∴， ∵，，∴，，∴， ∴， ∴的面积； 当时，点重合，不存在； 如图，当时， 同理（1）②得：，∴四边形是正方形，， ∴， ∵，，∴，，∴， ∴， ∴的面积； 综上，的面积． 3．（1）①证明：根据正方形对角线的性质，垂直平分， 上的点到和B距离相等，． ②过点作于点，于点，如图 线段绕点旋转得到，； 又，； 又，，，四边形是矩形，； 是正方形，，，则， ，． （2）证明：根据菱形对角线的性质，垂直平分， 上的点到和B距离相等，； 又由旋转得到，． 作交于点，交于E点，如图 则四边形是平行四边形，； 根据菱形性质：菱形的四条边都相等，及题意：， 得，和都是等边三角形； 作交于点，，，， ，． 4．（1）证明：，，， ； （2）①以为圆心以为半径画弧交于，连接， ，． 又  ，， ，∴，∴，； ②解：以为圆心以为半径画弧，交于，连接，过、A分别作，， ，． 由（2）得，，，． ，，， 在和中，设则， 根据勾股定理得：  ， ，即，解得， 则． 又，，即， ． 又  ，，． 5．解：（1）∵，，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 由题意可知，，则，∴； （2）由（1）可知，，，则，则， ∵，∴当时，， 即，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （3）由题意可得：， ∵，，，，∴，∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则，即点到的距离为1； 当时，， ∴，解得或（不符合题意舍） 此时，，则， ∴点在射线上，则，即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 6．（1）证明：四边形是正方形，，， ，，， 又，，，． （2）解：， 理由：如图1，过点作于，， ，即， 四边形是正方形，， 由（1）知：，，， ，， ，． （3）解：①如图2，在上截取，连接， 在正方形中，，， ，，，， ，，，， ， ， 为等腰直角三角形，根据勾股定理得， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得， ， ，，， ，， ，； ②，正方形的边长为4，， ， ，，， ，， 由（2）知：，． 7．（1）证明：∵三角形ABC中，，∴ , ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴ （2）解：由（1）可知，如图，过D点作于G， ∴， ∵，∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， 令，∴，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积四边形的面积 ； （3）由（1）可知， ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，∴，， ∵，∴，， ∵，∴，∴， 设，则，，过M点作于K， 则， ∵， ∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 解得：（不合题意，舍去），∴的长为． 8．解：（1）当为正方形时，若，则的值为，理由如下： 在上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴； （2）在上截取，连接，如图： ∵为矩形，∴， ∴，∴， ∵∴，， ∴，， ∴，，∴， ∴，∴，∴； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， 同理，∴，， ∵为菱形，∴，，， ∴，， ∴，， ∴，∴， ∵，∵，∴， ∴，， ∵，∴，，∴， ∵，∴，即，∴， ∴， ∵，，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$