专题12 全等三角形与特殊三角形（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题12 全等三角形与特殊三角形 题型概览 题型01 全等三角形的性质和判定 题型02 等腰三角形与等边三角形的性质和判定 题型03 直角三角形的性质 ( 题型1 )全等三角形的性质和判定 1．（2025·江苏常州·一模）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)分别连接、，则与的关系为________． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，点在直线上，，与交于点． 求证：   (1)； (2)． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 4．（2025·江苏扬州·一模）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 5．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 7．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，是的中点，E是的中点，过点A作，且与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，、分别交于点、．求证：． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 10．（2025·江苏南京·一模）证明定理“矩形的对角线相等”． 如图，矩形的对角线，相交于点O． 求证：． 11．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （ 填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 13．（2025·江苏苏州·一模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．   (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 14．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 15．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 16．（2025·江苏盐城·一模）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． ( 题型 2 )等腰三角形与等边三角形的性质和判定 1．（2025·安徽芜湖·二模）如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在边长为的正六边形中，点、分别是对角线、上的两个动点，连接、、，若是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（  ） A．2 B．3 C． D． 7．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型 3 )直角三角形的性质 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为 ． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 3．（2025·江苏南通·一模）已知中，，，D为的中点，E，F分别在边，上．若是等边三角形，，则的长是 ． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 5．（2025·江苏常州·一模）如图，，，，则 °． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则 ． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则 ． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为 ． 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为 ． 10．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 11．（2025·江苏南京·一模）在中，，．若为钝角，则的取值范围是 ． 12．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 全等三角形与特殊三角形 题型概览 题型01 全等三角形的性质和判定 题型02 等腰三角形与等边三角形的性质和判定 题型03 直角三角形的性质 ( 题型1 )全等三角形的性质和判定 1．（2025·江苏常州·一模）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)分别连接、，则与的关系为________． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质， （1）先证明，再结合证明即可得到结论． （2）证明结合证明，即可得出，，从而可得，由此可得结论． 【详解】（1）证明： 在和中 ． （2）如图，连接、，与的关系为平行且相等． 在和中 ，， ∴ 故与的关系为平行且相等． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，点在直线上，，与交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）连接，设与直线的交点为，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据轴对称的性质得，，即得，，，进而根据角的和差即可求解； （）证明，得，，进而得，即得为等腰直角三角形，得到，过点作于，可得，为等腰直角三角形，设，，则，，，据此即可求证； （）利用（）的结论解答即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与直线的交点为， 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴，为等腰直角三角形， 设，，则，，， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2025·江苏扬州·一模）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知，那么，，那么，根据平角的定义，可知，，最后由得到结论； （2）根据题意，可知，那么，从而得到，最后得出答案． 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）解：由题意可知，，， ， ，垂足为，， ， ． 5．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用平行四边形的性质，即可证明； （2）利用全等三角形的性质，得出，，进而即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ，， ∵，， ，，， 四边形的周长． 7．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，是的中点，E是的中点，过点A作，且与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的性质，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知是的中位线，，进而可得，则，由，得，再利用即可证明结论； （2）由（1）可知是的中位线，得，则，根据，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，E是的中点， ∴是的中位线，， ∴，则， ∵， ∴， 在与中，， ∴； （2）由（1）可知是的中位线，， ∴，则， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，、分别交于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定．利用对边相互平行的四边形是平行四边形证明四边形和四边形为平行四边形，得到，，再推出，利用即可证明． 【详解】证明：，， 四边形为平行四边形， ，， 同理可得四边形为平行四边形， ，， ， ，即， ． 9．（2025·江苏无锡·一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， （2）证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 10．（2025·江苏南京·一模）证明定理“矩形的对角线相等”． 如图，矩形的对角线，相交于点O． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得出，，利用边角边判定即可证明结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，． 又， ． ． 11．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①②或①③，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）解：选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； （2）解：如图，连接与的交点即为所求作点P， ， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 13．（2025·江苏苏州·一模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．    (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．（2025·江苏徐州·一模）如图，在中，点分别在边上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ．① ， ，② 在与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)请添加一个条件___________，使四边形是矩形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】(1)②，证明过程见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，再根据可得，然后根据“边角边”得出答案； 对于（2），先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案. 【详解】（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. 在和中， ， ∴； 故答案为：②； （2）解：.（答案不唯一） ∵，， ∴四边形是平行四边形. 当时， ∴四边形是矩形. 故答案为：.（答案不唯一） 15．（2025·江苏扬州·一模）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形，  再由即可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． （2）解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形，   连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 16．（2025·江苏盐城·一模）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ． ( 题型 2 )等腰三角形与等边三角形的性质和判定 1．（2025·安徽芜湖·二模）如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，在等边三角形中，为边上一点，为边上一点，且，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可得到的边长，进而求出的长．过点E作于点F，在中，通过解直角三角形求出，从而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为8， ∴， 过点E作于点F， ∴在中，， ∴． 故选：A． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在边长为的正六边形中，点、分别是对角线、上的两个动点，连接、、，若是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形和圆，分两种情形分别求出等边三角形的边长的最大值和最小值即可判断出结论． 【详解】解：情形1：如图，点在上，点在上，，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， 在和中， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 点在边上时，当时，有最小值， 此时，， ∴， 由勾股定理得，； 当点在点时，有最大值，， ∴， ∴可取到的整数为12和13，此时等边三角形的边长为12或13； 情形2.当点与点重合，点与点重合时， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， 设与交于点， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即等边的边长主24， 综上，等边的边长为12或13或24，不可能为14， 故选：C． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理．利用旋转变换的性质得到，，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知：，， ， ， ． 故选：B． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（  ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及勾股定理，关键是由等边三角形得到三角形的全等，然后利用勾股定理进行求解即可．过D作于G，过E作，交的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可得到的长，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过D作于G，过E作，交的延长线于H， ∵是等边三角形， ． ， ． ， ． 在中，，， ，，． 和是等边三角形， ，. ． ． 在和中， ． ． 在中，， ． ． ． ． ． 故选：D． 7．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的平分线，， ， 点D在的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. ( 题型 3 )直角三角形的性质 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为 ． 【答案】 【分析】过F作于P，过G作于H，先得到，设，分别证明，得到，，则，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得的最小值即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由旋转性质得，， 过F作于P，过G作于H，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，设， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴，， 则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理、旋转的性质等知识，利用二次函数的性质解决最值问题是解答的关键． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏南通·一模）已知中，，，D为的中点，E，F分别在边，上．若是等边三角形，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】在左侧作交延长线于G，证明，可得出，根据含的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，结合线段中点的定义得出，然后在中根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解∶如图，在左侧作交延长线于G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造是解题的关键． 4．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，由等边三角形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ， ， 设，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 5．（2025·江苏常州·一模）如图，，，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．由等边对等角得到，再根据三角形外角的性质即可得到，由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，，由等边三角形的性质得，，则，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，取中点F，首先由得到，设，则，勾股定理表示出，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，取中点F ∵在中，，点D是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F是中点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或18或19或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 9．（2025·江苏扬州·一模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为 ． 【答案】 【分析】设交于，设交于，根据三角形内角和定理以及等腰三角形三线合一，可知，以及，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求得，从而得到和，利用，，求得，，接着利用勾股定理，求得，最后计算出印象部分周长即可． 【详解】解：设交于，交于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理可得到， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求， ... ∴以此类推， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．（2025·江苏南京·一模）在中，，．若为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运营相关知识成为解题的关键． 如图，过A作， 则，由三角形的内角和定理可得，则，即，然后求得的取值范围即可． 【详解】解：如图：过A作， 则 ∵为钝角，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是截图关键． 连接交于点，通过直角三角形的性质得，结合折叠的性质证得，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 点为的中点，， ， ， ， ， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 24 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$