精品解析：湖北省武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷 命题学校：湖北省水果湖高级中学 命题教师：罗超 审题教师：刘勇 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出瞬时速度. 【详解】函数，求导得， 所以质点在时瞬时速度为. 故选：C 2. 数列满足（），且，，则（ ） A. B. 9 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质结合通项公式计算求解. 【详解】因为 ，所以等差数列，设公差为， 所以，即得， 所以，所以， 则. 故选：B. 3. 参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（ ）种 A. 20 B. 12 C. 36 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】首先将、捆绑作为一组，与、排列，再将名教师插入中间的个空中，利用排列数公式计算可得. 【详解】首先将、捆绑作为一组，与、排列，则有种排法， 再将名教师插入中间的个空中，则有种排法， 综上可得一共有种排法. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，计算，最后计算即可. 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：A. 5. 已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件，先计算，由计算，最后由即可计算. 【详解】设该家族某位成员出现A性状为事件，出现B性状为事件， 则有， 所以， 又, 所以， 所以， 故选：D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列基本量计算和性质即可求解. 【详解】由可知等比数列的公比不为1， 故， ， 又，所以，故，则， 故选：A 7. 在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】考虑间接法求解, 求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数，利用排列组合数公式计算即得. 【详解】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名 老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数即可. 将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况， 其一：按照“221”分组，有种方法；其二：按照“113”分组，有种方法. 而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种. 故不同的分配方法总数为种. 故选：C. 8. 已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论. 【详解】因为， 所以，即， 所以可设， 即，又， 所以，故， 所以不等式可化为， 故， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则即可求解. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 10. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，即可计算，对于B操作两次后甲袋中有0个红球，即可求，对于C由表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋，即可计算，对于D由条件概率公式即可计算. 【详解】对于A：操作一次后甲袋中有1个红球，则有两种情况，第一种相互交换了1个红球，第二种情况都只是交换了1个白球，所以，故A错误； 对于B：操作两次后甲袋中有0个红球， 则第一种情况：第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个白球，第二次操作甲袋的一个白球换乙袋中的1个白球， 第二种情况，第一次操作甲袋中1个红球换乙袋中的1个红球，第二次操作甲袋的红球换乙袋中的1个白球， 第三种情况：第一次操作甲袋中1个白球换乙袋中的一个白球，第二次操作甲袋中的红球换乙袋中一个白球， 所以，故B正确； 对于C：表示第一次操作甲袋中有0个红球，则，表示操作3次后甲袋有两个红球，所以后面两次操作乙袋中的红球要交换到甲袋， 则，故C正确； 对于D：，表示第一次甲袋1个红球交换乙袋中的1个白球，第二次甲袋中1个白球交换乙袋中1个红球， 则， 所以，故D正确， 故选：BCD. 11. 对于，，…，的全部排列，定义Euler数（其中，，1，…，n）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】按的定义计算，判断，；根据的定义，举反例判断，. 【详解】选项A，将、、、全部排列，恰有1次升高的排列为， 1排首位时，共有1432，共1个排列符合恰有1次升高； 2排首位时，共有2431，2143，共2个排列符合恰有1次升高； 3排首位时，共有3142，3214，3241，3421共4个排列符合恰有1次升高； 4排首位时，共有4132，4213，4231，4312共4个排列符合恰有1次升高； 故，故正确； 选项，将、、、全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑： 1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高； 2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高； 3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高； 4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高； 故，故B错误； 选项C，举例当，，， 当由选项、知，，该对称性普遍成立， 故.故C正确； 选项D，不妨取，则，而，，则，即，故，故D错误； 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得出含项的系数. 【详解】的展开式的通项为，由得，则含的项为，系数为 故答案为： 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，，由全概率公式先求，由即可求解. 【详解】令事件表示第天去餐厅，事件表示第天去餐厅，， 则，， 由全概率公式有， 所以， 故答案为：. 14. 对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，令，则，其中 求得恒成立，得到在递增，转化为，转化为，令，得到在为单调递增函数，得到，得到，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即， 令，则，其中 又由恒成立，则在单调递增， 所以，即，即，所以， 令，可得， 所以在为单调递增函数，所以，即，所以， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）当时，求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 分析】（1）先求导，计算，由切线与直线垂直即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 的定义域为， ， ∴， 由题意知， ∴. 【小问2详解】 当时， ∴， 又，当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若时，求被4整除的余数. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知组合数及排列数计算得出，再求导函数结合赋值法求值； （2）应用二项式计算得出余数. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴. 两边同时求导数 ∴， 令， ∴. 【小问2详解】 时， ， ∴被4整除的余数为3. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，即证明； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，则， ， ∴， ∴ ， ∴. 18. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； （3）当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，得出函数单调性进而得出极值； （2）把的根转化为直线与的图象有两个交点求解； （3）由已知可得，构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证. 小问1详解】 时，的定义域为， ，在单调递增，在单调递减， 极大值，无极小值. 【小问2详解】 有两个不等实根， ∴有两个不等实根，即（）， 设，∴， 在单调递增，单调递减，， 当时，，， ∴. 【小问3详解】 当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 【答案】（1）0 （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导数计算导数值； （2）设，对函数求出导函数，设，利用导数判断单调性； （3）利用分离参数法得到． 设，利用导数判断出在上单调递减，求出最小值，得到的最大值为． 小问1详解】 的定义域为， ， ∴. 【小问2详解】 （）， 设， ∴， 设， ∴， 在单调递增，单调递减，又， ∴，，∴， 在单调递减，又， ∴，，，， ∴，，，， 单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 不等式， 等价于不等式，由， ∴， 设，， ， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴在上单调递减， ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试 高二数学试卷 命题学校：湖北省水果湖高级中学 命题教师：罗超 审题教师：刘勇 考试时间：2025年4月24日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（ ） A 2 B. 2.5 C. 4 D. 4.5 2. 数列满足（），且，，则（ ） A. B. 9 C. D. 7 3. 参加实践活动的2名教师和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端且不相邻，且A、B相邻的方法有（ ）种 A. 20 B. 12 C. 36 D. 24 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为.则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（ ） A B. C. D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A 8 B. 10 C. 9 D. 6 7. 在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 108 8. 已知是函数的导函数，且对任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于，，…，全部排列，定义Euler数（其中，，1，…，n）表示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1处升高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：.则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含项的系数为___________. 13. 某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________. 14. 对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中. （1）若在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）当时，求函数在区间上的最值. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）若时，求被4整除的余数. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 18. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数极值； （2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； （3）当时，若，（其中）满足，求证：. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若不等式对任意都成立（其中是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $