加练9 二次函数综合探究题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数综合探究题

1．【提出问题】

小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．

【分析问题】

数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米．

【解决问题】

(1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系．

①求出抛物线的函数表达式；

②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？

(2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？

(3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．

2．问题：如何设计击球路线？

情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上．

击球方案：

扣球	羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为．
吊球	羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米．
高远球	羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间．

探究：

(1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；

(2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少；

②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；

(3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围．

3．【发现问题】

在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．

【提出问题】

在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关

系．

【分析问题】

小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下：

水平距离（）	3	3.6	4.2	4.8	5.2
竖直高度（）	10		10

（1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式；

【解决问题】

（2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．

①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）；

②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．

4．【发现问题】

在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下：

【提出问题】

在摆出的数阵中，所需围棋子颗数y 与数阵层数x之间具有怎样的函数关系？

【分析问题】

小明同学结合实际操作和计算得到的数据如下表：

数阵	1	2	3	4
棋子颗数	3	8	15	24

小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有3颗棋子，以后每层都比上一层多2颗棋子，则第x层