加练17 几何最值问题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

几何最值问题 1．在正方形网格中，点A，B为格点，点P为直线l上的动点，则使PA+PB的值为最小的点是（　　） 第1题图 A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 2．如图，在平面直角坐标系中有两点A（1，4），B（2，2），点M是y轴上一点，使MA+MB最小，则点M的坐标为（　　） 第2题图 A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 3．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　） 第3题图 A．2 B．4 C． D． 4．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（　　） 第4题图 A． B． C．1 D．2 5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则PB+PE的最小值为（　　） 第5题图 A．2 B． C．4 D．2 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点B在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　） 第6题图 A． B． C．9 D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝10，AB＝8，则四边形ACGH周长的最小值是（　　） 第7题图 A．28 B．26 C．22 D．18 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点P是矩形ABCD内一动点，且S△ABP＝S△CDP，则PC+PD的最小值为（　　） 第8题图 A． B．2 C．3 D．9 9．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值是（　　） 第9题图 A．5 B．3 C．6 D．2 几何最值问题 1．C 2．C【解析】如解图，作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴与M，则M点即满足使MA+MB最小．∵A（1，4），∴A′（﹣1，4），∵B（2，2），∴设直线A′B的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴yx，当x＝0时，y，∴M的坐标为（0，）． 第2题解图 3．D【解析】如解图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC＝∠AOB＝30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，此时，PM+MN′＝PN′为PM+MN的最小值，∵∠BOC＝60°，OP＝2，∠PN′O＝90°，∴∠OPN′＝90°﹣60°＝30°，∴ON′OP2＝1，在Rt△PON′中，PN′，∴PM+MN的最小值为． 第3题解图 4．A【解析】如解图，连接BE交AD于点P′，连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P，∵△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，∴P′B＝P′C，P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，根据两点之间线段最短，点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长．BE，所以P′E+P′C的最小值为． 第4题解图 5.D【解析】由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝4，∴△DCB是等边三角形，∵BE＝CE＝2，∴DE⊥CB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△CDE中，DE2．即PB+PE的最小值为2． 第5题解图 6．A【解析】如解图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE＝90°，BC＝3，CECD＝1，∴BE． 第6题解图 7．A【解析】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AC＝10，AB＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝18+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝10，∴四边形ACGH的周长最小值为18+10＝28． 8．C【解析】∵点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD， ∴点P到AB的距离等于点P到CD的距离，∴点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC， ∴PC+PD＝BP+PD，当点B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值等于对角线BD的长，又∵AB＝CD＝6，BC＝9，∴对角线BD3，∴PC+PD的最小值为3． 9．B【解析】如解图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得HG'即GE+CF的最小值为3． 第9题解图 学科网（北京）股份有限公司 $$