专题06 一元二次方程（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 一元二次方程 题型概览 题型01一元二次方程根的判别式、根与系数关系 题型02一元二次方程的解法 题型03一元二次方程的应用 ( 题型01 )一元二次方程根的判别式、根与系数关系 1．（2025·江苏无锡·一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 3．（2025·江苏南京·一模）若为的两根，则的值为 ． 4．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 5．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 6．（2025·江苏南京·一模）已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 8．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 9．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 11．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 12．（2025·江苏镇江·一模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 13．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 14．（2025·江苏泰州·一模）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则另一个根为 ． 15．（2025·江苏南通·一模）设是方程的两个根，且，则的值为 ． 16．（2025·江苏南京·一模）已知2是方程的一个根，则另一个根为 ， 17．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 18．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可） ． 19．（2025·江苏苏州·一模）二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ． 20．（2025·江苏徐州·一模）若，是方程的两个根，则 ． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 22．（2025·江苏连云港·一模）若无实数根，则m的取值范围是 ． 23．（2025·江苏常州·一模）方程的根是 ． 24．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 25．（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 26．（2025·江苏南京·模拟预测）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 27．（2025·江苏镇江·一模）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 28．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ． ( 题型0 2 )一元二次方程的解法 1．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 2．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 3．（2025·江苏无锡·一模）已知， (1)求的值；(2)求的值． 4．（2025·江苏南京·一模）解方程． 5．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 6．（2025·江苏徐州·一模）解方程：； 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程： 8．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1) (2) 9．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1)； (2)． 10．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 11．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 12．（2025·江苏宿迁·一模）解方程： (1)； (2) 13．（2025·江苏泰州·一模）解方程：． 14．（2025·江苏无锡·一模）解方程：．     ( 题型 3 )一元二次方程的应用 1．（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 3．（2025·江苏南通·一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程 ． 4．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 5．（2025·江苏无锡·一模）央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为，根据题意可得方程为 ． 6．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ． 7．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 8．（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 9．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 10．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 12．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形.若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程 题型概览 题型01一元二次方程根的判别式、根与系数关系 题型02一元二次方程的解法 题型03一元二次方程的应用 ( 题型01 )一元二次方程根的判别式、根与系数关系 1．（2025·江苏无锡·一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·一模）若为的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：因为为的两根， 所以，， 则， 所以， 故答案为：． 4．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程恰有一个根等于，求k的值； (2)求证：不论k取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)k的值为 (2)见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键． （1）把代入方程，从而可得答案； （2）证明即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 解得：， 所以k的值为． （2）证明：因为 ， 又因为， 所以不论k取何值，方程总有实数根． 5．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 6．（2025·江苏南京·一模）已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系为，是解题的关键．根据题意得到，即可求解． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根分别是p，q， ，， 当时，成立，此时，即，不符合题意， ， 又， ∴， ， 故选：A． 7．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 8．（2025·江苏宿迁·一模）抛物线与直线交于两点，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于，则下列结论正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．依据题意，抛物线与直线交于两点，分别为和，且，再根据解得即可． 【详解】解：抛物线与直线交于两点，分别为和，其中一个交点的横坐标大于，另一个交点的横坐标小于， 设， ，， ， ． 是方程的两根 ， ， ． 故选：C． 9．（2025·江苏盐城·一模）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ， 解得：； （2）解：∵， ∴ ． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为，， ， 方程的两根异号． 故选：B． 11．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由得到，代入到关于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】解：， ， 代入到关于的方程得，， 整理得：， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 12．（2025·江苏镇江·一模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 13．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 14．（2025·江苏泰州·一模）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设该方程的另一个根为，由题意可得，求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 由题意可得：， ∴， ∴另一个根为， 故答案为：． 15．（2025·江苏南通·一模）设是方程的两个根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2025·江苏南京·一模）已知2是方程的一个根，则另一个根为 ， 【答案】 3 6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设原方程的另一个根为a，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原方程的另一个根为a， ∵2是方程的一个根， ∴由根与系数的关系可得， ∴， 故答案为：3；6． 17．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根是，， ∴， 故答案为：． 18．（2025·江苏泰州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出符合条件的的值（写出一个即可） ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到c的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 19．（2025·江苏苏州·一模）二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得： ，解得：， ∴方程化为：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 20．（2025·江苏徐州·一模）若，是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 所以． 故答案为：2． 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的根，先将带入方程得到，再根据根于系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，即，， ， 故答案为：． 22．（2025·江苏连云港·一模）若无实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式是解题的关键． 根据一元二次方程无实数根得到，代入即可得出答案． 【详解】方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 23．（2025·江苏常州·一模）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．先将方程化为，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得：． 故答案为：． 24．（2025·江苏宿迁·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可． 【详解】解：※， ，即， 关于x的方程k※有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 25．（2025·江苏南京·模拟预测）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 . 【答案】5 【分析】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如，等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将进行变形，化成和或积的形式，代入即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为m，n， 由根与系数的关系得：，， ． 故答案为：5． 26．（2025·江苏南京·模拟预测）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可．掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根与系数的关系得， ，， ， 故答案为：． 27．（2025·江苏镇江·一模）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 28．（2025·江苏南通·一模）若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，由题意得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：实数，且、满足，， 与为方程的两根， ，， ， 故答案为：． ( 题型0 2 )一元二次方程的解法 1．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 【答案】(1)； 【分析】本题综合考查了一元二次方程与分式方程的解法．解题的关键点在于：一元二次方程通过通过判别式判断根的情况并运用公式求解；分式方程需通过去分母转化为整式方程，同时必须检验解是否使原分式有意义．直接通过判别式判断根的情况并运用公式求解即可； 【详解】解：， 二次项系数，一次项系数，常数项， 判别式， ，方程有两个不等实根，由求根公式得： 即； 2．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 【答案】，； 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解一元一次不等式组． 利用配方法解方程即可； 【详解】解： ， ， ， ， ∴， ∴，； 3．（2025·江苏无锡·一模）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意得，然后对原式进行化简，进而根据整体思想代入进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 4．（2025·江苏南京·一模）解方程． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：原方程可变形为． ∵是1的平方根， ∴． 解得，． 5．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 【答案】； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解方程即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 6．（2025·江苏徐州·一模）解方程：； 【答案】； 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解方程即可； 【详解】解：原方程可化为， ， 解这个方程，得， ； 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 8．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，能根据方程特点灵活选用恰当的求解方法是解题的关键． （1）根据因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 9．（2025·江苏常州·一模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 10．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 【答案】(1) 【分析】本题考查解一元二次方程：利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴， ∴； 11．（2025·江苏无锡·一模）解方程：； 【答案】(1)， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：，， ，； 12．（2025·江苏宿迁·一模）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解：， ， 或， ，． 13．（2025·江苏泰州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 14．（2025·江苏无锡·一模）解方程：．     【答案】，； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．用公式法解一元二次方程即可； 【详解】解： ， ，，， ∴， ∴， ∴，； ( 题型 3 )一元二次方程的应用 1．（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设每月的平均增长率为，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程． 【详解】解：设每月的平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 2．（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解． 【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且 依题意得：， 由图1得：， ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴， ∴， 解得：，， 当时，，， 当时，，不合题意舍去， 综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8， 故选C． 3．（2025·江苏南通·一模）近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 4．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 【答案】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 5．（2025·江苏无锡·一模）央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为，根据题意可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用大年初三接待游客人次数大年初一接待游客人次数年均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 6．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意得关于a的方程为，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即a的值为1， 故答案为1． 7．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 【答案】21L 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 8．（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）令（1）中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 则． 解得 ． （2）解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 9．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)衬衫的单价应下降25元 (2)单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可； （2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得： ， 解得：， 经检验都符合题意． ∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利， ∴x应取25元． 答：衬衫的单价应下降25元． （2）设每天利润为w元， 由题意，得： ， ， 当时，盈利最多为1250元， 所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 11．（2025·江苏南京·模拟预测）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题） 【答案】该商店应将每件该商品降价20元 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确理解题意是解题的关键．设该商店应将每件该商品降价x元，根据要使每周总利润为6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商店应将每件该商品降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该商店应将每件该商品降价20元． 12．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形.若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽. 【答案】矩形的长为，宽为 【分析】此题考查一元二次方程的应用，设一边增加，根据矩形的面积列一元二次方程解答问题即可． 【详解】解：设一边增加， 则：， （舍） ， ， ，， 所以，矩形的长为，宽为． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$