数学（湖南卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11． _________________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ ___________________ 1 6 . ___________________ 1 7 . ___________________ 1 8 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 8 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ．（ 6 分） 20 ． （ 6 分） 21 ． （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 8 分） 2 3 ． （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 9 分） （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 24分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（9分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．计算（5m + 15mn - 20m） （-5m）结果正确的是（   ） A．1 -3mn + 4m B．-1 -3m + 4m C．4m - 3mn -1 D．4m-3mn 5．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（    ） A． B． C． D． 6．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．质量一定时，物体的体积（单位：）是其材料密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．该物体的质量是 B．当时， C．当时， D．函数解析式为 8．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 9．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． A．4 B．6 C．3 D．5 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 12．一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ． 13．某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为 （不必写明自变量x的取值范围）． 14．如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为 ． 15．暑假期间，小红与小明相约到某旅游风景区登山．他们由山底处先步行到达处，再由处系坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．则山的高度为 m．（参考数据：，，） 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ． 18．如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建 米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91） 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适数作为的值代入求值． 21．为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______； (3)若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人； (4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一研学基地的概率． 22．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：；(2)若，求的度数． 23．2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 24．综合与实践 【问题背景】古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究．某校实践小组类比书中的记载，以“正六边形园艺馆的测量”为主题开展实践活动． 【实践过程】 信息采集 如图，该园艺馆的俯视图是正六边形，边长为20米，，分别为园艺馆的北门和南门，馆外南侧有一条东西走向的道路，且（门宽及门与道路间距离忽略不计），馆外东侧有一条南北走向的道路，处为一座以湖南芙蓉龙为造型的园艺作品． 测量绘制 在点处测得园艺作品在北偏东方向上，在点处测得园艺作品在北偏东方向上．绘制出示意图，连接，，过点作于点；连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点． 数据信息 ，，． 【解决问题】 (1)______，______； (2)求点到道路的距离；（结果精确到1米） (3)若小组成员乐乐从处沿道路向西行走去往南门，求她最多走多少米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了（即的长）？（结果精确到1米） (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 25．在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒2cm的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： (1)如图1，当过点时，求时间的值． (2)如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 26．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． (1)若是“倍根方程”，求k的值； (2)一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； (3)已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） 数学·参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C C A C B B A 1． 【答案】B 【详解】A.，，故本选项错误； B.，，，故本选项正确； C.，，，故本选项错误； D.，，，故本选项错误； 故选：B. 2． 【答案】D 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3． 【答案】B 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选B． 4． 【答案】C 【详解】原式=1 3mn 4m，故选C 5． 【答案】C 【详解】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图， ，，四边形ABCD是平行四边形，．故选：C． 6． 【答案】A 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是，故选：A． 7． 【答案】C 【详解】解：根据图象可知物体的质量为：，故A错误； 设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点，∴， ∴反比例函数解析式为，故D错误； 把代入得：， ∴当时，，故B错误； ∵反比例函数解析式为，，∴随的增大而减小， ∴时，，故C正确．故选：C． 8． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，∴，∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积．故选：B． 9． 【答案】B 【详解】解：延长交x轴于点D， 由入射角等于反射角得，又，， ∴，∴， ∵，∴，即，∴，代入中，得，∴， 故选：B． 10． 【答案】A 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 设，，在中，由勾股定理得， ，即，∴，∴， ∴，故选：A． 11． 【答案】13 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：13． 12．【答案】 【详解】解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况， ∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，故答案为：． 13． 【答案】 【详解】根据题意，得，故，故答案为：． 14． 【答案】47° 【详解】解：多边形为正五边形， ，，． ∵是的外角，． ，．故答案为：． 15． 【答案】 【详解】解：根据题意，，，， 如图所示，过点作，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，∴，故答案为： ． 16． 【答案】4 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，即，∴，∴，即，解得，，∴． 故答案为：4． 17． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据作图过程可知平分，是的垂直平分线， ∴，∴，∴，CQ=BC-BQ=2，∵， ∴，∴，∴，∴， 如图，设的垂直平分线交于点，交CQ于点R， ∴，GH⊥CQ，， ∴是等腰直角三角形，且四边形CDHR是矩形，∴， ∴，∴， ∴． 18． 【答案】 【详解】延长FE交AB于M， ∵EF∥BC，∴MN⊥AB，MN⊥DG，∴四边形BMNG是矩形∴BM=GN，BG=MN，设ME=x， ∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，∵AB=36，∴tanα•x+tanβ•x=36，∴tan37°x+tan24°x=36， 0.75x+0.45x=36，解得x=30，∴ME=30（米）；∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC， ∴DN=GN=13.5（米），∵∠DCG=30°，∴∠DEN=30°，∴， ∵，∴∠DFN=60°，∴∠EDF=30°，，∴DF=EF=EN-FN=13.5×， ∴，设施工队原计划平均每天修建y米，根据题意得， ，解得（米），经检验，是方程的根。 19．【答案】 【详解】解：原式，，． 20．【答案】； 【详解】解：原式； ∵，，∴，，，∴，∴原式． 21． 【答案】(1)40 (2)作图见解析， (3)225 (4) 【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：40； （2）解：B中人数：，， 补全条形统计图如图： 故答案为：； （3）解：（人），故答案为：225； （4）解：画树状图如下： 总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种， ∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为． 22． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，在和中，，∴； （2） 解：∵， （3） ∴， ∵在等边中，， ∴． 23． 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 24． 【答案】(1)90， (2)米； (3)她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 【详解】（1）解：∵正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：90，； （2）解：在中，，，， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴点到道路的距离米； （3）解：在中，，， ∴， ∴米， 在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 答：她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 25． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②x的值为或． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过点D， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； （2）解：过P作于点Q， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：①如图，过P作于点E， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， ∴的周长 ， ∵是半径， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， 同理可证， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，故舍去， ，故舍去； 综上，x的值为或． 26． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：， ，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 或； （2）解：由得，， 设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，，     ①，     ②， 得，， ； （3）解：方程的两根为，，其中， 由“倍根方程”可知或， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．计算（5m + 15mn - 20m） （-5m）结果正确的是（   ） A．1 -3mn + 4m B．-1 -3m + 4m C．4m - 3mn -1 D．4m-3mn 5．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（    ） A． B． C． D． 6．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．质量一定时，物体的体积（单位：）是其材料密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．该物体的质量是 B．当时， C．当时， D．函数解析式为 8．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 9．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 12．一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ． 13．某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为 （不必写明自变量x的取值范围）． 14．如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为 ． 15．暑假期间，小红与小明相约到某旅游风景区登山．他们由山底处先步行到达处，再由处系坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．则山的高度为 m．（参考数据：，，） 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ． 18．如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建 米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91） 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适数作为的值代入求值． 21．（8分）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______； (3)若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人； (4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一研学基地的概率． 22．（8分）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：；(2)若，求的度数． 23．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个． (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（9分）综合与实践 【问题背景】古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究．某校实践小组类比书中的记载，以“正六边形园艺馆的测量”为主题开展实践活动． 【实践过程】 信息采集 如图，该园艺馆的俯视图是正六边形，边长为20米，，分别为园艺馆的北门和南门，馆外南侧有一条东西走向的道路，且（门宽及门与道路间距离忽略不计），馆外东侧有一条南北走向的道路，处为一座以湖南芙蓉龙为造型的园艺作品． 测量绘制 在点处测得园艺作品在北偏东方向上，在点处测得园艺作品在北偏东方向上．绘制出示意图，连接，，过点作于点；连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点． 数据信息 ，，． 【解决问题】 (1)______，______； (2)求点到道路的距离；（结果精确到1米） (3)若小组成员乐乐从处沿道路向西行走去往南门，求她最多走多少米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了（即的长）？（结果精确到1米） (3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 25．（10分）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒2cm的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： (1)如图1，当过点时，求时间的值． (2)如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 26．（10分）法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． (1)若是“倍根方程”，求k的值； (2)一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； (3)已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 10 / 11 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（湖南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．1．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】A.，，故本选项错误； B.，，，故本选项正确； C.，，，故本选项错误； D.，，，故本选项错误； 故选：B. 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选B． 4．计算5m 15mn 20m 5m  结果正确的是（   ） A．1 3mn 4m B．1 3m 4m C．4m 3mn 1 D．4m 3mn 【答案】C 【详解】原式=1 3mn 4m，故选C 5．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图， ，，四边形ABCD是平行四边形，．故选：C． 6．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是，故选：A． 7．质量一定时，物体的体积（单位：）是其材料密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．该物体的质量是 B．当时， C．当时， D．函数解析式为 【答案】C 【详解】解：根据图象可知物体的质量为：，故A错误； 设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点，∴， ∴反比例函数解析式为，故D错误； 把代入得：， ∴当时，，故B错误； ∵反比例函数解析式为，，∴随的增大而减小， ∴时，，故C正确．故选：C． 8．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，∴，∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积．故选：B． 9．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交于x轴上一点处，若光线满足的函数关系式为，则b的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：延长交x轴于点D， 由入射角等于反射角得，又，， ∴，∴， ∵，∴，即，∴，代入中，得，∴， 故选：B． 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 设，，在中，由勾股定理得， ，即，∴，∴， ∴，故选：A． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ． 【答案】13 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：13． 12．一个不透明的布袋里装有1个①号球和1个②号球，布袋外放有1个③号球，三个球除编号不同外，其余均相同．先从布袋中随机摸出一个球，不放回，然后将③号球放入布袋中，摇匀，再从布袋中随机摸出一个球，则布袋里最后剩下的球是①号球的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，布袋里最后剩下的球是①号球的只有最后1种情况， ∴布袋里最后剩下的球是①号球的概率是，故答案为：． 13．某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为 （不必写明自变量x的取值范围）． 【答案】 【详解】根据题意，得，故，故答案为：． 14．如图，在正五边形中，连接，交于点，是上一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】47° 【详解】解：多边形为正五边形， ，，． ∵是的外角，． ，．故答案为：． 15．暑假期间，小红与小明相约到某旅游风景区登山．他们由山底处先步行到达处，再由处系坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶处与处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：根据题意，，，， 如图所示，过点作，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，∴，故答案为： ． 16．如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接并延长交的延长线于点，已知，，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，即，∴，∴，即，解得，，∴． 故答案为：4． 17．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据作图过程可知平分，是的垂直平分线， ∴，∴，∴，CQ=BC-BQ=2，∵， ∴，∴，∴，∴， 如图，设的垂直平分线交于点，交CQ于点R， ∴，GH⊥CQ，， ∴是等腰直角三角形，且四边形CDHR是矩形，∴， ∴，∴， ∴． 18．如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建 米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91） 【答案】 【详解】延长FE交AB于M， ∵EF∥BC，∴MN⊥AB，MN⊥DG，∴四边形BMNG是矩形∴BM=GN，BG=MN，设ME=x， ∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，∵AB=36，∴tanα•x+tanβ•x=36，∴tan37°x+tan24°x=36， 0.75x+0.45x=36，解得x=30，∴ME=30（米）；∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC， ∴DN=GN=13.5（米），∵∠DCG=30°，∴∠DEN=30°，∴， ∵，∴∠DFN=60°，∴∠EDF=30°，，∴DF=EF=EN-FN=13.5×， ∴，设施工队原计划平均每天修建y米，根据题意得， ，解得（米），经检验，是方程的根。 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算：． 【答案】 【详解】解：原式，，． 20．（6分）先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【详解】解：原式； ∵，，∴，，，∴，∴原式． 21．（8分）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______； (3)若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人； (4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一研学基地的概率． 【答案】(1)40 (2)作图见解析， (3)225 (4) 【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：40； （2）解：B中人数：，， 补全条形统计图如图： 故答案为：； （3）解：（人），故答案为：225； （4）解：画树状图如下： 总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种， ∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为． 22．（8分）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，在和中，，∴； （2） 解：∵， （3） ∴， ∵在等边中，， ∴． 23．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．   (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 24．（9分）综合与实践 【问题背景】古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”有相关研究．某校实践小组类比书中的记载，以“正六边形园艺馆的测量”为主题开展实践活动． 【实践过程】 信息采集 如图，该园艺馆的俯视图是正六边形，边长为20米，，分别为园艺馆的北门和南门，馆外南侧有一条东西走向的道路，且（门宽及门与道路间距离忽略不计），馆外东侧有一条南北走向的道路，处为一座以湖南芙蓉龙为造型的园艺作品． 测量绘制 在点处测得园艺作品在北偏东方向上，在点处测得园艺作品在北偏东方向上．绘制出示意图，连接，，过点作于点；连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点． 数据信息 ，，． 【解决问题】 (1)______，______； (2)求点到道路的距离；（结果精确到1米） (3)若小组成员乐乐从处沿道路向西行走去往南门，求她最多走多少米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了（即的长）？（结果精确到1米） 【答案】(1)90， (2)米； (3)她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 【详解】（1）解：∵正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：90，； （2）解：在中，，，， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴点到道路的距离米； （3）解：在中，，， ∴， ∴米， 在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 答：她最多走18米，就不能观察到芙蓉龙造型的园艺作品了． 25．（10分）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒2cm的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： (1)如图1，当过点时，求时间的值． (2)如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②x的值为或． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过点D， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； （2）解：过P作于点Q， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：①如图，过P作于点E， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， ∴的周长 ， ∵是半径， ∴， ∴； ②在和中， ， ∴， 同理可证， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，故舍去， ，故舍去； 综上，x的值为或． 26．（10分）法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． (1)若是“倍根方程”，求k的值； (2)一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； (3)已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：， ，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 或； （2）解：由得，， 设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，，     ①，     ②， 得，， ； （3）解：方程的两根为，，其中， 由“倍根方程”可知或， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 10 / 11 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$