加练8 新定义函数综合题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

新定义函数综合题 1.定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 2.定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”，点M为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． (1)如图2，当时，求抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的函数表达式； (2)已知抛物线，将其顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点M的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点M的坐标； (3)已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当0≤x≤1时，最大值与最小值的差为3，求t的值． 3．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为，最大值为0，求的取值范围． 4.在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 5.在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． (1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； (2)点的1级变换点在直线上，求b值； (3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 6.定义：如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点位置不同，将点B绕着点A顺时针旋转后得到点C，称点C为点B关于点A的顺时针“垂链点”，将点B绕着点A逆时针旋转后得到点D，称点D为点B关于点A的逆时针“垂链点”． 【问题初探】（1）如图2，已知点O坐标为，点E坐标，求出点E关于点O的“垂链点”坐标．小明提出连接，作，使，点F为点E关于点O的逆时针“垂链点”，作轴于点G，作轴于点H，可以证明，则，，则点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为_________，请你求出点E关于点O的顺时针“垂链点”的坐标为_________； 【方法迁移】（2）如图3，已知直线与x轴，y轴分别交于J，K两点，求出点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标． 【拓展应用】（3）如图4，已知直线与x轴，y轴分别交R，Q两点，点P在第二象限内，P点坐标为，若点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，直接写出点Q关于点P的“垂链点”的坐标． 7.【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”． 【概念理解】 （1）求直线上的“倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G． ①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标； ②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m的值为 ． 新定义函数综合题 1.解：（1）由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，∴， ∵直线与直线平行，∴，解得：，∴， 即函数的“等距点”为； （2）①将点的坐标代入函数表达式得：， 则函数的表达式为：，与直线有交点， 则，即，解得：， ∵时，则点； ②根据函数的对称性，则三角形ABC的面积； （3）由题意得“等距点”所在的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 则或，解得：． 2.解：（1）当时，则两个函数关于原点对称， 则“中心镜像抛物线”的函数表达式为：， 即； （2）对于抛物线，将其化为顶点式： 所以抛物线的顶点坐标为． 将顶点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，根据点的平移规律“右加左减，上加下减”，得到平移后的顶点坐标为，即， 平移后顶点坐标为：， 由中点坐标公式得，“中心镜像抛物线”的函数的顶点坐标为：， 则“中心镜像抛物线”的函数的表达式为： 当时，，则 ①， 将代入得：② 联立①②并解得：，即点； （3）由新定义知，，则函数的表达式为：， 当时，，同理可得：当时，，当时， 当时，函数在和时分别取得最小和最大值，则，解得； 当时，同理可得：，解得； 当时，函数在时取得最大值， 当，即时，则函数在时取得最小值， 则，解得（舍去）； 当时，同理可得：，解得（舍去）， 综上，或． 3.解：（1）函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：，解得 函数的图象上“互反点”的坐标为 函数的图象上存在“互反点”． 根据题意，得：，解得， 函数的图象上“互反点”的坐标为． （2）在函数中，令， 解得：（负值已舍去），， 在函数中，令，解得， ，， ，，，解得：或；或无解． 的值为4或． （3）①根据题意，把代入得， ． 函数图象上的“互反点”必在直线上， 二次函数的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 即，有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：，由， 解得：，， 该二次函数的表达式为． ②，其图象的对称轴为直线，最小值为， 当时，，解得：或 二次函数图象与轴交点的坐标为和， 当时，二次函数的最小值为，最大值为0． 的取值范围是． 4.解：（1）根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为； （2）点在直线上，可设点的坐标为， 又，，点的关联点的坐标为， 点在直线，，解得，， 点的坐标为； （3）为等腰直角三角形，证明如下： ，点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ，，，，，， ，，在和中，， ，，， ，，， 为等腰直角三角形； （4），，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形，， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点，设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即最小值为． 4.解：（1）点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上，∴． （2）当时，即，点的1级变换点是， ∵点在直线上，∴，解得； 当时，即，点的1级变换点是，∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去．所以b的值是7； （3）①当时，即， 则点在函数的图象上， ∴，即； 当时，即， 则点在函数的图象上，∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，，当时，； ，当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 5.解：（1）由旋转的性质得，， ∵，∴． ∵作轴于点G，作轴于点H，∴， ∴，∴，， ∴点E关于点O的逆时针“垂链点”F坐标为； 当点E关于点O顺时针旋转时，如图， 同理可求：，，∴点E关于点O的顺时针“垂链点”F坐标为． （2）如图， 当时，，∴． 当时，，∴． 同（1）可证，，∴，，∴， ∴点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为； （3）当时，，∴． 当时，，∴． 当顺时针旋转时，如图，点P坐标为所在的竖直直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为，∴． 同（1）可证，，∴，∴，∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，∴，∴，∴； 当逆时针旋转时，如图，点P坐标为所在的直线为l，作于B，作于A， ∵P点坐标为，∴． 同（1）可证，，∴，∴，∴， ∵点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线上，∴，∴，∴； 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为或． 7．解：（1）设直线上的“倍值点”的坐标为， 则，解得，∴； （2）①代入，得， 当时，，∴， ∵，∴的顶点为， 由翻折知，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴的顶点为，∴的解析式为， 设 “倍值点”为， 当在上时，，解得（舍去），∴； 当在上时，，解得，∴，； ②由①知，上有两个“倍值点”为、， ∵G上存在三个“倍值点”，，，且， ∴当，时， ∵，∴,∴，∴， ∴，∴或（舍去）； ∵的顶点为，∴解析式为，∴， 解得或，作为B、C的横坐标， 则，解得，∴，解得或（舍去）， 学科网（北京）股份有限公司 $$