加练9 二次函数综合探究题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数综合探究题 1．【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 2．问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 3．【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 4．【发现问题】 在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下： 【提出问题】 在摆出的数阵中，所需围棋子颗数y 与数阵层数x之间具有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明同学结合实际操作和计算得到的数据如下表： 数阵 1 2 3 4 棋子颗数 3 8 15 24 小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有3颗棋子，以后每层都比上一层多2颗棋子，则第x层有颗棋子． ∴①或②． 就可以得到y与x之间的函数关系． 【解决问题】 (1)直接写出y与x之间的函数关系；(不需要写出自变量x的取值范围) (2)一副围棋共有361颗棋子，摆出上面的数阵，若使剩余棋子最少，则最少剩几颗棋子？ (3)若每颗圆形棋子的周长为，要想摆下(2)中最大的数阵，需要一张长、宽至少为多少厘米的矩形桌子？(结果精确到．参考数据： 棋子间缝隙忽略不计) 5．【发现问题】 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． (4)若抛物线上有点，点，点C是第一象限内抛物线上的一个动点，使得，请求出C点坐标． 6．【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 二次函数综合探究题 1.解：（1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点， 设这条抛物线的解析式为， 将B，D代入得，解得， 设这条抛物线的解析式为； ②将代入中，， 答：这个门洞内部顶端离底面的距离为9米． （2）由对称性可知机翼一侧的长为米， 所以将代入中，， 答：飞机飞行时高度必须控制在米以下． （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小． 分情况讨论： ①当时，y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得，解得，∴b的取值范围为， ②当时，y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得，解得，∴b的取值范围为， 综上所述，或， ∴b的取值范围为：． 2.解：（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得，∴一次函数解析式为； 当时，，则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：，∴，解得；∴； （2）①当时，．∴球网的高度为； ②当时，，，（舍） 落地点到球网的距离：； （3）由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设，∴，∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大， 设，∴，解得， 则a的范围是 3．解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 可设抛物线为， 又抛物线过，，， 抛物线为； （2）①小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为， ， 又，； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为， 令，则， 又对于小丽而言，其对应抛物线为， 令，则， 她们本次训练不会失误． 4．解：（1）根据题意：得： ，∴，∴； （2）由（1）得 ∵，∴，即， ∵，∴，即， ∵，∴， ∵x为正整数，∴， 在中，当时，y随x的增大而增大， 当时，，∴，∴最少剩1颗棋子． （3）由(2)可知，最大数阵有18层棋子，棋子最多的一层有(颗)．， ∵每颗圆形棋子的周长为，∴，解得， ∴每颗圆形棋子的直径为. 如图， ，，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴，∴， ∴需要一张长至少为，宽至少为的矩形桌子． 5．解：（1）由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， （2）设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为，则，得抛物线的解析式为， 把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入，得，解得或（不符合题意，舍去）， ∵，∴明明在此次考试中能得到满分． （4）如图所示， 过点B作，过点E作轴交y轴于点D，过点B作交延长线于点F， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴，∴. 设，∵，点，∴，，，， ∴，解得，∴. 设，所在直线表达式为， ∴，∴解得，∴，所在直线表达式为. ∴联立和抛物线得， 整理得，解得（舍去）或， ∴将代入，∴点C的坐标为． 6．解：（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意可知该抛物线顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为，把代入解析式，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）根据题意，危险高度，安全最低高度为， ∵，当时，，解得， ∴匾额的最大长度为， 根据题意，方案的设计长度为，由，故牌匾悬挂不能成功． 若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为， 即把字间距由改为即可实现悬挂目标． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ∵，设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得，解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，，∴， ∴，根据题意，方案的设计宽度为， 由，故牌匾悬挂能成功． 学科网（北京）股份有限公司 $$