专题14 圆（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题14 圆 题型概览 题型01 圆周角与圆心角 题型02 弧长与扇形面积 题型03 切线的性质与判定定理 题型04 正多边形与圆 ( 题型1 )圆周角与圆心角 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，为的内接三角形，是的直径，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏泰州·一模）如图，是的直径，点，均在上，，若，则的度数为 ． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是 度． 11．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，在上，若，则 ． 12．（2025·江苏扬州·一模）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 °． 13．（2025·江苏南京·一模）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，正六边形内接于，若点为上异于的一点，则的度数为 ． 15．（2025·江苏常州·一模）如图，是的直径，，则 ． 16．（2025·江苏淮安·一模）如图，，，，是上的四个点，，则 度． 17．（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °． ( 题型 2 )弧长与扇形面积 1．（2025·江苏宿迁·一模）已知一个圆锥体的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 （结果保留） 2．（2025·江苏镇江·一模）一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为 ． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）在扇形中，，内接于扇形，，位置如图所示．若，，则扇形的面积为 ． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为 ． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．   (1)求证：； (2)若，的长为π，求的长． 7．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为 ． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    11．（2025·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 12．（2025·江苏苏州·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留） 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ． 15．（2025·江苏扬州·一模）若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为 ．（结果保留）． 16．（2025·江苏连云港·一模）如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 17．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在四边形中，，， ， 点为四边形内部一点，且满足，则点 E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 18．（2025·江苏宿迁·一模）底面半径为的圆锥，其侧面展开图是半径为的扇形，则这个扇形的圆心角为 ． ( 题型 3 )切线的性质与判定定理 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若； ①求的长； ②求的长． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 7．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． (1)证明：； (2)当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求长． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 10．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 11．（2025·江苏苏州·一模）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 14．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 15．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 16．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 17．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求点到的距离． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． (1)在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； (2)在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 19．（2025·江苏淮安·一模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 20．（2025·江苏南通·一模）如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． ( 题型 4 )正多边形与圆 1．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 2．（2025·江苏苏州·一模）已知正六边形的边长为，则它的面积 ． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在边长为的正六边形中，点、分别是对角线、上的两个动点，连接、、，若是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，是半径为2的正八边形的一条对角线，则 5．（2025·江苏徐州·一模）如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（   ） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 6．（2025·江苏徐州·一模）如图，小正方形内接与圆中，大正方形四边均和圆相切，图中空白部分与阴影部分的面积比值为（　　） A．1 B． C． D． 7．（2025·江苏南京·一模）面积和周长是初中几何数学中讨论的重要内容． (1)小明的想法：若要在锐角三角形里找到一个面积最大的正方形，可以在一条边上先找一个点，然后… ①补全小明的想法，可以画图补充； ②按这样想，面积相等的直角三角形里，面积最大的正方形的面积随着直角三角形高的变化趋势是 ___________． (2)小芳的问题：边长为的等边三角形里，周长最大的正方形的面积是多少？请你回答． (3)小张的问题：在一个边长为5的正方形中，最多可以找出多少个顶点均在边上且面积为10的等边三角形？请你回答： A．有 ___________个 B．无数个 C．没有 (4)一个边长为m的正方形中，圆与正方形各边相切，圆上两个动点之间的距离为m，分别连接两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：___________． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆 题型概览 题型01 圆周角与圆心角 题型02 弧长与扇形面积 题型03 切线的性质与判定定理 题型04 正多边形与圆 圆周角与圆心角题型1 1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，由三角形外角的性质得到，继而得到，得出弧的度数不可能是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 弧的度数不可能是， 故选：A ． 2．（2025·江苏连云港·一模）如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握上述性质与定理． 先利用切线的性质证明，，再利用垂直的意义得出，，然后四边形的内角和为360度得出，再利用圆周角定理求出，即可求得． 【详解】解：连接、， 如图， 、是切线， ，， ， ， ， ． 故选： C． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆，三角形的内心的意义，圆周角定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出待求角．先利用等边对等角，求得，再利用三角形的内角和定理求得，然后利用三角形内心的意义求得的度数． 【详解】解：连结， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴． 故选： C． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折可得，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得，，， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，为的内接三角形，是的直径，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．由是的直径，可得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明，再证明，据此根据三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的度数为的度数的一半， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得，得到，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 9．（2025·江苏泰州·一模）如图，是的直径，点，均在上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由是的直径得到，求出，由得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 的度数为， 故答案为：． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．若，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，直径所对的圆周角相等，掌握知识点的应用是解题的关键；连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而可根据，可得，根据圆内接四边形可得，根据圆周角定理即可求得的大小． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是的直径， ， ， ， 故答案为：. 12．（2025·江苏扬州·一模）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 °． 【答案】24 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为： 24 ． 13．（2025·江苏南京·一模）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则 【答案】105 【分析】本题主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、三角形内角和、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：设，，则，由如图：设，，则可得、、、；然后根据三角形内角和定理列方程组求解即可． 【详解】解：如图：设，，则， ∴，，， ∵内接于半圆O， ∴， ∴，即①， ，即②， ①②联立：解得：， ∴． 故答案为：105． 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，正六边形内接于，若点为上异于的一点，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ， 当点不在上时， ， 当点在上时， ， 故答案为：或． 15．（2025·江苏常州·一模）如图，是的直径，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则． 【详解】解：∵ ，是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴， ∴， 故答案为：120． 16．（2025·江苏淮安·一模）如图，，，，是上的四个点，，则 度． 【答案】100 【分析】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题． 根据圆内接四边形对角互补求出，然后根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍求解即可． 【详解】解：，，，是上的四个点，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ∵， ， ， 故答案为：100． 17．（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °．    【答案】85 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 弧长与扇形面积题型2 1．（2025·江苏宿迁·一模）已知一个圆锥体的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，掌握公式是解题的关键．即（其中r是底面半径，l是圆锥的母线）． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】根据题意可知它的侧面展开图面积． 故答案为：． 2．（2025·江苏镇江·一模）一个圆锥的母线长为4，其侧面展开图扇形的圆心角的度数是，则圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设底面圆的半径为， 则， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 4．（2025·江苏南京·一模）在扇形中，，内接于扇形，，位置如图所示．若，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，扇形的面积等，延长，相交于点，可得是的直径，利用勾股定理及线段垂直平分线的性质可得，即得，进而得，即可得，最后根据扇形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为．若用图中扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质求得，然后利用线段差求得，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出，接着利用邻补角的意义求得，再利用弧长公式求得圆锥的底面的半径． 【详解】解：连结，设该圆锥的底面圆半径为， ∵与边相切，切点为， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，求圆锥底面半径，含有30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，根据切线性质利用含有30度角的直角三角形的性质求出是解题关键． 6．（2025·江苏南通·一模）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交的延长线于点C，与相切于点D，连接．    (1)求证：； (2)若，的长为π，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，弧长公式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，，再利用圆周角定理，得出，据此即可得证； （2）根据弧长公式计算求得，在中，利用正切函数的定义，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接．    ∵与相切于点D， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，的长为π， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交于    ，交于，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接、，令交于 ，交于，作交于， ， ∵点是边长为1的正六边形的中心， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（2025·江苏苏州·一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的侧面展开图，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设圆锥底面圆半径为，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 根据题意得， 解得， 故选：B． 9．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过圆心角定理和圆周角定理可证得，利用平行线的性质得，即可求解； （2）过作于点，先证得是等边三角形，利用求出的长度和的值，通过即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过作于点． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角定理，圆周角定理，平行线的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形面积的计算公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，      设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中， ，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ； 故答案为：． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：过点作于，连接， ， ， 由（1）得， ， ， ， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 12．（2025·江苏苏州·一模）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 13．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，交轴于点，点，交轴的正半轴于点，平分交于点，过点作于点，交轴于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，扇形的面积公式，勾股定理，坐标与图形，等边三角形的判定和性质，切线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）连接，证明，推出，即可证明为的切线； （2）设，根据题意得到，利用勾股定理建立方程求出x的值，利用三角函数求得，再根据阴影部分的面积，利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图所示，连接，设， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴阴影部分的面积 ． 14．（2025·江苏泰州·一模）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 15．（2025·江苏扬州·一模）若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为 ．（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为2，母线长为6， ∴圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 16．（2025·江苏连云港·一模）如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 17．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在四边形中，，， ， 点为四边形内部一点，且满足，则点 E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．将绕点顺时针旋转，得到．首先证明，作和的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点，以长为半径画圆，点是优弧上任意一点，连接和，推出点的运动轨迹是弧，圆心角，利用弧长公式求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到 ， 则是等腰直角三角形， ，， ． ， ， 作和的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点，以长为半径画圆，点是优弧上任意一点，连接和，如图所示： ， ， 点的运动轨迹是弧，圆心角． ，， ， 点在运动过程中所形成的图形的长：． 故答案为：． 18．（2025·江苏宿迁·一模）底面半径为的圆锥，其侧面展开图是半径为的扇形，则这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆锥有关的计算，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行计算即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，则：， ∴， 故答案为：． 切线的性质与判定定理题型3 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若； ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据题意得到，继而得到，即可得到结论； （2）①连接，得到设，则，得到，利用勾股定理求出，得到； ②设的半径为，求出，得到，，求出，得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：①如图，连接， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设，则 ，， ， ， ， 在中， ， 负值舍去 ， ； ②由①知， 设的半径为， ， ， 在中， ， ， ， 由（1）知是的切线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，为线段上两点，且，，，过点作的垂线，与以为直径的交于点，作射线． (1)求证：为的切线； (2)为上一点，弦与直径交于点，当为中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质．解题关键是利用勾股定理及逆定理证明切线，通过证明三角形相似并结合线段关系求解线段长度． （1）连接，先根据已知线段长度求出及圆半径$OE$等相关线段长，再在和中用勾股定理求出、，最后依据勾股定理逆定理证明，从而证得为的切线． （2）连接，利用是中点得出，结合及对顶角相等，证明，根据相似比设未知数表示与，由长度求出未知数，进而求得的长． 【详解】（1）连接， ∵，，， ∴， ∴半径， ， ． ∵， ∴ 在中， ． 在中， ． ∵， ∴，，． ∵， ∴在中，，即． ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：连接， ∵为中点，为直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∴． ∴． 设，则． ∵，即， ． ， 将代入可得： ． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，是的外接圆；是的直径，与交于点，在的延长线上取点，使平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由圆周角定理可得，进而可得，即得，即可求证； （）由已知得，再由得，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 由（）知，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． （1）连接．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，由已知，得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明为的切线； （2）连接．解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 5．（2025·江苏苏州·一模）如图，中，D为上一点，，是的外接三角形，为的直径，连接． (1)求证：为的切线； (2)若的直径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴为的切线； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 6．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，弦于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由是的直径，弦于点，得垂直平分，所以，由切线的性质得，由，，推导出，即可证明DF是⊙O的切线； （）由，，得，则，所以，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点， ∴， ∴垂直平分， ∵过点作的切线，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 【点睛】此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，推导出垂直平分，进而证明是解题的关键． 7．（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，以点O为圆心，为半径的与边相交于点D，将沿翻折，得，与交于点E． (1)证明：； (2)当时， ①证明：为的切线； ②若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，翻折的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据翻折的性质得出，再由等角对等边确定，利用等量代换及平行线的判定即可证明； （2）①根据题意得出，再由折叠的性质确定，利用等量代换及切线的判定即可证明；②根据题意设，则，然后利用勾股定理得出方程确定，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示： ∵沿翻折，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又为的半径， ∴为的切线； ②解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，，是 的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． (1)求证∶是的切线； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为4． 【分析】本题考查了切线的证明，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先通过，得到，结合是的平分线，推出，从而知道，判定，再利用平行线的性质，推出，得证； （2）在，利用，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， 的长为4． 9．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是直径，是弦，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．（2025·江苏苏州·一模）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可求得，则，可证明直线是的切线； （2）若于点，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，、为上的两点，且，延长至点，使，连接． (1)判断与的位置关系；并说明理由； (2)用无刻度的直尺和圆规在上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，弦与圆周角之间的关系，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明是等边三角形，，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论； （2）以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，则点D即为所求． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接并延长交于点； 可证明，则在以A为圆心，半径为的圆上， 则， 可证明，则，则是等边三角形， 由可得，即． 13．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 14．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，点是边上一点，连接，以为直径的交于点，交于点，连接，交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得：，证明，可得是的切线； （2）①连接，根据勾股定理得到，三角函数的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，于是得到； ②根据勾股定理得到，，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：①连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴； ②在中，， 在中，， 连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判断，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 【答案】(1)15 (2)直线与相切，理由见解析 (3)r的最小值为 【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论； （2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用点的轨迹得到的外接圆为以为弦，所对的圆周角为的圆，则当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到的长，则结论可求． 【详解】（1）解：∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由： 过点E作于点H，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴直线与相切； （3）解：的外接圆的半径r的最小值为． 由题意得：， ∴的外接圆为以为弦，弦所对的圆周角为的圆， ∴当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值， ∵点E在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 过点D作于点E，如图， 此时点与点B重合，为的外接圆的直径， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径r的最小值． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键． 16．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析； (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可知，那么，根据等腰三角形三线合一，，结合，得到，从而得到，从而判定直线是的切线； （2）连接，，由（1）可知，，结合，根据三角形中位线，可知，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，那么，结合，得到，推出，从而算出，最后通过算得答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 连接，如图所示： 是直径 ， 直线是的切线； （2）解：连接，，如图所示： 由（1）可知，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 的半径为3， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，中位线，直径所对的圆周角是90度，等腰三角形三线合一，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2025·江苏盐城·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求证； （2）连接，设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，在中，可得，再由为的直径，可得，然后根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， 设的半径为r，则，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即点到的距离为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18．（2025·江苏镇江·一模）如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． (1)在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； (2)在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 【答案】(1)①或②或③ (2)①证明见解析；② 【分析】（1）选择①：证明，则，由圆周角定理得到，而，那么，则，故，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由，得到，由切线的性质得到，则，而，故，那么，即可证明； （2）①证明分析见（1）；②连接，证明 ，则，故，可得，则，再解即可． 【详解】（1）解：选择①：如图， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择②：如图， 证明： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择③：如图， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：①，证明见第一问； ②连接，如图： 由上可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线． 19．（2025·江苏淮安·一模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，若与边交于点，且． (1)求证：是切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线； （2）勾股定理求得，进而可得，设的半径为，解求出，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ， ， 又 ∵是的切线，点是切点， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线， ， 在中，， ， ∴在中，， 在中，， 设的半径为， ， ， ， ， ， ∴的半径为． 20．（2025·江苏南通·一模）如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题为圆的综合题．考查切线的性质，勾股定理、矩形的判定和性质，不规则图形面积求法以及解三角形．作出常用的辅助线是解答本题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，则，构造矩形和 ，根据勾股定理可得，由此列方程即可求出的半径； （2）同（1）作辅助线，利用解三角形求出的半径，再根据，，围成图形的面积求解即可． 【详解】（1）解：设的半径为，连接，过点作，垂足为，则，， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的直径． （2）连接，过点作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，围成图形的面积 正多边形与圆题型4 1．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知正六边形的边长为，则它的面积 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，解直角三角形，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设正六边形的中心是，一边是，如图，过作于， ，，， ，， 在中，， ∴， ∴该正六边形的面积为． 故答案为：． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在边长为的正六边形中，点、分别是对角线、上的两个动点，连接、、，若是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形和圆，分两种情形分别求出等边三角形的边长的最大值和最小值即可判断出结论． 【详解】解：情形1：如图，点在上，点在上，，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， 在和中， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 点在边上时，当时，有最小值， 此时，， ∴， 由勾股定理得，； 当点在点时，有最大值，， ∴， ∴可取到的整数为12和13，此时等边三角形的边长为12或13； 情形2.当点与点重合，点与点重合时， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， 设与交于点， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即等边的边长主24， 综上，等边的边长为12或13或24，不可能为14， 故选：C． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，是半径为2的正八边形的一条对角线，则 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正八边形的中心为O，连接，由正八边形，得到，求得，过D作于H，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设正八边形的中心为O， 连接AE，OD， ∵正八边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 过D作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏徐州·一模）如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（   ） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形外角和、三角形内角和定理，根据任何多边形的外角和都为，可以求出正五边形每个外角的度数为，根据三角形内角和定理求出每个正五边形所对应的圆心角的度数为，从而可求共有个正五边形，所以可知顺次连接，所得图形是正十边形． 【详解】解：如下图所示， 和是正五边形的外角， ， ， ， 顺次连接，所得图形是正十边形． 故选：C． 6．（2025·江苏徐州·一模）如图，小正方形内接与圆中，大正方形四边均和圆相切，图中空白部分与阴影部分的面积比值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的性质等知识，设与相切于M，与相切于N，与相切于H，连接，，，，，设的半径为r，可证明四边形、是矩形，得出，，则，根据勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，设与相切于M，与相切于N，与相切于H，连接，，，，， ∵小正方形内接与圆中，大正方形  四边均和圆相切， ∴，，，， ∴四边形、是矩形， ∴，， 设的半径为r， ∴，，， ∴， ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为， 故选：A． 7．（2025·江苏南京·一模）面积和周长是初中几何数学中讨论的重要内容． (1)小明的想法：若要在锐角三角形里找到一个面积最大的正方形，可以在一条边上先找一个点，然后… ①补全小明的想法，可以画图补充； ②按这样想，面积相等的直角三角形里，面积最大的正方形的面积随着直角三角形高的变化趋势是 ___________． (2)小芳的问题：边长为的等边三角形里，周长最大的正方形的面积是多少？请你回答． (3)小张的问题：在一个边长为5的正方形中，最多可以找出多少个顶点均在边上且面积为10的等边三角形？请你回答： A．有 ___________个 B．无数个 C．没有 (4)一个边长为m的正方形中，圆与正方形各边相切，圆上两个动点之间的距离为m，分别连接两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：___________． 【答案】(1)①见解析；②正方形的面积随高的增大是先变大再变小 (2) (3)C (4) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是理解题意，熟练化为基础知识． （1）①在上取，作于，以为边作正方形，连接并延长交于，作，作于，作于，则四边形是面积最大的正方形； ②在中，设，，设正方形的边长是，根据得出，从而，进一步得出结果； （2）设，则，由得，求得，进而得出结果； （3）设等边三角形的边长是，可得出，求得，进一步得出结果； （4）当时，的面积最大，在中求得，进而得出面积最大值；当时，面积最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果。 【详解】（1）解：①如图1， 在上取，作于，以为边作正方形，连接并延长交于，作，作于，作于，则四边形是面积最大的正方形；理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ②如图2， 在中，设，，设正方形的边长是， ， ， ， ， ， 设(为常数）， ， 当增大时，先变小再变大， 故答案为：正方形的面积随高的增大是先变大再变小； （2）解：如图3， 设，则，， 由得， ， ， ， 答：周长最大的正方形的面积为：； （3）解：选：没有，理由如下： 设等边三角形的边长是， ∴， ∴， ∴， ∴不存在面积为10的等边三角形； （4）解：如图4， 当时，的面积最大， 在中，，， ， ， ， ， 如图5， 当时，面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴两动点和正方形的一个顶点所形成的三角形面积的最大值和最小值的比值：． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 6 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $$