专题11 反比例函数（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题11 反比例函数
题型概览
题型01 反比例函数的图象和性质
题型02 反比例函数k的几何意义
题型03 反比例函数与一次函数综合
题型04 反比例函数的实际应用
题型05 反比例函数与几何综合
反比例函数的图象和性质题型1
1．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：∵点，点，
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；
∵点，点，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
2．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数所在的象限，再根据，即可得出答案，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
【详解】解：反比例函数中，，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∵，
∴点，在第二象限，随的增大而增大，
∴，
故选：A．
3．（2025·江苏盐城·一模）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，点、在同一象限，则D．若，点、在不同象限，则
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解；
【详解】解：A．若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故 A 错误，不符合题意；
B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于 0 也可能大于 0 ，故 B 错误，不符合题意；
C．若，点在同一象限，则随的增大而减小，所以，故 C 正确，符合题意；
D．若，点在不同象限，则，故D错误，不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是的反比例函数，其部分对应值如表：
…
1
2
…
…
…
若，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：∵，，
∴每个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
5．（2025·江苏泰州·一模）点在反比例函数的图象上，则 （在“”“”“”中选一个填入）．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小成为解题的关键．
根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
6．（2025·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键．
【详解】解：
∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数，且，
∴点在同一象限，
，
当在第一象限时，
若，则，
；
若，则，
；
当在第三象限时，
若，则，
；
若，则，
；
综上，，
故答案为：．
7．（2025·江苏淮安·一模）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，先根据反比例函数所在的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
解得．
故答案为：．
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点和都在反比例函数的图象上，若，则、的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象性质和判断图象上点的位置，是正确解答的关键．由反比例函数性质知反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，又，再结合反比例函数性质求解，即可解题．
【详解】解：，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
又，
可得，
故答案为：．
9．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ）
①函数是“顶峰”函数；
②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1；
③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则；
④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④．
【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误；
在中，
∵，∴随值的增大而增大，
当时，有最大值，
即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确；
∵随值的增大而减小，
当时，，
∵“巅峰”值是，
，
∵函数的最小值不超过，
，
，
，
，
，
∴的取值范围为：，故③正确；
∵的对称轴是直线，
当，即时，
函数的“巅峰”值是，
∴，
解得：（舍去）或；
当，即时，
函数的“巅峰”值是，
∴，
解得：，符合题意．
综上所述：的值为或 0，故④错误．
∴正确的是②③，
故选：C．
反比例函数k的几何意义题型2
1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作于点,设，则，设直线的解析式为，得到，继而得到，得到求出或（舍去），即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点,
,
,
设，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
或，
，
不符合题意，
，
故答案为：C．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质；过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，根据题意则，根据系数的几何意义，，面积为，即可得到，即可得到，解得．
【详解】解：设，
轴，垂足为，，
，
点，在双曲线上，
，
，
的面积为，面积为，
，
解得，
故答案为：．
3．（2025·江苏徐州·一模）如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
∵矩形为的面积为9，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·江苏南通·一模）如图，的边轴，点C在上，反比例函数（）的图像经过A，C两点．若的面积为5，且，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了根据图形的面积求反比例函数的比例系数，相似三角形的判定与性质，解题关键是能作出辅助线构造出相似三角形，能利用面积关系建立方程进行求解．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，设，根据相似三角形的判定与性质，求得，，所以，进一步求得，再根据三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，
设，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
令，则，
，
，
的面积为5，
，
解得．
5．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：
∵点A与点分别在反比例函数与的图象上，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
7．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为．
【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则
∵菱形沿轴向上平移得到菱形，
∴轴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得，
∴反比例函数，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为，
故答案为：．
反比例函数与一次函数综合题型3
1．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据函数与的图象相交于点，得到，求得，得到，从而得到，根据图象的对称性，得另一交点为，利用数形结合思想，确定解集即可．
本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，掌握解析式不等式解集的确定是解题的关键．
【详解】解：由函数与的图象相交于点，得到，解得，
故，故反比例函数的解析式为，
根据图象的对称性，得另一交点为，画图如下：
故不等式的解集为或．
故选：D．
2．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接．
(1)求线段所在直线的解析式；
(2)若，求此时k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等边三角形的性质求得点B坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M，证明得到，结合锐角三角函数得到，，设，推导出，，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到，进而解方程求得x值即可解答．
【详解】（1）解：过B作于H，
∵点，为等边三角形，点B在第一象限，
∴，，，
∴，
∴，
设线段所在直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段所在直线的解析式为；
（2）解：过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，则；
∴，，
∴，
∴点D坐标为即，
∵点C、D都在反比例函数的图像上，
∴，
由，
解得，（与点B重合，舍去），
∴．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
3．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
(1)的值为_______；
(2)观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______；
(3)连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）先求出点E坐标即可得到的值；
（2）根据图象直接写出不等式解集即可；
（3）分点P在线段上和点P在线段的延长线上，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
在函数中，当时，，
∴点D的坐标为，
∵点D的坐标为且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵在函数中，当时，，
∴由图象可知的x的取值范围为；
（3）解：如图所示，当点P在线段上时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
在中，当时，，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段延长上时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
4．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度不大．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设与的图象交于，两点，求出，，再观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：过点，
，
即反比例函数：，
当时，，即，
过和，
则，
解得，
；
（2）解：如图，设与的图象交于，两点，
向下平移两个单位得且，
，
联立，
解得或，
，，
，
或．
故答案为：或．
5．（2025·江苏常州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；
(2)或
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
6．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合． 连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N，先证明，再由角相等得到，进而得到，设，，求出，由直线与双曲线相交于点A，B，得到，由根与系数的关系得到，进而求出，即可得到，进而求解即可．
【详解】解：如图，连接，作轴交x轴于M，交于E，作轴交x轴于N，
由题意可知，O为的中点，即为斜边上的中线，
∴，
即
∵平分，
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∵直线与双曲线相交于点A，B，
设，，
∴
．
∵直线与双曲线相交于点A，B，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3．
7．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键．
根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题．
【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得，
，
又∵，
，
则，
∴．
故答案为：2．
8．（2025·江苏扬州·一模）若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案．
【详解】解：∵点，，
∴点A与点B关于y轴对称；
由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意；
，
由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
故选：D．
9．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值．
【答案】(1)反比例函数解析式为；
(2)当时，有最大值，最大值为．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，且点的纵坐标为，
∴，解得，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，
∴，，
∴
∴
；
∴当时，有最大值，最大值为．
10．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
(1)若点的横坐标为2，求的值；
(2)点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算；
（1）先求解点坐标为，代入可得的值；
（2）设，可得，，可得反比例函数为：，结合，可得，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为，
把代入中，得到，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
将代入到反比例函数得，；
（2）解：，理由如下：
∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
∴设，
∴，，
∴反比例函数为：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点．
(1)求反比例函数的表达式和a的值；
(2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设的表达式为：，利用待定系数法确定的表达式为：，然后分别确定，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在的图像上，
∴代入得，
∴反比例函数关系式为，
∵点在的图像上，
∴代入得，
综上，反比例函数关系式为，；
（2）设的表达式为：，
将，代入得：，
解得，
∴的表达式为：，
∵点的横坐标为4，把代入得．
∴，
∵轴，
∴，代入得，
∴，
∴．
12．（2025·江苏徐州·一模）如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)平移的距离为
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键．
（1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解；
（2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知点，点，点，
反比例函数的图象经过点，
，
，
这个反比例函数的表达式为．
（2）解：设，将，点，代入得，
解得，
，
令，
点，
对于，令，
∴，
解得，，
平移的距离为．
13．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可．
【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点，
∴，，即，
∴
，
故答案为：．
14．（2025·江苏宿迁·一模）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是．
(1)求，的值；
(2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
代入，得，
∴，
∴，
当时，，解得，
∴
代入，得，
解得；
（2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或；
（3）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
综上，点P的坐标为或．
15．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ．
【答案】(1)，
(2)12
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
分别求出和的面积即可解决问题．
根据题意得出点M为的中点，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将点B坐标代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
∴，则，
∴点D的坐标为，
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由得，
∴，，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵与的面积比为，
∴，
∴点M为的中点，
∴点M的坐标为，
故答案为：
16．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点．
(1)求m、k的值；
(2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值；
（2）利用，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与y轴交于点，
∴，
∵一次函数的图像过点，
∴，解得，
∴，
∵反比例函数的图像过点，
∴．
（2）解：由（1）知，，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵点D是的图像上一点，
∴当时，；当时，，
∴或．
17．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
18．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知直线与反比例函数为在同一坐标系的交点坐标是和，则当为时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数图象相关知识是解题的关键．
依据题意，根据直线与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，然后根据函数图象即可解答．
【详解】解：根据题意，当时，，
；
当时，直线与反比例函数为在同一坐标系的交点坐标是和，
∴要使，则直线要在反比例函数图象上面，即x的取值范围是；
综上所述x的取值范围是或．
故选：B．
19．（2025·江苏宿迁·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)求B点坐标；
(3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______．
【答案】(1)；
(2)点B的坐标为
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据点坐标及的面积，求出点的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题．
（2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题．
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】（1）解：点坐标为，
．
轴，且的面积为4，
，
，
点的坐标为．
将点坐标代入得，；
将点坐标代入得，．
（2）解：由（1）知，
一次函数解析式为，反比例函数解析式为，
则，
解得，，
经检验，是原方程的解．
当时，，
所以点的坐标为．
（3）解：由函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为：或．
故答案为：或．
反比例函数的实际应用题型4
1．（2025·江苏南京·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得，
∴，
∴当时，则；
故答案为：5．
2．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？
【答案】6米
【分析】证明，得出，代入数据求出，设点B的坐标为，则点的坐标为，求出，得出反比例函数解析式为：，设点D的坐标为，得出，证明，得出，即，求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：米，米，米，，，，
则，，（米），
∴，
∴，
即，
解得：，
设点B的坐标为，点的坐标为，
∵灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，
∴，
解得：，
∴点B的坐标为，
设反比例函数解析式为，
把代入得：，
∴反比例函数解析式为：，
设点D的坐标为，
则，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，（舍去），
经检验是原方程的解，
∴（米），
答：树与路灯相距6米．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，求出反比例函数解析式．
3．（2025·江苏南京·一模）立竿见影．
如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索．
(1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”）
(2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置．
①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？
②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理．
(3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？
①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；
②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）．
（参考数据：，．）
【答案】(1)秋冬
(2)①；②见解析
(3)①见解析；②
【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案；
（2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答；
（3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解．
影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解．
【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向，
结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节．
故答案为：秋冬．
（2）解：①月日在春分日和夏至日之间，
结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的；
②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点，
道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向．
（3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求：
②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为，
∴，
∴；
设于点，设，则
如图，
∵斜坡坡角为，即，
∴，
∴
∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向
∴，
∴
∴
∴
解得：
答：到地平面的距离为．
4．（2025·江苏南通·一模）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．
把点代入，求得k的值，再把代入，求出t的值即可．
【详解】解：设，
由题意得，函数经过点，
把代入，得，
则解析式为，
再把代入，得，
则玉米全部入库所需时间t的范围是．
故选：A．
5．（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
由题意得：，
∴，
∴当时，则；
故答案为：3．
6．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．
请根据以上知识解决下列问题：
已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为．
(1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）；
(2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值．
【答案】(1)，
(2)的值为80
【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用．
（1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围；
（2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
最低限速，时，；
最高限速，时，；
∴的范围为；
（2）解：前用时，，
剩余用时，，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意．
7．（2025·江苏无锡·一模）当蓄电池的电压为定值时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻的取值范围是 时，电流．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电阻R，根据反比例函数的性质，求出结果即可．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
当时，，
解得：，
∵，
∴时，随R的增大而减小，
∴当时，．
故答案为：．
8．（2025·江苏南京·一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当时， ．
【答案】50
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合图象，先求出反比例函数的解析式，再把，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：设，由图象可知，点在函数图象上，
∴，
∴，
∴当，；
故答案为：50．
9．（2025·江苏扬州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：，
∴，
∴当时，则；
故答案为3．
10．（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ．
频率
10
15
50
波长
30
20
6
【答案】4
【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设波长关于频率的函数解析式为 ，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
故答案为：4．
反比例函数与几何综合题型5
1．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积．
根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设点坐标为，则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为2．
2．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据为边的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
（2）设出点D的坐标，点E坐标，根据，得出
【详解】（1）解：∵点的坐标为，为边的中点，
∴点的坐标为，
代入得，，
解得，，
把代入得，，
解得，，
点E坐标为
（2）解：∵点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点，
设点D的坐标为，点E坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去）或，
则点D的坐标为，点E坐标为，
，，
．
3．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的几何综合，解题的关键是理解当的面积最小时，最小．
先利用两点之间的距离公式得出，再根据当的面积最小时，最小，利用三角形的面积得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
此时，中，长度确定，设的高为，
∴，
∴当的面积最小时，最小，
设直线为：，则，
解得：，
∴直线为：，
令，则，令，则，
则直线与坐标轴交点是，
∴，
∴，
要使最小，则点到直线距离最小，
设直线向上平移t个单位后的解析式为，
∵点是反比例函数图象上的点，
∴联立和可得，
令，
解得：或，
由图可知，点在第一象限会使最小，
∴，
即，
过点E作，
则直线与反比例函数的最小距离，
即的面积最小值．
故答案为：2．
4．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，其中，点，的横坐标分别为，．
(1)若点，分别在第三、一象限，求的取值范围；
(2)过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，记．
①在（1）的条件下，若，求的最小值；
②若，且，其中，为常数，是否存在的值，使不随的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①7；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据点，分别在第三、一象限结合横坐标得出，解一元一次不等式组即可得解；
（2）①当时，点、的坐标分别为、，在（1）的条件下，，，，表示出，结合得出，从而可得当最大时，的值最小，由此计算即可得解；②由题意求出，从而可得与同号，再分两种情况当，，即：，时，、都在第一象限；当，，即：，时，、分别在第三、一象限；分别讨论即可得解．
【详解】（1）解：∵点，的横坐标分别为，，点，分别在第三、一象限，
∴，
解得：；
（2）解：①当时，点、的坐标分别为、，
在（1）的条件下，，，，
，
，
，
当最大时，的值最小，
，
当时，有最大值为，
的最小值为；
②，
，
又，
，
与同号，
第一种情况：当，，即：，时，、都在第一象限，
此时
，
若要使不随的变化而变化，则要，，与矛盾，所以这种情况不存在；
第二种情况：当，，即：，时，、分别在第三、一象限，
此时
，
若要使不随的变化而变化，则要，与矛盾，所以这种情况也不存在，
综合上所述，不存在的值，使不随的变化而变化．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键．
由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，即
∵反比例函数的图象上总存在两个关联点，
∴，即且有两个不相等实数根，
∴，解得：，
当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意．
综上，的取值范围是或．
故选D．
6．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】36
【分析】作轴于点于，根据证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值．
【详解】解：作轴于点于，
在中，，点均落在坐标轴上，且，点的坐标为，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
设向上平移个单位，则，则，
又 ∵点和在该比例函数图象上，
∴，解得，
，
故答案为： 36 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化-平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识．
7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标．
【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数为，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，，
解得或，
∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，求得E、F的坐标是解题的关键．
8．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，过一点分别向，轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．
【初步理解】
（1），是和谐点的是______；
（2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标；
【尝试应用】
（3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求的值；
【回归本质】
（4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或或
【分析】本题通过新定义“和谐点”和“和谐矩形”，结合坐标系中的几何性质，考查代数方程的建立与求解，涉及二次方程求解和因式分解以及反比例函数理解．本题的核心在于理解“和谐点”的定义，通过建立方程将几何条件转化为代数问题．关键步骤包括周长面积相等方程的建立、参数的求解以及因数分解的枚举．注意各问题的限制条件（如象限、双曲线参数、整数坐标）对解的影响．
（1）首先需要理解“和谐点”的定义：即点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，据此进行判定即可；
（2）先根据第四象限条件确定坐标符号，进一步建立和谐点方程进行计算即可；
（3）先设双曲线上点坐标，根据定义：周长==面积= ，联立方程进行求解即可；
（4）设为正整数，满足，进行因式分解得出进一步进行枚举即可．
【详解】解：（1）设点P的坐标为，则矩形周长为，面积为，
代入：周长，面积，
两者相等，故P为和谐点；
代入：周长，面积，
，故Q不是和谐点；
故答案为：；
（2）点在第四象限，
故，得，
可得周长，
面积，
由周长=面积得：，
解得：，
故点P坐标为；
（3）设和谐点为，则（，），
根据定义：周长==面积= ，
联立方程： ，
将代入得：，
化简得：，
，
，
；
（4）设为正整数，满足：
，化简得：，
4的正整数分解为：，
当得出；
当得出；
当得出；
故或或．
9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以为斜边，在直线l的右侧作等腰直角，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查反比函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，由直线解析式得，过点作轴于点，过点作于，则，设，则，，，根据是等腰直角三角形，证明，得，，则点的坐标为，再代入解析式，可得，，进而求得的值．
【详解】解：对于直线，当时，，则点的坐标为，
∴，
过点作轴于点，过点作于，则，
设，则，，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，也在反比例函数的图象，
∴，，
整理得①， ②，
将①代入②得③，
由得，
∴，即，
解得：，
故答案为：6．
10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ．
【答案】
【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则，
∵点坐标是，
，
在中，，则，
由旋转性质得，点在第一象限中，
，又，
，
，
，
∵的坐标是，且在第一象限，
，
，
∵在函数的图象上，
，且，
，
，
，
（负舍），
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键．
11．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．
(1)求的值；
(2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）延长交x轴于点Q，根据题意，得,结合已知得到,设，于是，确定，继而确定，求．
（2）延长交于点F，过点N作于点G，得,，得到四边形是平行四边形即，得到，设，求得，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，当时，，求解即可．
【详解】（1）解：延长交x轴于点Q，
∵四边形是菱形，点，
∴，，
∴，
∵与轴正方向的夹角为，且，
∴,
设，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得．
（2）解：延长交于点F，过点N作于点G，
∵四边形是菱形，点，
∴,，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得；
∴，
过点E作轴于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
故当时，，
故点．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键．
12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点C为线段的中点，将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上，则 ．
【答案】
【分析】首先勾股定理求出，然后设旋转后，，由点C在反比例函数图象上得到，表示出，然后根据得到，然后代入求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∴
∵将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上，
∴设旋转后
∵点C为线段的中点
∴旋转后，即
∴
整理得，
∵
∴
∴
∴
∴将代入整理得，
∴（负值舍去）
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
13．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点．
(1)则点的坐标为______；
(2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系求解即可；
分别求出正比例函数经过点和点时的的值，即可得到的取值范围；求出当点是中点时的坐标，利用待定系数法即可求出的 值；
根据中心对称图形的性质可得：阴影部分的面积是的面积的，根据平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：关于原点中心对称，
点与点关于原点中心对称，
又点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：当正比例函数（为常数，）的图像经过点时，
可得：，
当正比例函数（为常数，）的图像经过点时，
可得：，
解得：，
；
当点是中点时，
点的横坐标为，
点的坐标为，
，
解得：；
故答案为：，；
（3）解：点，的坐标分别为，，点的坐标为，
，点到的距离为，
又和正比例函数的图象都是关于原点的中心对称图形，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、中心对称图形的性质，解决本题的关键是利用中心对称图形的性质求出点的坐标，再根据点的坐标求出阴影部分的面积．
14．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得出，再结合即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点在反比例函数的图象上，
．
，
且当时等号成立，
，
则的最小值为．
故答案为：．
15．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，交于，过作于，过作于，证明，可得是的中点，反比例函数过点，证明，可得，求解，可得反比例函数，即，可得，，设，则，，由，解得：（舍去），再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，过作于，
∵矩形翻折，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是的中点，反比例函数过点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴反比例函数，即，
∵是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，
设，则，，
由对折可得：，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∵矩形，结合对折，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
17．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果．
【详解】解：反比例函数的图象经过点
，
，
反比例函数，
经过原点O，
设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为，
反比例函数经过点C，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点B的纵坐标为，
的解析式为，
∴，
∴
，
，
，
，
解得：或（舍去），
点B的坐标是，
故选：A．
18．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、三角形相似等知识，作轴于点，求出点的坐标即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
【详解】解：作轴于点，
由题意可知，，，，
矩形的顶点，
，，
，
点的对应点正好落在边的中点处，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
点落在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
19．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键．
过点作轴，垂足为，设，，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，设，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，即，
∴，
在中，即，，
，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
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专题11 反比例函数
题型概览
题型01 反比例函数的图象和性质
题型02 反比例函数k的几何意义
题型03 反比例函数与一次函数综合
题型04 反比例函数的实际应用
题型05 反比例函数与几何综合
(
题型1
)反比例函数的图象和性质
1．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．C． D．
2．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏盐城·一模）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，点、在同一象限，则D．若，点、在不同象限，则
4．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是的反比例函数，其部分对应值如表：
…
1
2
…
…
…
若，则 ．（填“”“”或“”）
5．（2025·江苏泰州·一模）点在反比例函数的图象上，则 （在“”“”“”中选一个填入）．
6．（2025·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）．
7．（2025·江苏淮安·一模）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知点和都在反比例函数的图象上，若，则、的大小关系是 ．
9．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（ ）
①函数是“顶峰”函数；
②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1；
③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则；
④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
(
题型
2
)反比例函数k的几何意义
1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ．
3．（2025·江苏徐州·一模）如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为 ．
4．（2025·江苏南通·一模）如图，的边轴，点C在上，反比例函数（）的图像经过A，C两点．若的面积为5，且，则k的值为 ．
5．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
6．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ．
8．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ．
(
题型
3
)反比例函数与一次函数综合
1．（2025·江苏镇江·一模）函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接．
(1)求线段所在直线的解析式；
(2)若，求此时k的值．
3．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像也经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
(1)的值为_______；
(2)观察图像，请直接写出满足的x的取值范围_______；
(3)连接，在射线上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长．
4．（2025·江苏连云港·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________．
5．（2025·江苏常州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
6．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，B，直线AO与该双曲线在第三象限的交点为C，以AC为斜边作，直角顶点D落在第二象限．若平分，的面积为4，则 ．
7．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为 ．
8．（2025·江苏扬州·一模）若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B． C． D．
9．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值．
10．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点．
(1)若点的横坐标为2，求的值；
(2)点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明．
11．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点．
(1)求反比例函数的表达式和a的值；
(2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长．
12．（2025·江苏徐州·一模）如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
13．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ．
14．（2025·江苏宿迁·一模）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是．
(1)求，的值；
(2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标．
15．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ．
16．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点．
(1)求m、k的值；
(2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标．
17．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
18．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知直线与反比例函数为在同一坐标系的交点坐标是和，则当为时，x的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
19．（2025·江苏宿迁·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)求B点坐标；
(3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______．
(
题型
4
)反比例函数的实际应用
1．（2025·江苏南京·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．若该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
2．（2025·江苏镇江·一模）如图，路灯、树的底端与小明的站位点在同一条直线上，灯（点）、树顶、小明的头顶这三个点所在的曲线的形状恰好是某个双曲线的一支，在灯光的照射下，树的影子的底部与点重合，小明的影长为3米，已知小明的身高为米，他与路灯相距9米．树与路灯相距多少米？
3．（2025·江苏南京·一模）立竿见影．
如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索．
(1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”）
(2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置．
①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？
②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理．
(3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？
①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；
②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）．
（参考数据：，．）
4．（2025·江苏南通·一模）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏苏州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
6．（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．
请根据以上知识解决下列问题：
已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为．
(1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）；
(2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值．
7．（2025·江苏无锡·一模）当蓄电池的电压为定值时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻的取值范围是 时，电流．
8．（2025·江苏南京·一模）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其函数图像如图所示．当时， ．
9．（2025·江苏扬州·一模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
10．（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ．
频率
10
15
50
波长
30
20
6
(
题型
5
)反比例函数与几何综合
1．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．
2．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形为矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像与边分别交于点（不与边的端点重合），连接，，．
(1)若为边的中点，求的值及点的坐标；
(2)若，求的面积．
3．（2025·江苏南通·一模）平面直角坐标系中，已知，，则面积的最小值是 ．
4．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，其中，点，的横坐标分别为，．
(1)若点，分别在第三、一象限，求的取值范围；
(2)过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，记．
①在（1）的条件下，若，求的最小值；
②若，且，其中，为常数，是否存在的值，使不随的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
6．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ．
7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，过一点分别向，轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．
【初步理解】
（1），是和谐点的是______；
（2）若点是第四象限内的一个“和谐点”，求点的坐标；
【尝试应用】
（3）若双曲线（，）上有且只有一个“和谐点”，求的值；
【回归本质】
（4）若为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点的所有坐标．
9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以为斜边，在直线l的右侧作等腰直角，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为 ．
10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ．
11．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．
(1)求的值；
(2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
12．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点C为线段的中点，将线段绕点B逆时针旋转一定角度后，点A、C同时落在反比例函数（，）的图像上，则 ．
13．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点，顶点，的坐标分别为，．正比例函数（为常数，）的图像与线段交于点，与线段交于点．反比例函数（为常数，）的图像过点．
(1)则点的坐标为______；
(2)的取值范围是______；当点是中点时，则的值为______；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和．
14．（2025·江苏南京·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是 ．
15．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ．
16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·江苏南通·一模）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线（点在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ．
19．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ．
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