加练8 新定义函数综合题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

新定义函数综合题

1.定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”．

(1)求函数的“等距点”；

(2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”，

①点的坐标为 ；

②点的坐标是，连接，求的面积；

(3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值．

2.定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”．

(1)如图2，当时，求抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的函数表达式；

(2)已知抛物线，将其顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，恰

好落在抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点M的坐标；

(3)已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当0≤x≤1时，最大值与最小值的差为3，求t的值．

3．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”．

(1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由．

(2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值．

(3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”．

①求该二次函数的表达式；

②当时，二次函数 的最小值为，最大值为0，求的取值范围．

4.在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形．

(1)点的关联点的坐标为　　；

(2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标；

(3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明；

(4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值．

5.在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）．

例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点．

(1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________；

(2)点的1级变换点在直线上，求b值；

(3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点．

①设点，求n与m的函数关系式；

②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围．

6.定义：如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点位置不同，将点B绕着点A顺时针旋转后得到点C，称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转后得到点D，称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”．

【问题初探】（1）如图2，已知点O坐标为，点E坐标，求出点E关于点O的“垂链点”坐标．小明提出连接，作，使，点F为点E关于点O的逆时针“垂