加练18 几何探究之以图形折叠为载体-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

几何探究之以图形折叠为载体 1．如图1，在三角形ABC中，，，是边上一点，将沿过点D的直线折叠得到，点C的对称点恰好落在线段上，交边于点，将沿过点的直线折叠得到，点B的对称点落在射线上，射线交边于点． (1)求证：； (2)若点与点重合，其他条件不变，请在备用图中补全图形，并解答下列问题： ①猜想与的数量关系，并加以证明； ②若，求的长． 2．点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 3．折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题． 数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 在矩形中，，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)如图1，点与点重合，连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，延长线过点，若，求的长； (3)如图3，点的对应点落在边上，过的中点，连接，若，求的长． 4．综合与实践 如图1，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得到平行于的折痕，其中． (1)求证：； (2)你认为和相似吗？如果相似，请证明，如果不相似，请说明理由； (3)如图3，延长交于点G，沿折叠，使点E落在上为点H，连接交于F，求的长． 5．在三角形ABC中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 6．如图，在平行四边形中，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若，且的延长线恰好经过点．求证： ； (2)如图2，若，延长、分别与边、相交于、，若，，求的值； (3)如图3，若，，，、所在直线分别与直线、直线相交于、．作于点，若，直接写出 的值． 几何探究之以图形折叠为载体 1．（1）证明：设与相交于点G， ，，， 由题意，知，， ，， ，， ， ，， ， ，，； （2）①猜想：． 证明：过点作交的延长线于点， ，， 由（1）知，，， ，，， ，，， ，，； ②过点E作于点M， 则， ，，， ，，， ，， ，，，， ． 2．解：（1）由折叠的性质，得到，， ∴， ∴， ∴； （2）由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴，， ∴； （3）∵，∴， 由折叠的性质，得到，． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 3．解：（1）四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵折叠，点与点重合， ∴，，， 在和中，， ∴，∴， ∵，， ∴， 又∵，，∴， ∴，∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，连接， ∵折叠，∴，，，， ∴， ∵延长线过点，∴，， 在和中，，∴， ∴，∴， 设，则， 在中，，∴， 解得，，∴； （3）∵，， ∴， ∵折叠，∴，，，， ∴，且， ∴，∴， ∵点是的中点，∴， 设，则， ∴，∴，∴， 在中，， ∴，整理得，， ∴（负值舍去），∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得，，∴， ∴， 如图所示，过点作延长线于点，则， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，解得，， ∴， 在中，， ∴． 4．（1）证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上， ∴， ∵矩形对边平行，∴，∴， ∵，∴， 在和中，∵，， ∴； （2）解：和相似； 证明：∵，∴， ∵矩形纸片上下对折，折痕为，∴， ∴即， 又∵，∴； （3）解：取的中点O，连结， ∴，∵， ∴，∴，∴是等边三角形，∴， 在中，∵，∴， ∵，，∴， 可得. 在中，∴ 由勾股定理可得：，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴． 5．解：（1）∵，，∴， ∵，，∴， ∵点D为中点，∴，∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，，∴； （2）如图2，过点D作交于点H， ∵，，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，，∴，∴， ∴，，∴， 又∵，，∴，∴， ∴，∴； （3）如图3，在上截取，连接， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，，∴， ∵折叠，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴点B，点Q，点D三点共线， ∵折叠，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 6．解：（1）∵平行四边形，，∴平行四边形是矩形， ∴，∴， ∵折叠，∴，∴，∴，∴； （2）∵平行四边形，，∴平行四边形是矩形， ∴∠D=90°，， 同（1）可得：， ∵折叠，∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）∵平行四边形，，∴四边形为菱形， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴， 当点在点的左侧时，过点作，如图：则：，， ∵，∴， ∵折叠，∴， 同（1）可得：， 设，∴，∴， 在中，由勾股定理，得：，∴， ∵，∴，∴； 当点在点的右边时，过点作，如图 ∵，∴， ∵折叠，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴， 设，∴， 在中，由勾股定理得：，解得：， ∴，∴， ∵，∴，∴． 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$