专题10 二次函数（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 二次函数 题型概览 题型01二次函数的图象和性质 题型02抛物线的平移问题 题型03 二次函数的实际应用 题型04 二次函数的综合题 ( 题型 1 )二次函数的图象和性质 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2025·江苏南通·一模）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）二次函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的顶点坐标有可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏连云港·一模）已知二次函数的图象经过点，若,则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．上述结论中正确结论的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数与的图象与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 12．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 14．（2025·江苏扬州·一模）若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（  ） A．B． C． D． 15．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（   ） A．B．C． D． 16．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（   ） A．或 B．4或12 C．2或 D．或14 17．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图象上，则 （填“>”，“<”或“=”）． 18．（2025·江苏无锡·一模）一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 19．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 20．（2025·江苏苏州·一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的图像，关于该图像下列四个说法：①图像与坐标轴有两个交点；②图像存在最高点，其横坐标为；③图像最高点和最低点的距离等于；④直线与该图像有两个交点．正确的是 ． 21．（2025·江苏泰州·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 22．（2025·江苏宿迁·一模）已知二次函数的图象与轴交于，且，若，在此图象上，设，则的取值范围是 ． 23．（2025·江苏无锡·一模）已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为： ．（用“”连接） 24．（2025·江苏南京·一模）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则 （填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 25．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 26．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 27．（2025·江苏徐州·一模）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“级关联范围”．函数的“级关联范围”是 ． 28．（2025·江苏扬州·一模）约定，当时，代数式的值记为，当时，代数式的值记为．若，且，则的值为 ． 29．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 30．（2025·江苏南京·模拟预测）已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是 ． ( 题型 2 )抛物线的平移问题 1．（2025·江苏徐州·一模）将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·一模）将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ． 3．（2025·江苏泰州·一模）将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ． ( 题型 3 )二次函数的实际应用 1．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 2．（2025·江苏南通·一模）某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 (1)求y关于x的函数表达式； (2)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 3．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 4．（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 5．（2025·江苏无锡·一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／．小艺信心大增，在原有的50亩试验田种植规模上再增加了50亩试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，试验田的亩产量是试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田比少1亩．小艺将试验田采摘的该草莓和试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． (1)、两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 6．（2025·江苏无锡·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 7．（2025·江苏扬州·一模）南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． (1)求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ (2)A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 8．（2025·江苏无锡·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 9．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 10．（2025·江苏宿迁·一模）某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 11．（2025·江苏南通·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ (3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 13．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个． (1)填表： n 1 2 3 4 … s (2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式． (3)第10个图形中的正方体木块有多少个？ (4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． ( 题型 4 )二次函数的综合题 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 3．（2025·江苏镇江·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6． (1)______； (2)点在轴上，轴，交二次函数的图像于点． ①当时，求证：； ②当且时，求证：； ③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______． 4．（2025·江苏宿迁·一模）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． (1)求函数的“平衡函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的左侧，且点与点不重合，设的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 5．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式： (2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为5时，求的值； ②设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，（当不含内部）和二次函数在范围上的图象有且有一个公共点时，求的取值范围． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 7．（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； (3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知关于x的二次函数图像交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段． (1)求的值； (2)若点D恰好在二次函数的图像上，求此时m的值； (3)过点B作的平分线交二次函数图像于点E，过点E作线段交x轴于点F，请直接写出 ． 10．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 11．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若函数的图象经过点，并与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． 求该二次函数的表达式； 若点在该二次函数图象上，且在直线上方，当的面积最大时，试求出点到直线的距离； (2)点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求该抛物线的表达式； (2)是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 13．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 14．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 15．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 16．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 17．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 18．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 19．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，抛物线顶点记为． (1)对称轴方程为______；（用含的代数式表示） (2)过作轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； (3)若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 21．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 22．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 23．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求和的值； (2)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (3)矩形的顶点分别为、、，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，求的取值范围． 24．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 25．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 27．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 28．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 29．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 30．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2025·江苏徐州·一模）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接． (1)求的值； (2)若于点H，求：的最大值． 32．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 33．（2025·江苏无锡·一模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且， (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)若抛物线与轴交于点、，当为何值时的面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式． 35．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 36．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 37．（2025·江苏淮安·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 38．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数 题型概览 题型01二次函数的图象和性质 题型02抛物线的平移问题 题型03 二次函数的实际应用 题型04 二次函数的综合题 二次函数的图象和性质题型1 1．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，根据抛物线在对称轴右侧的增减性可得即可得到结果． 【详解】解：设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则， 二次函数， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ， 故选：． 2．（2025·江苏南通·一模）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，解题的关键是先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线， 其图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴右侧随的增大而减小， 点，，都在抛物线上， 点关于直线的对称点在抛物线上，且， ， 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴且， 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故选：D． 4．（2025·江苏南京·一模）二次函数在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的顶点坐标有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据函数图象的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由题意，设， 由图象知，, ∴, ∴，, ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴顶点在第二象限． 故选：B． 5．（2025·江苏连云港·一模）已知二次函数的图象经过点，若,则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为， 令，则， 解得：或， ∴当或当时，， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点离对称轴要比点离对称轴远，， ∴， ∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边， ∴， 解得：， 综上所述，， 故选：B． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利用对称轴公式运算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 7．（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，且，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大．上述结论中正确结论的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．先求得，可判断①错误；②正确；由抛物线对称轴为，可判断③正确；④错误． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 8．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 9．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次函数化为顶点式为． 故选：D． 10．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数与的图象与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，从而求得和的长，即可求得与的比值． 【详解】根据题意：， 解得：， ， ， 根据题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 11．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则， 解得：，， 时，函数值的最小值为6， 或， 或． 故选：D． 12．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由时，的取值范围为或，可得或是方程的两个根，则有，再得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 13．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 【答案】B 【分析】先根据抛物线不经过第三象限得出，求出，再求出抛物线的顶点坐标为，根据，得出当时，抛物线不经过第三象限，求出，从而得出，说明函数最小值为，把代入得，把代入得，分两种情况求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∵抛物线不经过第三象限， ∴， 即， ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，抛物线不经过第三象限， 解得：， ∴， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为4或6． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象和性质，分类讨论解题是关键． 14．（2025·江苏扬州·一模）若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意； ， 由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故选：D． 15．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵点，点， ∴A与B关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意； ∵点，点， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 16．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（   ） A．或 B．4或12 C．2或 D．或14 【答案】C 【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为8求出的值．把代入后表示出，再根据最大值求出，最后把代入即可． 【详解】解：把代入得：， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为8， ， 解得， 直线解析式为或， 把代入得，， 把代入得， 故选：C． 17．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图象上，则 （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据点，在二次函数的图象上，分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， ， ， ． 故答案为：> 18．（2025·江苏无锡·一模）一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该二次函数的表达式可以为， 又∵开口向下， ∴， 可取，此时函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一） 19．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 20．（2025·江苏苏州·一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的图像，关于该图像下列四个说法：①图像与坐标轴有两个交点；②图像存在最高点，其横坐标为；③图像最高点和最低点的距离等于；④直线与该图像有两个交点．正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，令解一元二次方程，并确定与y轴上的交点，可判断①；求得最大值和最小值可判断②，可取得最大值和最小值的对应点坐标，利用两点坐标距离公式可判断③；求得时对应的x值可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①令，由得，， ∵, ∴图像与x轴有一个交点，与y轴的交点为 ∴该图像与坐标轴有两个交点；故①正确； ②由于，该图像开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，图像取得最大值，故②正确； ③由②知，最高点坐标为； 当时，该图像取得最小值，此时最低点坐标为， ∴图像最高点和最低点的距离等于，故③正确； ④当时，由解得，，但不在范围内， ∴直线与该图像有一个交点，故④错误， 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 21．（2025·江苏泰州·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 22．（2025·江苏宿迁·一模）已知二次函数的图象与轴交于，且，若，在此图象上，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，代数式的取值范围等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据函数图象上点的坐标特征得，则可将与看成二次函数中，当和时两个函数值，可确定，，进一步推出与不能同时取得最大值，可得答案． 【详解】解：∵，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 将与看成二次函数中，当和时两个函数值， 配方得：， ∵， ∴，， ∵， ∴与不能同时取得最大值， ∴， 即， ∴的取值范围是． 故答案为：． 23．（2025·江苏无锡·一模）已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为： ．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小解答即可． 本题考查了函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在二次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 故或， 解得， 当时，， 当时，， 当时，， 故即； ， 根据， 故， ∴即； ， 根据， 故， ∴； 故． 故答案为：． 24．（2025·江苏南京·一模）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则 （填“”“”“”“”或“”）． 1 2 3 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值小于时的函数值，得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，即在对称轴右侧，y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 25．（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 26．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 27．（2025·江苏徐州·一模）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“级关联范围”．函数的“级关联范围”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，“级关联范围”的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由二次函数的图象与性质得当时，随的增大而增大，当时，的取值范围是，当时，，即，解得：，因为，所以，当时，即，解得：，因为，所以，即可求解． 【详解】解：函数开口向下，对称轴， 当时，随的增大而增大， 当时，的取值范围是， 当时，， 即， 解得：， ， ， 当时，， 即， 解得：， ， ， ， 函数的“级关联范围”是， 故答案为：． 28．（2025·江苏扬州·一模）约定，当时，代数式的值记为，当时，代数式的值记为．若，且，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质和整体代入求值．解题的关键是由可以得到抛物线的对称性．由抛物线的对称轴得到，推出，再整体代入中便可求解． 【详解】解：设， ， 由抛物线的对称性可得：， 化简得：， 又，， ． 故答案为：8． 29．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵， ∴， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的个数有4个， 故答案为：． 30．（2025·江苏南京·模拟预测）已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，结合点A、B、C、D的横坐标，即可得出对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性，即可得到的大小关系． 【详解】解：二次函数图象上有四点，且满足， ∵A的横坐标B的横坐标C的横坐标2，且A的纵坐标C的纵坐标B的纵坐标， ∴抛物线开口向下（）， 若开口向上，离对称轴越远，纵坐标越大，无法满足， ∵且， ∴对称轴在0和2之间， ∵且， ∴对称轴在0和1之间， ∴对称轴到0的距离最近，其次是到2的距离，然后是到﹣2的距离，到4的距离最远， ∴最小，其次，第三，最大， ∴． 故答案为：． 抛物线的平移问题题型2 1．（2025·江苏徐州·一模）将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则：左加右减，上加下减，掌握此法则是解题的关键；按照平移法则进行求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为； 故选：C． 2．（2025·江苏南通·一模）将抛物线向下平移m个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 先根据平移的规律写出抛物线向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与轴有公共点可得，由此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：将抛物线向下平移m个单位长度得， ∵与轴有公共点， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·江苏泰州·一模）将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将二次函数解析式化为顶点式，先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则求出平移后的解析式，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为， ∴将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键． 先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式． 【详解】解：在直线上， 或B是抛物线的顶点， 的横坐标相同， 抛物线不会同时经过B、C点， 抛物线过点A和C两点， 把代入： 得，解得， 二次函数为 顶点始终在直线上， 抛物线向左、向下平移的距离相同， 设平移后的抛物线为， 令，则， 时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为， 平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 二次函数的实际应用题型3 1．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务． 制定购买方案 问题背景 背景1 ◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元． ◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售． 背景2 学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人． 信息整理 设奖励一等奖学生人，列表如下： 一等奖人数范围 钢笔支数 钢笔单价 笔记本本数 笔记本单价 __________ __________ 探究任务1 建立数学模型 设购买总额元，求关于的函数表达式． 探究任务2 拟定购买方案 制定购买奖品金额最少的购买方案． 【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； 信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价； 探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式； 探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解． 【详解】信息整理： 当时，钢笔单价为：，     当时，钢笔单价为：8    探究任务： ①当时，           当时，，当时，， 当时，．          ②当时， ，          ，            当时，的最小值为700元， 当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元． 2．（2025·江苏南通·一模）某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 (1)求y关于x的函数表达式； (2)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的相关性质，是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求得和的值，即可得解； （2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出，求出其对称轴，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 由题意得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意得： ， ， ∴当时，有最大值450元； ∴当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元； （3）解：由题意得： ， 二次函数的对称轴为， ∵，当销售单价不超过38元时，利润随着的增大而增大， ， ， a的最小值为6． 3．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)衬衫的单价应下降25元 (2)单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可； （2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得： ， 解得：， 经检验都符合题意． ∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利， ∴x应取25元． 答：衬衫的单价应下降25元． （2）设每天利润为w元， 由题意，得： ， ， 当时，盈利最多为1250元， 所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 4．（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（， 为整数）； (2)第天的日销售利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （）设日销售利润为，则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为， 则， 当时， ∵， ∴当时，有最大值元； 当时， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 5．（2025·江苏无锡·一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／．小艺信心大增，在原有的50亩试验田种植规模上再增加了50亩试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，试验田的亩产量是试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田比少1亩．小艺将试验田采摘的该草莓和试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． (1)、两种试验田的亩产量分别是多少？ (2)若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【答案】(1)试验田亩产量为，试验田亩产量为 (2)定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设试验田亩产量为，试验田亩产量为，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）设定价元，每天利润为元，直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设试验田亩产量为，试验田亩产量为． 由题意得：． 解得． 经检验，是方程的解． 试验田亩产量为，试验田亩产量为． （2）解：平均每亩投入种植成本为36000元， 试验田收获的草莓种植成本30元，试验田收获的草莓种植成本20元． 采摘及装箱的人工等成本平均为8元， 混合装箱后每箱草莓的成本为：． 设定价元，每天利润为元，则 ． ，， 当时，有最大利润，此时． 答：定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元． 6．（2025·江苏无锡·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】(1)（，且是整数）； (2)该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数，正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； （2）解：设每场的获利为元， 根据题意，得： ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 7．（2025·江苏扬州·一模）南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． (1)求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ (2)A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； (2)A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、二次函数的应用． （1）设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元，根据“购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元． 根据题意得， 解得， 答：A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； （2）解：设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元， 由题意得 ． ， ∴当时，w有最大值2460． 答：A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 8．（2025·江苏无锡·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求一次函数解析式，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法求出，然后表示出y即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵受市场影响，服装的定价不能超过52元 ∴当时，y取得最大值，最大值为 ∴每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 9．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？ 【理解a的几何意义】 （1）图①是二次函数（a，h，k为常数， ）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：          　　                 　　                 　　                 　　        （2）若点在二次函数（a，p，q为常数，）的图象上，则 ．（用只含s，t，p，q的式子表示） 【运用a的几何意义】 （3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面的宽度为n，拱顶到水面的距离为．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为时，直接写出此时桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示） 【答案】（1），，，；（2）；（3）水面的宽度为 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． （1）分别把，，，代入求值即可； （2）把代入求出即可； （3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求出即可． 【详解】解：（1），，为常数，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）点在二次函数，，为常数，的图象上， ， ， ， 故答案为：； （3）以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 此时，， 设拱桥所在抛物线的解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为， 当拱顶到水面的距离为时，此时， 即， 解得， 水面的宽度为． 10．（2025·江苏宿迁·一模）某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 由（1）得，， ， 当时，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 11．（2025·江苏南通·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ (3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【答案】(1) (2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 (3)纪念品的销售单价x的范围是 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为元 ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）解：∵利润不低于2250元， 且，w随x增大而增大， 由得或， ∴． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)．取得最小值 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 13．（2025·江苏宿迁·一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个． (1)填表： n 1 2 3 4 … s (2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式． (3)第10个图形中的正方体木块有多少个？ (4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1；6；15；28 (2) (3)第10个图形中的正方体木块有190个 (4)存在，它是第30个图形 【分析】（1）由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…由此规律得出第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个，进一步代入求得答案即可； （2）把代入函数解析式即可得到结论； （3）把代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； （2）解：第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个， 二次函数的表达式为； （3）解：当时，， 答：第10个图形中的正方体木块有190个； （4）解：当时，即， 解得：（舍去），， 存在，它是第30个图形． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 二次函数的综合题题型4 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 【答案】 /0.125 或 【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值； （2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）依题意，令， 整理，得：， 又抛物线与直线有且只有一个交点， ， 解得：， 故答案为：； （2）顶点在第二象限， ， 然后分两种情况讨论： ①当点在轴的正半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； ②当点在轴的负半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，锐角三角函数的定义，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，根据锐角三角函数的定义列出关于的方程是解题的关键． 2．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【详解】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 3．（2025·江苏镇江·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6． (1)______； (2)点在轴上，轴，交二次函数的图像于点． ①当时，求证：； ②当且时，求证：； ③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______． 【答案】(1)1 (2)①见解析；②见解析；③1或4 【分析】（1）根据，令，得，根据，得，求得得到，，确定，设，结合的面积为6．确定点C，后代入解析式确定a的值即可． （2）①当时，，确定，根据，，得，，故即可得证； ②分三种情况讨论：当时，点M在x轴下方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上，分别表示出、、的长，即可证明结论； ③ 先确定即为图像，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，故，解得，故，，分两种情况讨论，过点作直线的垂线，交图像于点，得时，，故，由，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，令，得， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设， ∵的面积为6． ∴， 解得或（舍去）， 故， ， 解得． 故答案为：1． （2）解：① 当时，， 故， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； ② 当且时， ∵， 当时，点M在x轴下方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 当时，点M在x轴上方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 当时，点M在x轴上方抛物线上， 由， 得当时，， 故， ∴， ∵，， ∴，， 故， 故； 综上所述，结论都成立． ③ 根据二次函数，将图像左移1个单位，上移4个单位，得到即为图像， 过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧， 故， 解得， 故，， 当时，由过点作直线的垂线，交图像于点， 得时，， 故， 由，， 故，， 故， 解得， 当时，由过点作直线的垂线，交图像于点， 得时，， 故， 由，， 故，， 故， 解得， 故； 故答案为：1或4． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，解方程，绝对值的应用，熟练掌握平移和待定系数法是解题的关键． 4．（2025·江苏宿迁·一模）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． (1)求函数的“平衡函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的左侧，且点与点不重合，设的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③． 【分析】（）根据“平衡函数”的定义解答即可； （）①由题意得点的坐标为，点的坐标为，即得，解方程即可求解；②分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解；③画出函数图象，求出点的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴，， ∴， ∵点“关于的平衡点”为点， ∴，， ∴， ①点与点重合， ∴， ∴； ②点在轴的左侧， ∴， 当时，即， ∴，点在点的上方， ∴， ∴； 当时，即， ∴，点在点的下方， ∴， ∴； 综上，； ③∵，图象如下， 联立，得， 整理得， 解得，， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 联立，得， 整理得， 解得（舍去），， ∴点的横坐标为， ∵为的中点， ∴，即， ∴， 整理得， 即， 即， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了新定义函数，求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，理解函数的新定义是解题的关键． 5．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式： (2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为5时，求的值； ②设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，（当不含内部）和二次函数在范围上的图象有且有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题： （1）将对称轴及点，代入求解即可得到答案； （2）①先求出二次函数与轴交点，分点在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②当点在点上方，用含的代数式表示出点，当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，当点在点下方，可得出，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为 ∴， 解得： 则抛物线的函数表达式为： （2）解：①当时， ，解得：，， 当点在对称轴左边时，即时， ∵， ∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为5， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 当点在对称轴右边时，即， ∵， ∴此时最高点为A点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为5， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上所述：； ②当点在点上方，，即：时， ，点，即， 当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点， ∴， 解得：，（舍）， 当点在点下方时，如下图： ， 则， 解得：， 故答案为：或 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 7．（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点． (1)填空：______，______； (2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点； (3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证； （3）根据直线恒过点，得到当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，过点作轴，推出点，以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，求出点坐标，圆周角定理，推出点在以为圆心，为半径的圆上，根据到线段的距离大于半径，得到与线段相离，得到线段上不存在点使． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：． 故答案为：； （2）由（1）知：， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 又∵当时，， ∴抛物线也过点； ∴二次函数与一次函数的图像总有交点； （3）不存在，理由如下： 由（2）知道，直线恒过点， ∴当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，如图， 此时， 过点作轴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，则：在的中垂线上，且， ∴点的横坐标为， 设，则：， ∴或（舍去）； ∴， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵到轴的距离为2，， ∴圆与直线相离， ∴线段上不存在点使． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知二次函数（为常数）．该函数图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度为； (2)若二次函数图像对称轴为直线，点是直线上方二次函数的图像上的两个动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，连接． ①图中二次函数的表达式为______； ②已知点的横坐标比点的横坐标大2，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，三角形面积，熟练掌握相关知识得是解题的关键． （1）令，则，解得，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得到，得到，即可得到答案； ②由抛物线解析式得到，得到，求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，得到，，，，求出的面积，得到的面积． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）解：①抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线解析式为， 故答案为：； ②抛物线解析式为， ， 令，则， 解得或， 点在点左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， ，，，， ， 的面积， 的面积． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知关于x的二次函数图像交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段． (1)求的值； (2)若点D恰好在二次函数的图像上，求此时m的值； (3)过点B作的平分线交二次函数图像于点E，过点E作线段交x轴于点F，请直接写出 ． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图像与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先求得点A、B、C的坐标，进而求得、，利用正切定义求解即可； （2）过D作轴于P，证明，利用全等三角形的性质求得点D坐标为，代入二次函数解析式中解方程即可求解； （3）设与y轴交于点K，过K作于H，根据角平分线的定义可得是等腰直角三角形，则，设，解直角三角形求得，则，求得；过E作轴于M，然后解直角三角形，分别求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：对于, 当时，， ∴，则； 当时，由解得，， ∴，，则， ∴； （2）解：过D作轴于P，则， 由旋转性质得，，且点D在第一象限， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点D坐标为， ∵点D恰好在二次函数的图像上， ∴，解得； （3）解：设与y轴交于点K，过K作于H， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 过E作轴于M，则， ∴，则； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 10．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题可知，，，得对称轴为直线则．设，其中．求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，从而，可求出的值为定值． （3）当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线，则方程只有一个实数根，可求出，将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，此时，，过点H作轴，可得，证明四边形为平行四边形得，得出点的坐标为即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 解得． （2）解：由题可知，，，得对称轴为直线． ． 设，其中． 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为． 当时，． 点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． 点． ，． ． 的值为定值． （3）∵，两点间的距离的最小值大于2， 直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线， 则方程只有一个实数根， ， ， 记直线与抛物线的交点为H，与轴的交点为点，则， 将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线， 此时，． 过点H作轴，交直线于点F，则， ， 是等腰直角三角形， ， 直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形， ， 点的坐标为， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 11．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)若函数的图象经过点，并与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． 求该二次函数的表达式； 若点在该二次函数图象上，且在直线上方，当的面积最大时，试求出点到直线的距离； (2)点，是二次函数图象上两点，当时，始终有，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)且． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； 过作轴，交于点，过作于点，再求出解析式为，设，则，则，当时，有最值，为，然后用面积公式即可求出点到直线的距离； （）通过二次函数一一元二次方程的关系，二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数过点点， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为； 如图，过作轴，交于点，过作于点， 由得，二次函数的表达式为， 当时，，当时，，解得：，， ∴，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最值，为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解： ∵当时，总有， ∴且． 12．（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求该抛物线的表达式； (2)是该抛物线上一点． ①连接，若，求点的坐标； ②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解； （2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 在中，， ∴， ∴或0（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点E的坐标为； ②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则， ∵点，， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 设点E的坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或0（舍去）， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 13．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为定值，是． (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的增减性，利用交点式求二次函数表达式，待定系数法求一次函数的表达式，三角形的面积，矩形的性质，根据题意画出图形，数形结合分析是解题关键． （1）通过设交点式，化简整理后即可求得函数表达式； （2）设，进而表示出直线的表达式为∶，直线的表达式为∶，则．，最后根据面积公式代入化简即可∶ （3）①当时，则，点G在的上方，如图1所示，此时令，可解得或 (不合题设，故舍去)；当点G在的下方，如图2所示，不符合题意；②当时，则，点P在上方时，如图3所示符合题意，令，解得或0(舍去)，故；当点P在下方时，如图4所示，令，解得或 (不合题设，故舍去)；综上可得 或或． 【详解】（1）解∶ 拋物线与轴交于，两点， 解得 故抛物线解析式为． （2）解：的值为定值，理由如下∶ 设， ，， 则根据待定系数法可得直线的表达式为∶， 同理可得直线的表达式为∶， 则， ， ． （3）解：当时，则，点G在的上方，如下图 令，解得或（不符题意，舍去）． 点G在的下方，如下图，不符题意； 当时，则，点P在的上方，如下图 令，解得或（舍去）． 故； 点P在的下方，如下图 令，解得或（不符题意，舍去）． 综上，或或 14．（2025·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质及解一元二次方程． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，求出，过点P作轴于点H，连接，根据题意易证是等腰直角三角形，推出，设，则，分点P在上方和下方，由，建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：， 则该抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点P作轴于点H，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 当点P在上方时，如图， 则， ∴， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，则， ∴； 当分点P在下方时，如图， 则， ∴， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，则， ∴； 综上，点P的坐标为或． 15．（2025·江苏宿迁·一模）已知，抛物线：交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点． (1)求、两点的坐标； (2)如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点的直线与相交于，两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)为定值， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积最值问题等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）根据函数图象的性质，当函数值为0时转化成一元二次方程，解一元二次方程即可得到交点坐标； （2）过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点，证明得出， 求出相关点的坐标，求得线段长度即可求比值； （3）连接，求出抛物线的解析式，联立解析式求得，分析三角形何时面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：当抛物线解析式函数值为0时得， 整理得 解得， ∴，； （2）解： 为定值，定值为2，理由如下： 如图所示，过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点，作交于点， ∵, ∴， 即， 假设直线的解析式为，将代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 通过抛物线解析式可求，则， ∴， ； （3）解：如图所示，连接， 假设抛物线的解析式为 根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线和得 解得 ∴ 由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，, 当点在轴上时，的面积最大，即面积的最大，值为4， ， 解得． 16．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，且经过点，该抛物线与x轴的负半轴交于点B． (1)此抛物线对应的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一点，当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)点P的横坐标为1或 (3)若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值，过点P作y轴的平行线，交直线于点H，进而根据铅垂法可求解； （3）设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （2）解：连接，如图所示：    要使当的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，则当点P在直线上方时，只有一个点P满足，那么我们只需求此时的面积即可，即求的面积最大值， 过点P作y轴的平行线，交直线于点H，如图所示， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则有， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点P的横坐标为1； 当点P在直线的下方时，即点，如图， ∵， ∴同理可得：， 解得：； 综上所述：点P的横坐标为1或； （3）解：设点，由题意可分：当点N在对称轴的右侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，过点N作一直线，分别过点A、M作，垂足分别为E、F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点N在对称轴的左侧时，满足是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示，    同理可得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：若是以为斜边的等腰直角三角形，则点N的坐标或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键． 17．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化． （1）根据待定系数即可求解； （2）①先求出中点的坐标，然后求出直线的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点坐标； ②先将面积比化为底之比得到，设，取的中点记为点，则，进行线段转化得到为的中点，再表示出点的坐标，最后代入直线的表达式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； （2）解：①解：当时，得， 解得，， ，， ∵点E是线段的中点， ∴， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点， ∴； ②设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设， 取的中点记为点，则，如图： ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 即， 将代入， 得：， 整理得：， 解得：， ∴点的横坐标为． 18．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． (1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值； (3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，15 (2)或 (3) 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个， 故答案为：，15； （2）， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形； （3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”， ∴在轴上方只有3个“整数点”， 当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意； 当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意； 当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意； 当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意； 综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，勾股定理，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． 19．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴分别相交于、两点（在的左侧），与轴相交于点，． (1)请求出的值； (2)已知点是函数图像上一动点（不与、重合），过点的直线平行于轴，与的外接圆交于另一点，连接，．请问是否存在点，使得最小？若存在，请求出点坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）把代入函数表达式求出坐标，再根据得到等腰直角三角形求出点坐标，再代入函数解析式即可求解； （2）设，设的外接圆心为，由垂径定理得，连接，由得到，结合二次函数解析式化简得到，可求，即，则在过且平行于轴的直线上运动．过点作直线的对称点，则，由，当点三点共线时，最小值为，再由两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：把代入函数表达式得： 解得：，， ，． ， ， ∵ ． 把，代入函数表达式得， 解得； （2）解：如图，设， ∵由题意得的外接圆心在的垂直平分线上， 而， ∴抛物线对称轴为直线， ∴设的外接圆心为， 过点作于点，则， ∴ ， 连接， ， ．① ， ．即．② 把②式代入①式，得：． 整理得：， ， ， ，即． 坐标为， 在过且平行于轴的直线上运动． 过点作直线的对称点，则， ∴， ∴当点三点共线时，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点轨迹． 20．（2025·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，抛物线顶点记为． (1)对称轴方程为______；（用含的代数式表示） (2)过作轴的平行线交该抛物线于点，若，求的值； (3)若点，所在直线经过一、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）直接利用顶点式得到对称轴方程即可； （2）如图，当在的同侧时，求解，，，结合，可得，再解方程即可；如图，当在的异侧时，同理可得：，再解方程即可； （3）由点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上，可得，在的右边，当关于对称轴对称时，，如图，可得，再结合图象可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线： （2）解：如图，当在的同侧时， ∵， ∴， 当时， ， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：；经检验符合题意； 如图，当在的异侧时， 同理可得： ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴舍去， 综上：或或； （3）解：∵点，的横坐标分别为，（，为常数，），且在抛物线上， ∴， ∴在的右边， 当关于对称轴对称时，，如图， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴当点，所在直线经过一、三象限时，如图， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积，一次函数的性质，本题难度大，属于二次函数的压轴题，熟练的利用数形结合的方法与清晰的分类讨论是解本题的关键． 21．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入可得： ，解得：． （2）解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 22．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，代入解析式解方程组即可． （2）过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q，确定直线的解析式为：，设，则，，，结合，得到，得到，根据题意，得，得到方程，解答即可． （3）根据，得到，故，设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得，，得到，求得（舍去）；过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N，仿照2问解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，且对称轴为直线，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴， 整理，得， 解得， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， 设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； ， 过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴都符合题意， 当时，，此时点； 当时，，此时点； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，三角形的面积性质，熟练掌握待定系数法，解方程，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 23．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求和的值； (2)当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式； (3)矩形的顶点分别为、、，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， (3)或 【分析】（1）根据抛物线（、为常数）顶点的坐标为，可得顶点式，再化为一般式即可求解； （2）由题意得，，则，根据顶点在图象上时，分两种情况：当点在顶点右侧，即：，得，，则点在顶点左侧，，此时，由此可得答案；当点在顶点右侧，同理可得，即可求解； （3）根据题意，找到点或点在上的临界点位置，得或，再据此分，，，四种情况，利用数形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）顶点的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∴，； （2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， 则， 顶点在图象上时， 当点在顶点右侧，即：， ∴，， 则点在顶点左侧，，此时， 即：此时图象上最高点的纵坐标，最低点的纵坐标， ∴； 当点在顶点右侧，即：， ∴，， 则点在顶点左侧，，此时， 即：此时图象上最高点的纵坐标，最低点的纵坐标， ∴； 综上，当时，；当时，； （3）解：对于，当时，即，解得，， 抛物线经过点，， 矩形的顶点分别为、、， ∴， 当时，，此时点、重合，不能构成矩形，不符合题意； 当时，如图，点在上，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，符合题意； 当时，点在上方，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值存在随的增大而增大，不符合题意； 当时，如图，点在下方，点在上方，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，符合题意； 当时，即时，如图，点在上，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，符合题意； 当时，即时，点在上方，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值存在随的增大而增大，不符合题意； 当时，如图，点在上方，点在下方，此时图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，符合题意； 综上，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查了二次函数的图象与性质，矩形的性质等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 24．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 【答案】(1)抛物线 的解析式为； (2)①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答； ②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，    ∵抛物线与x轴交于点和点， 可得， 解得， 抛物线 的解析式为； （2）解：①存在，如图，过点作轴，交于点， ， 当四边形为平行四边形时，，， ， ， ， ，即点的横坐标为， 当时，， 则， 故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形； ②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点 ∴，， ∵点按竖直方向向下平移个单位到点， ∴， ∴点到x轴的距离为， 此时满足， ∴点到x轴的距离的最大值为． 25．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)n的最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据二次函数的对称性可得出，设，则，解方程组，求出，把代入，求出n关于t的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出直线表达式为，当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F，则，，根据正切的定义求出，则可求，进而求出直线表达式为，联立方程组，解方程组即可；当在左下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， ∴， 设，则， 解方程组，得， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，n随t的增大而减小， 又， ∴当时，n有最大值为； （3）解：对于，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线表达式为， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 当在右上方时，如图，设直线与y轴交于点E，过B作于F 则，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ∴直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，符合题意； 当在左下方时， 同理可求直线表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，不符合题意，舍去， 综上，当时，正方形的面积为2． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形解答． 26．（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)理由见解析． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 27．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线的解析式，设，则，根据得，列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过点， ∴ 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为，把代入，得：， ， 设，则：， ， ，即：， 解得：或（舍去）， ，， ， ． 28．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)或或 【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解； （2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； （3）∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 综上，或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，添加辅助线全等三角形，得到点在直线上，是解决问题的关键． 29．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 30．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 31．（2025·江苏徐州·一模）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接． (1)求的值； (2)若于点H，求：的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，然后根据等面积法和二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：， 设，作交于E， 则，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 当时，最大值为． 32．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 33．（2025·江苏无锡·一模）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 34．（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且， (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)若抛物线与轴交于点、，当为何值时的面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式． 【答案】(1)直线 (2)1 (3)的面积最小值为，此时抛物线的解析式为 【分析】本题考查了二次函数与面积问题、二次函数与一元二次方程、待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）根据抛物线过点，，得到，设点的坐标为，其中，再利用三角形的面积公式得出，，由整理得到，得出，最后代入和到，利用待定系数法即可求解； （3）令，用含的代数式表示出，再利用三角形的面积公式得出，再结合二次函数的性质求出的面积最小值和此时的值，即可得出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：抛物线过点，， 点和点关于抛物线的对称轴对称，且直线为， ，即， 点在线段上， 设点的坐标为，其中， ， 点到直线的距离为， ，， ， ， 整理得：， 点的坐标为， 代入和到，得， 解得：， 的值为1． （3）解：令，则， 解得：，， ， ， 点到轴的距离为2，即点到的距离为2， ， 当时，有最小值3，此时有最小值， 此时抛物线的解析式为， 综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为． 35．（2025·江苏无锡·一模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线交y轴于点E，且． (1)请直接写出A，B两点的坐标：A______，B______． (2)当顶点P与点Q关于x轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标； （2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论；②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标． 【详解】（1）解： ∵， ∴这个抛物线的对称轴是：直线， ∴， 如图1所示， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 根据抛物线的对称性得， 故答案为：； （2）解： ①如图1， 将代入二次函数中得：， ∴， ， ∴， ∵顶点与点关于轴对称， ∴，即， ， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2， 当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得：， ∴； 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式， 设直线的解析式为：， ∵， ∴， 当时，， ， 如图3， 当点在的上方时，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ∵， ， ，，， ， 过作轴，垂足为， 在中， ， ， 或 (舍去)． ， 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键． 36．（2025·江苏无锡·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，，， 【分析】（1）先根据题意得出抛物线的对称轴为直线，求出a的值，然后把代入求出c的值即可得出抛物线的解析式； （2）①连接，交于点Q，根据折叠得出垂直平分，，设点E的坐标为，根据勾股定理得出，求出，根据中点坐标公式得出，求出直线的解析式为：，联立，求出点P的坐标为； ②先说明当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形，只能，一定是矩形的对角线，证明为等腰直角三角形，，过点B作于点H，过点P作于点G，证明，得出，，设点，，点，得出，，，，得出，分类讨论，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为过点且平行于轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： （2）解：①连接，交于点Q，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， 根据折叠可知：垂直平分，， 设点E的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，， ∴此时点P的坐标为； ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∴当或时，或， ∴当或时，点E、P、或E、B、在同一条直线上， ∴当或时，以点、E、P、为顶点不可能组成四边形， ∴只能， ∴一定是矩形的对角线， ∴以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， 过点B作于点H，过点P作于点G，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点，，点， ∴， ，，， ∴， ∴， Ⅰ．当时，， 把代入得： ， 即， 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴， ∴此时点E与重合，不符合题意； 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，，解得：（舍去）或， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； Ⅱ．当时，， 把代入得： ， 即， 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴（舍去，不是直角三角形）； 当时，，解得：（舍去）或， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，，解得：（舍去）或（舍去）； 综上分析可知：点的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，中点坐标公式，矩形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 37．（2025·江苏淮安·一模）定义把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当时，函数的图象与直线相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)新函数的顶点坐标为 (2)的解析式为 (3)或或 【分析】（1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论：①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得的解析式； （3）先得出时点A，B，D的坐标，再分①当时，②当时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的顶点坐标为， ∵当时，点P的坐标为， ∴新函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴函数， ∴函数的顶点坐标为， 把代入函数，得：， 根据抛物线的对称性可知，当时． ①当时，，（不符合题意，舍去）． ②当时，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴， ∴的解析式为； （3）解：∵，函数， ∴函数， ∵当时，或；当时，， ∴点A，B，D的坐标分别为， ∵线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 当点在点B的左侧（含点B）时，线段与函数的图象有公共点，如图1： ∴， ∴； 当点在点B的右侧，且点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图2： ∴， 解得， ∴． ②当时，点D在点的下方（含点）时，线段与函数的图象有公共点，如图3： ∴ ， ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 38．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设，利用表示出的长，即可求解； （3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 在中，， ， 如图， 轴， ， 设点，则点， 则， 则， ， ，故当时，有最大值，为，此时点； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位， 则新抛物线的对称轴为直线，设点， 如图，当为对角线时，存在两种情况，可得， ， 解得， 则， 的中点为，即， 设，则可得，解得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时， 当时，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 如图，当为边时，当在上方时， 可得， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 综上，或或或． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$