专题09 一次函数（江苏专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编
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内容正文：
专题09 一次函数
题型概览
题型01一次函数的图象和性质
题型02一次函数的实际应用
题型03 一次函数的综合题
(
题型01
)一次函数的图象和性质
1．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例图象上点的坐标特征，熟知正比例的图象和性质是解题的关键．根据正比例的图象和性质即可解决问题．
【详解】解：，
随的增大而增大，
又点在正比例函数的图象上，且
．
故选：B
2．（2025·江苏无锡·一模）已知点在正比例函数的图像上，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，把点P坐标代入正比例函数解析式中计算求解即可．
【详解】解；∵点在正比例函数的图像上，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（ ）
A．或 B．4或12 C．2或 D．或14
【答案】C
【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为8求出的值．把代入后表示出，再根据最大值求出，最后把代入即可．
【详解】解：把代入得：，
，
，
当时，有最大值为，
的最大值为8，
，
解得，
直线解析式为或，
把代入得，，
把代入得，
故选：C．
4．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∵,
∴当时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
5．（2025·江苏苏州·一模）若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据一次函数的增减性，得到的符号，进行求解即可．
【详解】解：∵，为一次函数图像上两点，且，
∴随着的增大而减小，
∴，
∴；
故选D．
6．（2025·江苏苏州·一模）已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图像上，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，异号，
∴
故选：D．
7．（2025·江苏镇江·一模）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出
【详解】解：，
随x的增大而减小，
又点，都在一次函数的图象上，且，
．
故选：C．
8．（2025·江苏无锡·一模）请写一个函数表达式，使其图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小： ．
【答案】答案不唯一，
【分析】设函数为一次函数且为，根据函数值随自变量的增大而减小，得到，由此选择解答即可．
本题考查了答案不唯一型考题，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：由图象经过点，设函数为一次函数且为，
根据函数值随自变量的增大而减小，得到，
故．
故答案为：．
9．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解．
【详解】解：当，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可求，
...
∴以此类推，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2025·江苏无锡·一模）请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键．
【详解】解：∵一个函数表达式，使其图象经过点，且函数y随x增大而减小，
∴设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：，
故，
故函数表达式是：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题．
【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点，
，
整理得，
当时，不等式恒成立，
整理得，
当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾，
当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ，
，即，有，
即，解得，
综上，
，，
即，解得，
故选：B．
12．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，
关于、的二元一次方程组的解是．
故答案为： ．
(
题型0
2
)一次函数的实际应用
1．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
则点的坐标为，则抛物线的表达式为，
∵，，
∴，
将代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时，
∴旋转前与水平方向夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∴，
故答案为：A．
2．（2025·江苏南通·一模）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为 ．
【答案】300
【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，设的函数解析式分别为，利用待定系数法求出的函数解析式，再结合款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：由图知，过点，
设的函数解析式分别为，
又过点，过点，
，
解得，
的函数解析式分别为，
款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，
，
解得，
故答案为：300．
3．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务．
制定购买方案
问题背景
背景1
◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元．
◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售．
背景2
学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人．
信息整理
设奖励一等奖学生人，列表如下：
一等奖人数范围
钢笔支数
钢笔单价
笔记本本数
笔记本单价
__________
__________
探究任务1
建立数学模型
设购买总额元，求关于的函数表达式．
探究任务2
拟定购买方案
制定购买奖品金额最少的购买方案．
【答案】信息整理：，8；探究任务1：当时，；当时，；探究任务2：当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
信息整理：根据问题背景，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售，即可得出钢笔单价；
探究任务1：当， 时，根据总额等于钢笔与笔记本的购买金额，分别列出函数关系式；
探究任务2：根据一次函数的性质，得出的最小值为700元，即可求解．
【详解】信息整理：
当时，钢笔单价为：，
当时，钢笔单价为：8
探究任务：
①当时，
当时，，当时，，
当时，．
②当时，
，
，
当时，的最小值为700元，
当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．
4．（2025·江苏南通·一模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示．
(1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ；
(2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由．
(3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】
【答案】(1)450
(2)能，理由见见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键．
（1）设与之间的函数表达式为，把 时 ， 时，代入可得出关于、的二元一次方程组，求出解析式，再根据当电量灯变为红色时，即时求出即可．；
（2）先计算出电池剩余电量为，即汽车的剩余电量为，把代入（1）中所求解析式，求出的值，加上还要行驶的路程，然后与满电状态可以行驶的总路程比较即可得答案．
（3）根据行程需要的电量求出需要停车充电电量，再根据快速充电功率计算充电的时长即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且）．
将 时 ， 时，分别代入，
得，
解得，
∴与之间的函数表达式为．
当时，，解得：，
故答案为450
（2）解：∵电池剩余电量为，相当于电量 ，
∴，
解得：．
∵，
∴徐师傅能到达景区并且汽车电池剩余的电量大于．
（3）当时，，
即：徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为，
故充电电量为，
充电时间为：，
答：在充电站充电的时长为．
5．（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
【答案】(1)
(2)70或80元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令（1）中，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设，代入，，
则．
解得
．
（2）解：．
解得，，
答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元．
6．（2025·江苏无锡·一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元／套）
25
________
________
零售价（元／套）
30
25
35
(1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价；
(2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少干130夽时，求的最大值．
【答案】(1)乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元
(2)当时的值最大，
【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
（1）分别设乙，丙每套的批发价为未知数，列二元一次方程组并求解即可；
（2）求出第一次的销售额及第二次乙，丙每套的批发价，设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，根据题意写出和的数量关系式并用含的代数式把表示出来，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可．
【详解】（1）解：乙每套的批发价为元，丙每套的批发价为元．
根据题意，得，
解得，
∴乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元．
（2）解：第一次的销售额为（元），
第二次乙每套的批发价为（元），
第二次丙每套的批发价为（元 ），
设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，
根据题意，得，
经整理，得，
∴，
∴，
∵，
∴随的减小而增大，
∵为非负整数，
∴且为 6 的整数倍，
∴当时的值最大，．
7．（2025·江苏无锡·一模） “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，两类图书，已知购进3本A类图书和4本类图书共需192元；购进6本A类图书和2本类图书共需240元．
(1)A，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用4800元来购进这两类图书，进货时，A类图书的购进数量不少于80本．已知A类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，求最大利润为多少元？
【答案】(1)A，B类图书每本的进价分别为32元、24元
(2)最大利润为1040元
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设A，B类图书每本的进价分别为x元、y元，然后根据题意可得方程组，进而求解即可；
（2）设购进A类图书m本，利润为w元，由题意可得，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设A，B类图书每本的进价分别为x元、y元，由题意得：
，
解得：；
答：A，B类图书每本的进价分别为32元、24元．
（2）解：设购进A类图书m本，利润为w元，由题意得：
；
∵，，
∴当时，w有最大值，最大值为；
答：最大利润为1040元．
8．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．
(1)补全y1与x之间的函数图像：
(2)若慢车的速度为．
①点P的坐标为 ；
②快车到达A地前，两车何时相距？
(3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②当或或或时
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
（1）根据快车到达B地后立即按原路原速返回，可得快车返回A地时，，即可补全与x之间的函数图象；
（2）①求出快车速度为，可知两车出发后相遇，此时相遇处距A地，故P的坐标为；
②当时，，当时，，分别解方程可得答案；
（3）分别求出慢车的速度进行比较即可．
【详解】（1）解：∵快车到达B地后立即按原路原速返回，
∴快车返回A地时，；
补全与x之间的函数图象如下：
（2）解：①快车速度为，
∵，
∴两车出发后相遇，相遇处距A地，
∴P的坐标为；
故答案为：；
②根据题意得，
当时，，
∵两车相距，
∴，
解得或；
当时， ，
∵两车相距，
∴，
解得或；
综上所述，当或或或时，两车相距；
（3）解：∵，，
∴；
故答案为：．
9．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据：
游泳次数x
1
2
3
4
5
…
总花费y/元
230
260
290
320
350
…
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？
【答案】(1)
(2)20
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将代入与之间的函数表达式，求出对应的值即可．
【详解】（1）解：根据题意，设y与x之间的函数表达式为．
由，，得．
由，，得．
解方程组，得．
所以．
（2）解：当时，．
解这个方程，得．
所以当总花费为800元时，圆圆游泳的次数是20．
10．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台．
(1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？
(2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是50万元，普通服务器每台的进价各是30万元
(2)购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元
【分析】此题考查不等式、一次函数的应用和分式方程的应用．
（1）设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元，根据“花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解；
（2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过4200万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元．
根据题意列方程得：，解得：，
经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：；
答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元；
（2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台．
可列出不等式：，解得：，
高性能服务器每台利润为：（万元），
普通服务器每台利润为：（万元），
设总利润为万元，则，化简得：，
因为，所以随的增大而增大，又因为，所以当时，有最大值，
（万元），此时购进普通服务器：（台）．
答：购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元．
11．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒．
销售单价x（元/盒）
15
13
日销售量y（盒）
500
700
(1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元．
【答案】(1)
(2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解；
（2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得：
，
解得：，
∵销售单价不低于成本价且不高于20元，
∴，
∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
∵顾客获得最大实惠，
∴，
∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元．
12．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河；
(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围；
(3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象．
【答案】(1)100，10
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．
（1）根据甲车用时行驶了即可得甲车改变速度前的速度；利用时间路程速度即可得乙车行驶到达绥芬河所需时间；
（2）先求出甲车行驶到达绥芬河所需时间为，再利用待定系数法求解即可得；
（3）分别求出当、和时，与之间的函数关系式，再画出函数图象即可得．
【详解】（1）解：甲车改变速度前的速度是，
乙车行驶到达绥芬河所需时间为，
故答案为：100，10．
（2）解：由题意得：甲车行驶到达绥芬河所需时间为，
设甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为，
将点和代入得：，
解得，
所以甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为．
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
综上，．
则画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象如图②所示：
13．（2025·江苏无锡·一模）某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示：
种纪念品（件）
种纪念品（件）
合计金额（元）
第一次
第二次
（备注：，两种纪念品的进价保持不变）
(1)求、两种纪念品的进价；
(2)销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值．
【答案】(1)元/件，元/件
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式与一次函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，根据“两次购进纪念品的情况”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，根据“进货资金不超过元”，列出一元一次不等式，解出的取值范围，设获得的利润为元，列出关于的一次函数，根据一次函数的性质确定出的值，进而可得到答案．
【详解】（1）解：设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，
由题意，得，
解得，
答：种的进价为元/件，种的进价为元/件；
（2）解：设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，
由题意，得，
解得：，
设获得的利润为元，
，
，
，
随的增大而减小，
时，的值最大，最大值为
由题意，得，
解得，
的值为．
14．（2025·江苏南通·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？
(3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？
【答案】(1)
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元
(3)纪念品的销售单价x的范围是
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键．
（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）用图象法即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：∵利润不低于2250元，
且，w随x增大而增大，
由得或，
∴．
15．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨）
5月份
6月份
甲货物
50
70
乙货物
30
40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【答案】(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨
(2)该物流公司7月份最多将收到19800元运输费
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，根据甲货物的数量不大于乙货物的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该物流公司7月份将收到元运输费，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得：，
解得：，
答：在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲种货物100吨，乙种货物150吨；
（2）解：设该物流公司在7月份运输甲种货物吨，则运输乙种货物为吨，
依题意得：，
解得：，
设该物流公司7月份将收到元运输费，
依题意得：，
，
随着的增大而增大，
当，有最大值，
答：该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
16．（2025·江苏无锡·一模）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值．
【详解】解：如图，取点关于轴的对称点．
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点、点为的三等分点，
∴，，
∵点关于轴的对称点，
∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点，
设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，
将代入，
得，∴，
∴，
当反射光线经过时，得，
解得；
当反射光线经过时，得，
解得，
∴，
故答案为：．
(
题型
3
)一次函数的综合题
1．（2025·江苏常州·一模）如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，．
(1)在点，，中，是线段的“优关联点”的是________；
(2)如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据所对的弧为优弧可得，进而结合图形可得结果；
（2）以为直径作，求出直线与相切时b的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∵是线段的“优关联点”，
故答案为：；
（2）解：如图，以为直径作，
当直线与相切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E，
则直线，
∵当时，；当时，，
∴直线与x轴所成的锐角是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴此时直线与y轴交于，
∴．
2．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点．
(1)求的值；
(2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题可知，，，得对称轴为直线则．设，其中．求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，从而，可求出的值为定值．
（3）当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线，则方程只有一个实数根，可求出，将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，此时，，过点H作轴，可得，证明四边形为平行四边形得，得出点的坐标为即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：将点代入，
解得．
（2）解：由题可知，，，得对称轴为直线．
．
设，其中．
设直线的解析式为，
则
解得
直线的解析式为．
当时，．
点．
同理可得直线的解析式为．
当时，．
点．
，．
．
的值为定值．
（3）∵，两点间的距离的最小值大于2，
直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2，
如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线，
则方程只有一个实数根，
，
，
记直线与抛物线的交点为H，与轴的交点为点，则，
将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，
此时，．
过点H作轴，交直线于点F，则，
，
是等腰直角三角形，
，
直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形，
，
点的坐标为，
的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
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专题09 一次函数
题型概览
题型01一次函数的图象和性质
题型02一次函数的实际应用
题型03 一次函数的综合题
(
题型01
)一次函数的图象和性质
1．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏无锡·一模）已知点在正比例函数的图像上，则 ．
3．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（ ）
A．或 B．4或12 C．2或 D．或14
4．（2025·江苏南京·一模）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ．
5．（2025·江苏苏州·一模）若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏苏州·一模）已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江苏镇江·一模）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·江苏无锡·一模）请写一个函数表达式，使其图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小： ．
9．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ．
10．（2025·江苏无锡·一模）请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ．
11．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ．
(
题型0
2
)一次函数的实际应用
1．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（ ）
A． B． C．9 D．10
2．（2025·江苏南通·一模）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为 ．
3．（2025·江苏连云港·一模）请根据以下素材，完成表格中信息整理和两个探究任务．
制定购买方案
问题背景
背景1
◆在征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知钢笔每支元，笔记本每本元．
◆经与商家协商，购买钢笔超过支时，每增加一支，单价降低元；超过支，均按购买支的单价销售．笔记本一律按原价销售．
背景2
学校计划奖励一、二等奖学生共计人，其中一等奖的人数不少于人，且不超过人．
信息整理
设奖励一等奖学生人，列表如下：
一等奖人数范围
钢笔支数
钢笔单价
笔记本本数
笔记本单价
__________
__________
探究任务1
建立数学模型
设购买总额元，求关于的函数表达式．
探究任务2
拟定购买方案
制定购买奖品金额最少的购买方案．
4．（2025·江苏南通·一模）五一假期，徐师傅一家驾驶一辆新能源汽车自驾游．该汽车在满电状态下电池能量为，当汽车电池剩余的电量时，电量灯变为红色，提示汽车需要充电．徐师傅在满电状态下出发，汽车的剩余电量y（%）与行驶路程x（）之间的关系如图所示．
(1)当电量灯变为红色时，汽车行驶路程为 ；
(2)若行驶一段时间后，徐师傅发现电量还有，离景区有，徐师傅能到达景区吗？请说明理由．
(3)已知汽车快速充电功率为．徐师傅驾驶满电汽车前往距离的景区，在行驶了后，发现路边有一快速充电站，停车充电一段时间后继续行驶，当到达景区时电量灯恰好变为红色，求在充电站充电的时长．【充电量（kwh）=充电功率（kw）×充电时间（h）】
5．（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
(1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
6．（2025·江苏无锡·一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元／套）
25
________
________
零售价（元／套）
30
25
35
(1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价；
(2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少干130夽时，求的最大值．
7．（2025·江苏无锡·一模） “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，两类图书，已知购进3本A类图书和4本类图书共需192元；购进6本A类图书和2本类图书共需240元．
(1)A，两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划恰好用4800元来购进这两类图书，进货时，A类图书的购进数量不少于80本．已知A类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，求最大利润为多少元？
8．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．
(1)补全y1与x之间的函数图像：
(2)若慢车的速度为．
①点P的坐标为 ；
②快车到达A地前，两车何时相距？
(3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ．
9．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据：
游泳次数x
1
2
3
4
5
…
总花费y/元
230
260
290
320
350
…
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？
10．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台．
(1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？
(2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
11．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒．
销售单价x（元/盒）
15
13
日销售量y（盒）
500
700
(1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元．
12．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河；
(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围；
(3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象．
13．（2025·江苏无锡·一模）某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示：
种纪念品（件）
种纪念品（件）
合计金额（元）
第一次
第二次
（备注：，两种纪念品的进价保持不变）
(1)求、两种纪念品的进价；
(2)销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值．
14．（2025·江苏南通·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？
(3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？
15．（2025·江苏无锡·模拟预测）某物流公司承接甲、乙两种货物运输业务．已知该物流公司5月份共收取运输费9500元，6月份共收取运输费13000元，且这两个月分别承接的甲种货物数量相同，乙种货物数量也相同．该物流公司5月份和6月份甲、乙两种货物的运费单价如下表所示：
月份运费单价（元/吨）
5月份
6月份
甲货物
50
70
乙货物
30
40
(1)在5月份和6月份，该物流公司每月运输甲、乙两种货物各多少吨？
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且甲货物的数量不大于乙货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
16．（2025·江苏无锡·一模）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ．
(
题型
3
)一次函数的综合题
1．（2025·江苏常州·一模）如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，．
(1)在点，，中，是线段的“优关联点”的是________；
(2)如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围．
2．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点．
(1)求的值；
(2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围．
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