专题13 特殊四边形（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题13 特殊四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质和判定 题型02 矩形的性质和判定 题型03 菱形的性质和判定 题型04 正方形的性质和判定 ( 题型1 )平行四边形的性质和判定 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（    ） A．6 B．8 C． D．12 2．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．10 3．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·一模）点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 7．（2025·江苏镇江·一模）如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为 ． 8．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为 ． 9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，则当______时，四边形为菱形． 12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 14．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为菱形，则添加的条件是________．（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明） 16．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当的长为 时，四边形是菱形． 17．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 18．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 19．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 20．（2025·江苏淮安·一模）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 21．（2025·江苏无锡·一模）（如图，在平行四边形中，点E在边上，点F在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 23．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 24．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， (1)如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若，点E是中点，，求的面积． 25．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． ( 题型 2 )矩形的性质和判定 1．（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 2．（2025·江苏扬州·一模）图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 （结果保留根号）． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为．若，则的值为 ． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点与点．当，时，的长为 ． 5．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 6．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 7．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动． (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角． 问题一：请证明 (2)探究二： 小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使与重合，折痕为； 第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，； 由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出. 问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出 (3)综合运用： 如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到． ①当时，______． ②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由． 8．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 9．（2025·江苏南通·一模）综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现．  小强的证明过程如图1，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 10．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】 如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上的一个动点．连接并延长交于点F，将四边形沿着直线折叠，点A的对称点是点，点B的对称点是点．点E从点A出发，沿着运动，当点B'与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 (1)判断的形状； (2)设，，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； (3)如图2，连接交于点H．当时，求的值． 11．（2025·江苏扬州·一模） 如图，矩形中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． (1)如图1，当点Q与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点Q在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 12．（2025·江苏南京·一模）证明定理“矩形的对角线相等”． 如图，矩形的对角线，相交于点O． 求证：． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，． (1)当点与点A重合时，求的长； (2)求的值； (3)求y与x的函数关系式． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图1所示，在矩形中，是边上一动点，将沿翻折得． (1)如图2所示，当点在上时，求的长； (2)如图3所示，的平分线分别交，于点，． ①当为中点时，求的长； ②请直接写出当点从A运动到的过程中，的最大值． 15．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． ( 题型 3 )菱形的性质和判定 1．（2025·江苏南京·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，为边上一点，且，与交于点．下列结论：①，②平分，③，④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 3．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 4．（2025·江苏无锡·一模）下列命题中属于真命题的是（    ） A．对顶角互补 B．平行于同一条直线的两条直线互相垂直 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的2倍 5．（2025·江苏连云港·一模）用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，菱形是一块绿化带，，．其中阴影部分是正方形的花圃，且点E、F、G、H在菱形的四条边上．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（  ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，点，在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·一模）校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边、和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与和相切于点、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 ．（结果保留根号、保留） 9．（2025·江苏无锡·一模）如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为 ． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M.当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为 . 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形的对角线，，则 ． 14．（2025·江苏南京·模拟预测）一个菱形的边长为，一条对角线长为，则该菱形的高是 cm． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 16．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 17．（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？ 18．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】 菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形． ①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形； ②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形； 【解决问题】 (1)请从①②中选择一个进行证明； (2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____． ( 题型 4 )正方形的性质和判定 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形中， E、F是对角线上两点， 连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·一模）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 5．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ． 6．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 7．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 8．（2025·江苏扬州·一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则 ． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 11．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为，点E在的延长线上，且，动点P从B点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形的面积为S，若四边形的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 ． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． (1)求证：； (2)连接、交于点，若，则的度数为_______． 13．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，为的中点，求的长． 15．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 16．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 17．（2025·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 18．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 19．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明． （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：． 【深入研究】若，直接写出的值． 20．（2025·江苏镇江·一模）一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)． 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分． (1)请说出点将边三等分的理由． 【活动2】 如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段． (2)请说出被、三等分的理由； (3)如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 特殊四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质和判定 题型02 矩形的性质和判定 题型03 菱形的性质和判定 题型04 正方形的性质和判定 平行四边形的性质和判定题型1 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，对角线，交于点，过点作直线分别交，于点，．若，，，则图中的阴影部分面积为（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，先证明，可得出没然后根据三角形中线的性质可得出，根据勾股定理的逆定理可得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线，交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，再由角平分线的定义可得，，从而得到，，进而得到，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误； B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误； C、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，所以C选项错误． D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以D选项正确； 故选D． 4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交AP于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故（1）符合题意； （2）如图所示，当落在上时，点E和重合， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故（2）符合题意； （3）如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ∴，故（3）不符合题意； （4）如图所示，连接交于点O， ∵将沿翻折得， ∴垂直平分， ∴，故（4）符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 故选B． 6．（2025·安徽合肥·一模）点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，交于点O，首先得到，，然后证明出是的中位线，证明出，得到，设，则，然后得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2025·江苏镇江·一模）如图，四边形与四边形都是平行四边形，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行四边形的性质得到是的中位线，则可得，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：2． 8．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行四边形的性质及角平分线的定义可得，即得，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】 【分析】解法一：过点C作，交的延长线于点F，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得， ，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则． 解法二：过点B作于点F，过点C作于点G，由题意易得，在中，， ，由折叠可知，由平行线的性质可得，进而得到，于是为直角三角形，， ，易证，由相似三角形的性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】解：解法一：如图，过点C作，交的延长线于点F， ∵四边形为平行四边形，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ， 解法二：当点恰好落在上时，如图，过点B作于点F，过点C作于点G， ∵四边形为平行四边形，， ，， ， ， 在中， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，即， 为等腰三角形，， ， ， ，， ， ∴，即， ， 设， ， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， ， ） 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 11．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，则当______时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，作图方法，推出，，进而得到，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形； （2）在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 此时； 故答案为：． 12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即． 14．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用平行四边形的性质，即可证明； （2）利用全等三角形的性质，得出，，进而即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ，， ∵，， ，，， 四边形的周长． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为菱形，则添加的条件是________．（不再添加线条和字母，只要写出一个条件即可，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定. （1）根据平行四边形的性质，，推出，进而利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定可以得到是平行四边形，然后根据对角垂直的平行四边形是菱形即可证明结论. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：当时，四边形为菱形， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形. 又∵，即， ∴四边形为菱形． 16．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当的长为 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和等式的性质得到，再利用一组对边互相平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理解答即可； （2）过点B作，交的延长线于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得，AH，设的长为x，则，利用勾股定理和菱形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 又∵， ， 四边形是平行四边形． （2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图， 设的长为x，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当的长为时，四边形是菱形． 故答案为：． 17．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， （2）证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 18．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． （1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论； （2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是边上的中线， ， ． ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积． 20．（2025·江苏淮安·一模）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，因为，所以，再结合，即可得证； （2）当满足时，四边形是矩形，由平行四边形的性质得，因为，所以，再结合四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 21．（2025·江苏无锡·一模）（如图，在平行四边形中，点E在边上，点F在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可知，．所以，，又因为，进而可证明； （2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，进而得到，代入计算求出，即可解题． 【详解】（1）（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，． 又， ． ； （2）解：， 四边形是平行四边形， ．， ． ， ． 22．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】(1)②，证明过程见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，再根据可得，然后根据“边角边”得出答案； 对于（2），先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案. 【详解】（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. 在和中， ， ∴； 故答案为：②； （2）解：.（答案不唯一） ∵，， ∴四边形是平行四边形. 当时， ∴四边形是矩形. 故答案为：.（答案不唯一） 23．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形，  再由即可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． （2）解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形，   连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 24．（2025·江苏无锡·一模）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， (1)如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若，点E是中点，，求的面积． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而； ②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得； （2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， ； （2）过作于，过作于，如图： 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，，， ，即， 设，则， ， ， 解得， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，平行四边形的面积，解直角三角形的相关计算等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． 25．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键．根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得到，由，易证四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】解：四边形是矩形，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 矩形的性质和判定题型2 1．（2025·江苏徐州·一模）如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·一模）图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后最大如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，于点，于点，交于点，得到四边形是矩形，求出，，得到打开后电饭煲的最大高度是，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，于点，于点，交于点， ，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 打开后电饭煲的最大高度是， 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形中与折叠，勾股定理，矩形的判定与性质，过点作，交于点，由折叠性质可得，，由勾股定理得，再证明四边形为矩形，故有，，设，则，，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图， 由折叠性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点与点．当，时，的长为 ． 【答案】9 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 5．（2025·江苏淮安·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①________； ②与的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据矩形的性质和判定证明四边形和四边形都是矩形，求出各个线段的长，再利用勾股定理即可得到答案； ②由，即可得到结论； （2）证明四边形和四边形都是矩形，利用勾股定理进行证明即可得到结论； （3）作交的延长线于点，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接，证明四边形和四边形都是矩形，根据矩形的性质定理进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：四边形是矩形，，， ， ， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）作交的延长线于点，则， ， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 6．（2025·江苏扬州·一模）若点P在四边形内部，且点P到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“等距点”．例如：如图1，点P在四边形内部，且，则称点P为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点P是边BC的“等距点”． (2)如图2，点P是矩形边的“等距点”，，． ①当时，请求出的值； ②设、分别为α、β，试求的最大值． (3)当四边形满足 时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． 【答案】(1)详见解析 (2)①或； ② (3)对角互补 【分析】（1）由，可证明，可得，即可证明结论； （2）过点作直线交于于，连结，①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解； ②根据正切造的定义得，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解． （3）根据“等距点”的定义得出，四边形是圆P的内接四边形，再根据圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点， ， 又 ∵，则， ， ∴点是边的“等距点”； （2）解：过点作直线交于于，连结， ∵点是矩形边的“等距点”， ， 又 ∵直线， ∴直线是矩形边的中垂线， ∴点在矩形边和的垂直平分线上， ， ∵矩形中，， ， ， 交于于， ， 又 ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴的值为或； ②∵于， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，有最大值 25， ∴有最大值， ∴当时，的最大值是． （3）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点四点距离相等， ∴四边形是圆P的内接四边形， ∴四边形的对角互补， 故当四边形满足对角互补时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补． 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，二次函数，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 7．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动． (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角． 问题一：请证明 (2)探究二： 小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使与重合，折痕为； 第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，； 由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出. 问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出 (3)综合运用： 如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到． ①当时，______． ②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再利用特殊角的三角函数值，求解即可； （2）设，由折叠的性质得，，在中，由勾股定理可求得，为正三角形，求得，由折叠的性质得，再根据正切函数的定义求解即可； （3）①利用角的正切函数的定义求解即可； ②求得点在以G为圆心为半径的圆上运动，当D、、G共线时，的值最小，据此可求得的最小值；设，利用勾股定理得到，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，，， ∴， 在中，， ∴，即； （2）解：由折叠的性质得，，， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质得，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得，即， ∵为正三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴； （3）解：①∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， ∴，， ∴点在以G为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、G共线时，的值最小， ∵， ∴， 设，则，，连接， ∵，由勾股定理得，即，解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点在对角线上时，过点作于，先证出点在同一条直线上，再求出的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点在对角线上时，过点作于，过点作于，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：绕点旋转得到， ， ∴， ． ． 矩形中，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于点． 四边形是矩形，， ，， ， ∴，， 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． （3）解：①如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， ∴点到的距离等于的长度． 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 由上已得：， ∴（等腰三角形的三线合一）， 在中，， ∴在中，， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 9．（2025·江苏南通·一模）综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现．        小强的证明过程如图1，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）见解析；（3）能，等腰三角形的腰长是或或． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的性质等知识． （1）根据三角形面积公式和矩形面积公式，计算即可判断； （2）过点作，垂足为点，交于点，连接，，妨照例题证明即可； （3）分三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到，如图， ； ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； 综上，①②③都符合题意； 故答案为：①②③； （2）过点作，垂足为点，交于点，连接，， 则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． （3）取的中点，则； ∵，， ∴， ∴； 取的中点，则； ∵，， ∴， ∴； 在上取一点，使，则； ∴； 综上，等腰三角形的腰长是或或． 10．（2025·江苏无锡·一模）【观察发现】 如图1，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上的一个动点．连接并延长交于点F，将四边形沿着直线折叠，点A的对称点是点，点B的对称点是点．点E从点A出发，沿着运动，当点B'与点D重合时，运动停止． 【解决问题】 (1)判断的形状； (2)设，，求出y与x之间的函数表达式（无需写出x的取值范围）； (3)如图2，连接交于点H．当时，求的值． 【答案】(1)是等腰三角形， (2)； (3)． 【分析】（1）利用平行线的性质结合折叠的性质，即可证明，推出，即可证明是等腰三角形； （2）过点作于点，求得，，，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）先求得，，连接，在中，，推出，作于点，取的中点，连接，计算得出和是等腰直角三角形，得到点与点重合，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 由折叠的性质得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴， 整理得， ∴； （3）解：当时，， ∴，， 连接， ∵点O为矩形的对称中心， ∴点O在对角线上，且， 在中，， ∴， 作于点，取的中点，连接， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴点与点重合， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 11．（2025·江苏扬州·一模） 如图，矩形中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接． (1)如图1，当点Q与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点Q在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由； (3)点M是的中点． ①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______． ②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______． 【答案】(1)； (2)不变，； (3)①；② 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点Q作于点H，同（1）可证，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解； （3）①连接，过M作于，于F，交于G，证明，得出，可证明，利用平行线分线段成比例可求出，根据勾股定理可得出，则，故当最小时，最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则转化为求的最小值，当与重合时，取最小值为3，即可求解； ②由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N，可得四边形是矩形，则，同理①可证，根据三角形中位线定理可求出，证明，可求出，同理证明四边形是矩形，得出，然后根据线段的和差求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点H， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 同（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：①连接，过M作于，于F，交于G， 则四边形是矩形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当最小时，最小， ∵，M是中点， ∴， ∵当与重合时，取最小值为3， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：； ②解：由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N， 则四边形是矩形， ∴， 同理可证， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 同理四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点M的运动路程长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，点的轨迹的探究等知识，明确题意，添加合适辅助线，探究处点M的运动轨迹是解题的关键． 12．（2025·江苏南京·一模）证明定理“矩形的对角线相等”． 如图，矩形的对角线，相交于点O． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得出，，利用边角边判定即可证明结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，． 又， ． ． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，． (1)当点与点A重合时，求的长； (2)求的值； (3)求y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解； （2）过点作，交于，则四边形是矩形，，由题意可知，进而可知，证得，得，再根据即可求解； （3）过点作，与直线交于点，过点作于点，由（2）可知，则，，同（2）可证，得，由翻折可得：，得，则，进而可知，则，即，求得，，再证，得，列出等式即可求解． 【详解】（1）解：∵点与点A重合 ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：，即； （2）过点作，交于，则四边形是矩形， ∴， 由题意可知， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作，与直线交于点，过点作于点， 由（2）可知，则，， 同（2）可证， ∴， 由翻折可得：， ∴，则， ∴，则， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，矩形的性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解决问题的关键． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图1所示，在矩形中，是边上一动点，将沿翻折得． (1)如图2所示，当点在上时，求的长； (2)如图3所示，的平分线分别交，于点，． ①当为中点时，求的长； ②请直接写出当点从A运动到的过程中，的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得，得，根据，得； （2）①根据，得，根据直角三角形斜边中线性质得，可得，得，得，即得；②当点在上时， 的值最大，根据，得，得，得，为的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴． ∵，，， ∴． ∵将沿翻折得， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴ （2）∵，， ∴． ∴． ∵为中点时， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当点在上时，，最小，的值最大． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理，角平分线计算，直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定，是解题的关键． 15．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【详解】（1）解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； （2）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． 菱形的性质和判定题型3 1．（2025·江苏南京·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，进而可得是的中位线，推出，依次证明四边形是平行四边形、矩形即可； （2）菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，设，利用勾股定理解和求出，进而可得，最后根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：菱形的对角线，相交于点， ，， 是边的中点， ， 是的中位线， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：菱形中，， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， 由（1）知是矩形， 解得，即 ， 矩形的面积为：． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，为边上一点，且，与交于点．下列结论：①，②平分，③，④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键．证明，判断①，推出，判断②，证明，判断③，证明，判断④． 【详解】解；设， ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·一模）下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质与菱形的性质是解题的关键． 根据正方形与菱形的性质结合选项即可得出答案． 【详解】解：A、菱形、正方形的对边都平行且相等，故本选项错误； B、邻边相等，菱形、正方形都具有，故本选项错误； C、对角线相等菱形不具有，而正方形具有，故本选项正确； D、面积等于对角线乘积的一半，菱形、正方形都具有，故本选项错误； 故选：C． 4．（2025·江苏无锡·一模）下列命题中属于真命题的是（    ） A．对顶角互补 B．平行于同一条直线的两条直线互相垂直 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的2倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，对顶角的性质，菱形的性质和圆周角定理，根据对顶角的性质可判断A；根据平行公理可判断B；根据菱形的性质可判断C；根据圆周角定理可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，但不一定互补，原命题是假命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题，不符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，原命题是真命题，符合题意； D、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·江苏连云港·一模）用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．在菱形中过点作于点，设，则，然后分别用含的式子表示出菱形和正方形的面积，最后根据题意列方程即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中过点作于点， 设， ， ， 菱形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积比菱形的面积大， ， 解得：， 即菱形的边长为， 故选：D． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，菱形是一块绿化带，，．其中阴影部分是正方形的花圃，且点E、F、G、H在菱形的四条边上．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出菱形的面积，再求出正方形的面积，小鸟落在花圃上的概率是．再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 设、相交于点O，与相交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵菱形的对角线互相平分， ∴，， 设正方形的边长为，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴小鸟落在花圃上的概率． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，几何概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，点，在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊的平行四边形——矩形和菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及二次根式的运算，准确作出辅助线是解题关键． 连接交于，通过菱形的性质，利用证明，可得，利用勾股定理得的值，结合菱形的两条对角线互相垂直证得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：连接交于，如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 8．（2025·江苏苏州·一模）校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边、和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与和相切于点、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 ．（结果保留根号、保留） 【答案】 【分析】本题考查菱形性质，圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等，解题的关键是熟练掌握这些性质．过点作于点，利用菱形性质得出，，结合切线性质和等腰三角形的性质求出，，则可得，，，即可求出优弧的长度，同理优弧的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴优弧的长度为， 同理优弧的长度为， ∴“爱心”的周长为， 故答案为：． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即，根据勾股定理，故，过点D作于点Q，根据题意，得，设，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得（舍去）， 故， 过点D作于点Q， 根据题意，得， 设， 则，， 故， 解得， 故（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取点，使，连接．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接． 在菱形中，,点O是对角线的中点，， ，， ， ∴是等边三角形， ， ， ∵ ∴， ， ， ∴， ∴， ． ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，已知，其中点都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M.当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为 . 【答案】 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作交于点H，连接， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即垂直平分， ∵交于点M． ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， ∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故答案为：． 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知菱形的对角线，，则 ． 【答案】 【分析】本题菱形的性质，正弦的定义，过D作于E，根据菱形的性质和勾股定理可求出，根据等面积法可求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵菱形的对角线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·江苏南京·模拟预测）一个菱形的边长为，一条对角线长为，则该菱形的高是 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．设菱形中，，，于点E，连接交于点O，由，，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形中，，，于点E，连接交于点O， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 该菱形的高是， 故答案为：． 15．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用菱形的性质结合旋转的性质可得，易证，即可得出结论； （2）过点F作于点H，由题意得，则当面积最大时，面积最大，利用菱形的性质结合勾股定理求出，设，则，，求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）解：连接，设，则，求出，； 分时，过点D作于点P，过点E作于点M，时，过点E作于点M，，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点H， ∵点是线段的中点， ∴，则当面积最大时，面积最大， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 当，即点重合时，面积最大，最大值为， ∴面积的最大值为：； （3）解：连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵点是线段的中点， ∴平分，， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图，当时，过点D作于点P，过点E作于点M， 则，， 设，则，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，（舍去）； 如图，当时，过点E作于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴； 当时， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，显然矛盾，故不存在； 综上，当为等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等，二次函数的性质熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键． 16．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 17．（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？ 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，作于点，点四点共圆，四边形是矩形，，，，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ， 点四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，特殊角的直角三角形的计算，圆的基础知识，理解垂线段最短的计算方法，合理作出辅助线是关键． 18．（2025·江苏泰州·一模）【阅读材料】 菱形是特殊的平行四边形，它可以通过平行四边形得到．如图1，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若将沿方向平行移动，则的边随之变化．当时，为菱形．除了平行四边形，我们也可以由矩形、正方形得到菱形． ①如图2，，，，分别是矩形各边的中点，则四边形为菱形； ②如图3，已知正方形，分别以点为圆心，小于长为半径画弧，交对角线于点，，则四边形为菱形； 【解决问题】 (1)请从①②中选择一个进行证明； (2)如图4，在四边形中，，试用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点，分别在，边上；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）的条件下，若，，对角线长为，则菱形的周长为_____． 【答案】(1)选①，见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）选①，先利用矩形的性质证明，再利用中位线定理证明四边形的四边相等，来证明它是菱形；选②，通过证明四边形的对角线互相垂直平分，来证明它是菱形； （2）作出对角线的垂直平分线，与，分别交于点，，再连结，可得四边形即为所求作的菱形； （3）先证明是直角三角形，再利用菱形的性质证明点为的中点，然后可求出菱形的边的长，再求出周长． 【详解】（1）解：选①， 理由：连结，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，，分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形； 选②， 理由：连结交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又由作法可知， ∴， 即， ∴四边形为菱形； （2）如图，四边形即为所求作的菱形； 理由：∵垂直平分， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分， 又， ∴平分， ∴与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； （3）如图， ∵，，对角线长为， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线定理等知识点，解题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 正方形的性质和判定题型4 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到， 利用正弦值定义求解即可得到答案． 【详解】解：过作，垂足为，如图所示： ， 在正方形中，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， 将边绕点逆时针旋转至， ， ， 由“三线合一”可得是边上的中线，即， ， 在中，，设，则， 由勾股定理得到， ， 故选：C． 【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形中， E、F是对角线上两点， 连接、、、，则添加下列哪个条件可以判断四边形是菱形 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质，可判定，由全等三角形的性质得出，同理可得出，加上则，故四边形是菱形． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴当，有，则四边形是菱形． 故选A． 3．（2025·江苏南京·一模）将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，面积，正方形的性质，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是， 故选：． 4．（2025·江苏常州·一模）如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，连接交于，设正方形的边长为，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接交于，设正方形的边长为， ，， ， ， ， ， 和为正方形，、为对角线， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·江苏无锡·一模）如图，正方形的对角线与相交于，以、为边作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，的对应点是，连接，旋转一周的过程中，当落在射线上时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据旋转和正方形的性质证明出，设，然后分两种情况讨论：当落在线段上时和当点落在线段的延长线上时，然后分别根据全等三角形的性质和勾股定理表示出相应的线段求解即可． 【详解】∵正方形的对角线与相交于， ∴，， ∵将正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴ ∴ 设 如图1，当落在线段上时，设与交于点E，连接交于点F， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； 如图2，当点落在线段的延长线上时，设与交于点I，连接交于点L， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正切值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 【答案】 【分析】过点作垂足为点，并延长交的延长线于点，设，，则，根据点是的中点，且，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到，，进而推出，再根据正切的定义可求的值． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，并延长交的延长线于点， 则：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ， 整理得：， 在中，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、三角函数，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形中位线的性质找到三角形边之间的关系． 7．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题．设的长度为，可得，根据二次函数的性质可得：正方形纸片的面积最小，则的长为． 【详解】解：设的长度为， 则， 四个直角三角形全等， ， ， 又， ， 整理得：， ， 当时，正方形纸片的面积最小， 正方形纸片的面积最小，则的长为． 故答案为：． 8．（2025·江苏扬州·一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，由题意可知，，，，，证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，，根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a， ∴， ∵折叠， ∴， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 【答案】10 【分析】先证明四边形，四边形都是矩形，结合以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，得，，，，因为点P的坐标为，即，解得或，即可作答． 【详解】解：延长，交于点H，连接，如图， 四边形为矩形，四边形为正方形， ，， 四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， 以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点， ， ， ， 点P的坐标为， ， ， 或， 经检验，是原方程的根，不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为，点E在的延长线上，且，动点P从B点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形的面积为S，若四边形的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，结合所给的条件，观察图形可知，当点P在上运动，同时点Q在上运动，四边形是平行四边形，由，且，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：根据题意，当，且时，四边形是平行四边形， ∵，，且点P、点Q的速度都是， ∴当点P在上运动，同时点Q在上运动，四边形是平行四边形， ∵，且， ∴， 解得， ∴t的取值范围是， 故答案为：． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上． (1)求证：； (2)连接、交于点，若，则的度数为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质， （1）利用旋转的性质得到，结合正方形的性质即可证明结论； （2）设交点为，易证是等腰直角三角形，求出，再根据正方形的性质得到，进而推出，由即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，设交点为， 由旋转的性质得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．（2025·江苏苏州·一模）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． (1)猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） (2)如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)为等腰直角三角形，证明见解析；， (2)； 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，故有，从而求证； 连接，由，则，再证明，故有，，，从而可得三点共线，则有，设，则，由勾股定理得，再根据即可求解； （）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围； 过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：当时，有最小值， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值为， 当与重合时，有最大值，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 即，解得：， ∵点始终处在两平行直线，之间的区域内， ∴的范围是； 故答案为：； 如图，过作于点， 则， ∴，， ∴，， 由题意可知在平行得直线上运动，且， 设，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 14．（2025·江苏扬州·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，为的中点，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，据此即可求证； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 16．（2025·江苏苏州·一模）数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 17．（2025·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)见解析 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转及正方形的性质可证明，得，进而可得答案； （2）结合题意，由正方形的性质可知，，得，进而可证明结论； （3）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，可证得，从而得，即可得结论； （4）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，即，证得，得，由（2）可知，得．同理可得，得，由即可证明结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则的周长， 故答案为：8； （2）证明：四边形为正方形，，． ，， ， ． （3），理由如下： 四边形为正方形， ． 由（2）可知，， ， ． ，即． （4）证明：四边形ABCD为正方形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ． 由（2）可知， ，即． 同理可得， ，即． ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，证明，利用相似三角形的性质转化边之间的关系是解决的关键． 18．（2025·江苏扬州·一模）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． (1)连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)定值4，理由见解析 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； （2）解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 19．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明． （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：． 【深入研究】若，直接写出的值． 【答案】[操作判断]；[ 探究证明]（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；[深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [ 探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形； （2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 结合 [ 探究证明]（1）中，，根据勾股定理可求出，由[ 探究证明]（2）知：，则，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [ 探究证明] （1）解：是等腰直角三角形 理由：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：由[ 探究证明]（1）知：，， ∴， 由[ 探究证明]（2）知：， ∴， 由[ 探究证明]（1）知：， ∴， 由翻折得， 又， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 20．（2025·江苏镇江·一模）一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)． 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分． (1)请说出点将边三等分的理由． 【活动2】 如图3，先对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕和线段． (2)请说出被、三等分的理由； (3)如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为，此时，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，得到，求得，易证，再根据相似三角形的性质可推出，即可得到结论； （2）由折叠的性质得到，，，，求得，，利用三角函数可知，于是得到和三等分； （3）由折叠的性质得到，，，，易证，根据全等三角形的性质得到，设，，，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点将边三等分； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ，， ， ， ， ，， ， 和三等分； （3）解：由折叠的性质得，，，，， ， ， ，， ， ，， 设，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 2 / 128 学科网（北京）股份有限公司 $$