加练7 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数的实际应用 1．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（　　） A．1米 B．3米 C．4米 D．米 2．某车在弯路上做刹车试验，收集到的数据如表所示： 速度x（km/h） 0 5 10 15 20 a … 刹车距离y（m） 0 0.75 2 3.75 6 12 … 则a＝　 　km/h． 3．如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 　 　． 4．已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价　 　元时，每天的总利润达到最大． 5．为了庆祝2022年元旦，九年级（1）班举办了明信片设计活动，小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片，已知该明信片的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm，若14≤x≤16，则右侧留言部分的面积最大为 　 　cm2． 6．一种包装盒的设计方法如图1所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图2中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒，要使包装盒的侧面积最大，则BE应取 　 　cm． 7．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出500件，市场调查反映：售价每上涨1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设销售单价为每件x元（x≥50），每星期的销售量为y件． （1）写出y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）商店要使每星期销售利润为8000元，销售价应为每件多少元？ （3）当销售价定为每件多少元时，每星期获得利润最大？最大利润为多少元？ 8．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积比为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值． （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 9．据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 10．某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y，数据如表． 时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8 x＞8 累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640 （1）求a，b，c的值； （2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）； （3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 11．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v． （1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ （2）已知q，v，k满足q＝vk． ①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象； ②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v． 12．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的28天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示． （1）求销售量n与第x天之间的函数关系式； （2）求草莓上市销售第8天李大爷的销售收入； （3）求草莓上市销售的第11天至14天这4天，每天的销售收入y与第x天之间的函数关系式；并求出这4天当中哪一天的销售额最高？为多少元？ 13．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒． （1 ）求每个水果礼盒的成本（成本＝水果成本+盒子成本）； （2）若每个礼盒的售价是a元（a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每个礼盒的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润． 14．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；购进2台A型汽车，5台B型汽车共花费60万元． （1）填空A，B两种型号汽车的进货单价分别为 　 　，　 　元； （2）销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系yA＝﹣x+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价z（万元/台）满足函数关系yB＝﹣z+14．若B型汽车的利润比A型汽车的利润高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车售价是多少时，A型汽车的利润率是B型汽车利润率的（利润率）； ②填空：当B型汽车的售价为 　 　万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大为 　 　万元． 15．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 16．为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 17．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m． （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标． 18．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 参考答案与试题解析 1．C 2．30 3．2.5m 4．6 5．320 6．20 7．解：（1）由题意可得， y＝500﹣10（x﹣50）， ∴y＝﹣10x+1000，50≤x≤100． （2）由题意可得， （x﹣40）（﹣10x+1000）＝8000， 解得：x1＝60，x2＝80． 答：销售价定为每件60元或80元时利润为8000元． （3）设每周销售利润为z元， z＝（x﹣40）（﹣10x+1000）， ∴z＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000（50≤x≤100）， ∴当x＝70时，z有最大值，最大值为9000元． 答：售价定为70元时，每星期获得利润最大，最大利润为9000元． 8．解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为（8﹣x） m， ∴（x+2x）×（8﹣x）＝36， 解得x＝2或x＝6， 经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去， ∴x＝2， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是ym2， ∵墙的长度为10m， ∴0＜x， 根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0， ∴当x时，y取最大值，最大值为﹣3×（4）2+48（m2）， 答：当x时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2． 9．解：①由题意得： 100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）． 答：景区六月份的门票总收入为798万元； ②设丙种门票价格降低x元，景区六月份的门票总收入为W万元， 由题意，得 W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x）， 化简，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6， ∵﹣0.1＜0， ∴当x＝24时，W取最大值，为817.6万元． 答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元． 10．解：（1）由题意，， 解得，； （2）设第x分钟时的排队人数为W， 根据题意得：W＝y﹣20x， ∴W， 当0≤x≤8时， W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490， ∴当x＝7时，W最大＝490， 当x＞8时，W＝640﹣20x， ∵k＝﹣20＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴W＜480， 故排队人数最多时有490人； （3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0， 解得：x＝32， 所以全部学生都完成核酸检测要32分钟； 开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得： 5×20（m+4）≥640， 解得：m≥2.4， ∵m为整数， ∴m＝3， 答：从一开始就应该至少增加3个检测点． 11．解：（1）∵函数关系式q＝﹣2v2+120v，化为项点式得q＝﹣2（v﹣30）2+1800， ∵﹣2＜0， ∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800； （2）∵q，v，k满足q＝vk， ∴． ①当v＝18时，q＝﹣2×82+120×18＝1512，此时， 当v＝28时，q＝﹣2×282+120×8＝1792，此时， ∴64≤k≤84，即当车流密度k满足64≤k≤84时，该路段不会出现交通拥堵现象； ②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，且d＝25， ∴（辆/千米）， ∴q＝40v． 又∵q＝﹣2v2+120v， ∴40v＝﹣2v2+120v． 解得：v1＝40，v2＝0（舍去）， ∴v＝40，即此时的速度v＝40千米/小时． 12．解：（1）当l≤x≤10，设直线AB的解析式为n＝kx+b， 将A（1，12）、B（10，30）代入可得： ， 解得：， 即此时解析式为：n＝2x+10． 当10＜x≤28时，同理可得：nx+45， 则销售量n与第x天之间的函数关系式为： n （x为整数）． （2）解：令x＝8分别代入价格函数和销量函数， 得：m＝2×8+16＝32， n＝2×8+10＝26， 则第8天的销售收入为mn＝32×26＝832（元）； （3）解：在11天至14天这4天里， m＝2x+16，nx+45， 则每天的销售收入y＝mn＝（2x+16）（x+45）， 化简，配成顶点式得y＝﹣3（x﹣11）2+1083，（11≤x≤14，且为整数）． 可知当x＝11时，即第11天时，销售收入最高，且最高收入为1083元． 13．解：（1）设苹果进货价格为x元/千克，梨进货价格为y元/千克， 依题意可列方程组：， 解得x＝8，y＝6． ∴苹果进货价格为8元/千克，梨进货价格为6元/千克 ∴每个礼盒的成本为：8×3+6×2+4＝40（元）． （2）w＝（a﹣40）[80﹣2（a﹣70）]＝﹣2a2+300a﹣8800． （3）由（2）知，w＝﹣2（a﹣75）2+3450， ∴当m≥75时，每天的最大利润为2450元； 当70＜m＜75时，每天的最大利润为﹣2m2+300m﹣8800． 14．解：（1）设A型汽车的进货单价为a万元，B型汽车的进货单价为b万元． 根据题意，， 解得． 故答案为：10万；8万； （2）设A型号的汽车利润为t万元/台，则B型汽车的售价为（t+1）万元/台， ①∵A型汽车的利润率是B型汽车利润率的， ∴， 解得t＝5， ∴t+1＝6， ∴A型汽车售价是5+10＝15（万元/台）． ∴当A型汽车售价是15万元/台时，A型汽车的利润率是B型汽车利润率的． ②根据题意可知，z＝x+1， ∴得：w＝（x﹣10）（﹣x+18）+（x+1﹣8）[﹣（x+1）+14] ＝﹣2x2+48x﹣271 ＝﹣2（x﹣12）2+17， ∵﹣2＜0， ∴当x＝12时，w有最大值为17． ∴z＝12+1＝13（万元）． 故答案为：13；17． 15．解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m）， ∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2）， 设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2）， ∴36﹣a＝32， 解得a＝4， ∴DG＝4m， ∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m）， 即CG的长为8m、DG的长为4m； （2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x， ∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x）2， ∵﹣3＜0， ∴当x时，总种植面积有最大值为m2， 即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2． 16．解：（1）当0＜x≤40时，y＝30； 当40＜x≤100时， 设函数关系式为y＝kx+b， ∵线段过点（40，30），（100，15）， ∴，∴， ∴yx+40， 即y； （2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2， ∴x≥30， ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴360﹣x≥3x， ∴x≤90， 即30≤x≤90； ①当30≤x≤40时， 由（1）知，y＝30， ∵乙种花卉种植费用为15元/m2． ∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400， 当x＝30时，wmin＝5850； 当40＜x≤90时， 由（1）知，yx+40， ∴w＝yx+15（360﹣x）（x﹣50）2+6025， ∴当x＝90时，wmin（90﹣50）2+6025＝5625， ∵5850＞5625， ∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②当30≤x≤40时， 由①知，w＝15x+5400， ∵种植总费用不超过6000元， ∴15x+5400≤6000， ∴x≤40， 即满足条件的x的范围为30≤x≤40， 当40＜x≤90时， 由①知，w（x﹣50）2+6025， ∵种植总费用不超过6000元， ∴（x﹣50）2+6025≤6000， ∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60， 即满足条件的x的范围为60≤x≤90， 综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90． 17．解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9， 把（0，0）代入，可得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+9； （2）令y＝6，得（x﹣5）2+9＝6， 解得x15，x25， ∴A（5，6），B（5，6）． 18．解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2， 把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5， ∴a， ∴抛物线的函数表达式为：yx2； 任务2： ∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m， 当y＝﹣1.8时，x2＝﹣1.8， ∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6； 任务3： 方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8； 方案二：如图3， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6． 学科网（北京）股份有限公司 $$