加练16 与圆有关的最值模型-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

与圆有关的最值模型 1．如图，一块边长为的正方形铁板，在其内部切下一个圆，则这块铁板剩下面积的最小值与下列各数最接近的是（　　） A．1 B．0.86 C．0.65 D．0.44 2．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（　　）​ A． B．1 C． D． 3．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD，BC相交于点E．则△EDC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为5，以C为圆心，2为半径作⊙C．点P为⊙C上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，连接CP'．在点P运动的过程中，CP'长度的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点M的坐标为（3，4），点A的坐标为（﹣2，0），点A、点B关于原点对称，点P是平面上一点，且满足PA⊥PB，则线段PM的最小值为 　 　． ​ 6．如图，⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为⊙O上一动点，Q为弦AP上一点，AQ＝3PQ．若点D的坐标为（0，﹣4），则CQ的最小值为 　 　． 7．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 　 　． 8．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　． 9．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是 　 　． 10．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 　 　． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是 　 　． 12．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线， （1）若∠CAB＝∠P，则AC＝　 　； （2）AC的最大值＝　 　． 13．已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5． （1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA； （2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积； （3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是 　 　． ​ 14．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N（0，﹣2）． 对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，已知点M（0，1），点P（4，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②求证：OQOM； （2）点P在x轴正半轴上，且OP＝t（t＞1），点Q为点P的“对应点”，连接PQ，当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积（用含t的式子表示）． 15．如图1，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，点E在射线AB上运动，将△AED沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F． （1）【初步探究】当点G落在BC边上时，求BG的长； （2）【深入探究】在点E的运动过程中，BG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，点P为BG的中点，连接AP，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值． 参考答案与试题解析 1．【解析】解：依题意当这块铁板剩下面积的取最小值时内部切下的圆最大， 当圆的面积最大的时候圆为正方形的内切圆， 所以圆的直径为正方形的边长， 即圆的半径为， ∴这块铁板剩下面积的最小值＝正方形的面积﹣内切圆的面积π2π≈0.44． 故选：D． 2．【解析】如解图，连接AQ， ∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC， ∴△BCQ∽△BPC， ∴BQ：BC＝BC：BP， ∵AB＝BC， ∴BQ：AB＝AB：BP， ∵∠ABQ＝∠PBA， ∴△ABQ∽△PBA， ∴∠AQB＝∠BAP＝90°， ∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上， 如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小， ∵BC＝2， ∴OB＝1， ∴OC， ∵OQ＝1， ∴CQ1． 故选：C． 3．【解析】解：∵点A，B，C，D在⊙O上， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠EDC＝180°， ∴∠ABC＝∠EDC， 又∵∠DEC＝∠AEB， ∴△EDC∽△EBA， ∴， 即． 连接BD，OC，OD， ∵BD为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC＝OD＝DC＝1， ∴△COD为等边三角形， 则∠COD＝60°， ∴∠DBC∠COD＝30°， ∴∠BED＝∠ADB﹣∠DBE＝90°﹣30°＝60°， 过点E作EF⊥AB于点F，连接OE， ∵OE+OF≥EF， ∴当点F与点O重合时，EF取得最大值，最大值为OE， 此时EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∵∠AEB＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴AE＝AB＝EB＝2，EF＝AE•sin60°＝2， ∴S△AEBAB•EF， ∴． 故选：B． 4．【解析】解：连接P'A，PC， ∵∠ABC＝∠P'BP＝90°， ∴∠P'BA＝∠PBC， ∵BP'＝BP，BA＝BC， ∴△P'BA≌△PBC（SAS）． ∴P'A＝PC＝2， ∴P'在以A为圆心，2为半径的圆上， 连接AC，则当P'在CA的延长线上时，P'C最长， 此时P'C＝P'A+AC＝252， 故选：A． 5．【解析】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OM与⊙O交于点P，过点M作MD⊥x轴于点D， 此时满足PA⊥PB，PM的值最小， ∵点M的坐标是（3，4）， ∴， ∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴OP＝OA＝2， ∴PM＝OM﹣OP＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 6．【解析】解：连接PO，过Q作QM∥OP，交AO于M，以M为圆心，MA为半径作圆，连接MC交⊙M于Q′， ∴AM：AO＝AQ：AP， ∵AQ＝3PQ， ∴AQ：AP＝3：4， ∵D的坐标是（0，﹣4）， ∴OA＝OD＝4， ∴AMAO4＝3， ∵OA＝OP， ∴∠MAQ＝∠P， ∵QM∥PO， ∴∠MQA＝∠P， ∴∠MAQ＝∠MQA， ∴MQ＝MA＝3， ∴Q在⊙M上， ∴当Q与Q′重合时，CQ最小， ∵OM＝AO﹣AM＝4﹣3＝1，OC＝4， ∴MC， ∴CQ′＝CM﹣MQ′3， ∴CQ的最小值是3． 故答案为：3． 7．【解析】解：∵AF⊥DE， ∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取D中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求， ∵正方形的边长为2， ∴DC＝2，DH＝1， ∴CH， ∵HP＝1， ∴CP1． 故答案为：1． 8．【解析】解：连接OP， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值， 连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝5，MQ＝12， ∴OM＝13， 又∵MP′＝4， ∴OP′＝9， ∴AB＝2OP′＝18， 故答案为：18． 9．【解析】解：∵点P在平面内．∠MPN＝90°， ∴点P在以MN为直径的圆上， 如图，以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P′， 此时，PC长度最小为P′C， ∵直线分别与x轴、y轴相交于点M，N， ∴M（﹣8，0），N（0，6）， ∴OM＝8，ON＝6， 在Rt△MON中，MN10， ∴EM＝EN＝EP′5， ∵M（﹣8，0），N（0，6），点E为MN的中点， ∴E（﹣4，3）， ∵C（0，3）， ∴CE＝4， ∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1， ∴PC长度的最小值是1． 故答案为：1． 10．【解析】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′， 则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC， ∵， ∴∠APD＝∠ACB＝45°， ∵AD⊥AP， ∴∠DAP＝90°， ∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°， ∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的上运动， 在等腰直角△ABO′中，O′B3， 在Rt△BO′C中，CO′， ∴O′D＝O′B＝3， ∵CD≥CO′﹣O′D ∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D3． 故答案为：3． 11．【解析】解：如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM， 设DP＝DE＝a， ∵△PDE为等边三角形，PM⊥DE， ∴∠DPE＝60°，∠DPM＝30°，M为DE中点， ∴DM，OM， 根据勾股定理可得PM， 以此可得PM+OM≥1， 即， 解得：； 如图，过点P作PM⊥DE于点M，连接OM， 设DP＝DE＝a， 同理可得，OM，PM 根据图象可得，PM﹣OM≤1， 即， 解得：； 综上，， ∴PD的取值范围是． 故答案为：． 12．【解析】解：如图1，作BH⊥AC， ∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P， ∴△BAC∽△BPA， ∴， ∴BA2＝BC•BP， ∵AC是△ABP的中线， ∴BP＝2BC， ∴， ∴BC＝4， 在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4， ∴BH＝4， 又∵BC＝4， ∴点H和点C重合， ∴AC＝AH＝4． 故答案为4． （2）如图2， ∵点P的运动轨迹是圆， ∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆， ∴当AC'经过圆心O'时最大． ∵∠P＝45°， ∴∠AOB＝90°， 又∵AO＝4，OO'＝2， ∴AO'＝2， ∵O'C'＝2， ∴AC'＝2+2， ∴AC的最大值为2+2． 故答案为2+2． 13．（1）证明：∵， ∴∠CAD＝∠DBC， ∵， ∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD， ∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA， ∴∠CAB＝∠DBA， 又∵AB＝BA， ∴△CAB≌△DBA（SAS）； （2）解：过D作DH⊥AB于H，连接OD，如图2： ∵半圆O中，直径AB＝10， ∴OA＝OD＝5， ∵∠DAB＝22.5°， ∴∠DOB＝45°， ∴DHOD，S扇形DOB， ∴S△AODOA•OH， ∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD； （3）连接OM，OC， ∵M是CD的中点， ∴OM⊥CD，CMCD， ∴OM， ∴点M在以O为圆心，为半径的圆弧M'M''上运动， 过M'作M'N⊥AB，垂足为N， ∵sin∠AOM'， ∴M'N＝OM'•sin∠AOM'， ∴点M到AB的距离的最小值是， 故答案为：． 14．（1）①解：如图，点Q即为所求； ②证明：过点P′作P′E⊥y轴于点E， ∵点M（0，1），点P（4，0）， ∴MO＝1，OP＝4， 由旋转得：MP′＝MP，∠P′MP＝90°， ∴∠PMO+∠P′ME＝90°， ∵∠P′EM＝∠POM＝90°， ∴∠MP′E+∠P′ME＝90°， ∴∠MP′E＝∠PMO， ∴△MP′E≌△PMO（AAS）， ∴P′E＝MO＝1，ME＝OP＝4， ∴OE＝ME﹣OM＝4﹣1＝3， ∴P′（﹣1，﹣3）， 设Q（x，y），又点N（0，﹣2）， ∵点P′关于点N的对称点为Q， ∴0，2， 解得：x＝1，y＝﹣1， ∴Q（1，﹣1）， 由两点间距离公式可得：OQ， ∴OQOM； （2）解：P点绕O点顺时针旋转90°后得到点G， ∴P（t，0），G（0，﹣t）， 设M（a，b），当点M在第四象限时，过点M作ME⊥x轴于E，过点P′作P′F⊥ME于F， 则∠PEM＝∠MFP′＝∠P′MP＝90°，MP′＝MP， ∵∠PME+∠MPE＝90°，∠PME+∠P′MF＝90°， ∴∠MPE＝∠P′MF， ∴△PME≌△MP′F（AAS）， ∴MF＝PE＝t﹣a，P′F＝EM＝﹣b， ∴P′（a﹣b，a+b﹣t）， ∴GP′， ∵M（a，b）在⊙O上， ∴a2+b2＝1， ∴GP'， ∴P'在以G为圆心，为半径的圆上， 设G点关于N点的对称点为H，则H（0，t﹣4）， ∴QH，PH2＝（t﹣0）2+（0﹣t+4）2＝2t2﹣8t+16， ∴Q点在以H为圆心为半径的圆上， ∴PQ的最大值为PH，PQ的最小值为PH， ∴PQ长的最大值与最小值的积为（PH）（PH）＝2t2﹣8t+14， 故答案为：2t2﹣8t+14． 15．解：（1）当点G落在BC边上时，如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 由翻折得：DG＝AD＝12， 在Rt△CDG中，CG4， ∴BG＝BC﹣CG＝12﹣4； （2）如图2，以D为圆心，AD长为半径作⊙D， 由翻折得：DG＝AD＝12， ∴点G在⊙D上运动， 当点G在线段BD上时，BG最小，此时，BG＝BD﹣DG， 在Rt△ABD中，BD4， ∴BG＝BD﹣DG＝412， 故在点E的运动过程中，BG存在最小值，BG的最小值为412； （3）如图3，以D为圆心，AD长为半径作⊙D，延长BA至H，使AH＝BA＝8，连接GH， ∵AH＝BA， ∴点A是BH的中点， ∵点P为BG的中点， ∴AP是△BGH的中位线， ∴APGH， 则AP最大时，GH最大， 由翻折得：DG＝AD＝12， ∴点G在⊙D上运动， 当HG经过点D时，GH最大，如图4， 在Rt△ADH中，HD4， ∴GH＝HD+DG＝412， ∴APGH＝26， 故点E在射线AB上运动过程中，AP长的最大值为26． 学科网（北京）股份有限公司 $$