精品解析：福建省泉州市永春第一中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市永春一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 5. 已知是正比例函数，则m的值是(　　) A. 8 B. 4 C. ±3 D. 3 6. 如图，函数和图象交于点P，则根据图象可知二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 7. 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程=3+有增根，则m的值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点是一次函数图像上一点，过点作轴的垂线是上一点（在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点，若的面积为6，则的面积是 （ ） A. B. 4 C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 12. 化简：_____． 13. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 14. 如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 15. 若A、B两点关于轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为（a,b）,则=________________． 16. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： ． 18 解方程 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 21. 学校为落实“新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个足球的进价比排球多10元，用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同． （1）每个足球和排球的进价分别是多少？ （2）学校准备购进足球和排球共100个，其中排球数量不超过足球数量的3倍，请你设计一种购买方案，最低费用为多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 23. 小明和小红同时从学校出发骑自行车到公园后返回，他们与学校的距离y（千米）和离开学校的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答： （1）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为15分钟，求该地与学校的距离； （2）若小红出发35分钟后两人相遇，求小红从公园回到学校所用的时间． 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． （1）求点C的坐标． （2）如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． （3）若（2）中点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 25. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是，直接写出k的值和的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点与点P、B不重合，连接AQ、BQ，比较与的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州市永春一中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点坐标的符号特征，熟记各象限内点的坐标的符号特征是解答的关键．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第四象限即可解答． 【详解】解：，， 点所在的象限是第四象限， 故选：D． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 4. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得， =， 可见新分式是原分式的． 故选C． 5. 已知是正比例函数，则m的值是(　　) A. 8 B. 4 C. ±3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可． 【详解】∵y＝(m+3)xm2﹣8是正比例函数， ∴m2﹣8＝1且m+3≠0， 解得m＝3． 故选D． 【点睛】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 6. 如图，函数和图象交于点P，则根据图象可知二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象交点的坐标为，转化为方程组的解即可. 本题考查了一次函数交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握直线交点坐标即为解析式构成方程组的解是解题的关键. 【详解】∵函数和的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故选B 7. 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 根据平行四边形的性质可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故选：B． 8. 若关于x的分式方程=3+有增根，则m的值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-4=0，所以增根是x=4，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．． 【详解】解：方程两边都乘（x-4），得：2=3（x-4）-m ∵当最简公分母x-4=0时，方程有增根， ∴把x-4=0代入整式方程， ∴m=-2． 故选：A． 【点睛】增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可． 【详解】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一、二、三象限，反比例函数图象位于二、四象限， 当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 如图，已知点是一次函数图像上一点，过点作轴的垂线是上一点（在上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点，若的面积为6，则的面积是 （ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，根据直角三角形的性质得到BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，再根据B、C在双曲线上列出方程组并求解，最后根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E， ∵AB⊥x轴， ∴CD⊥AB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a， 设则 由①得：ax=6，由②得：2k=4ax+x2，由③得：2k=2a（a+x）+x（a+x），2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2，2a2=ax=6，a2=3， ∴S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】x≠3． 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故答案为x≠3． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 12. 化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．根据分式的加减法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 13. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个， 所以0.000000007=7×10-9． 故答案为：7×10-9． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求出AD，OA和OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD， ∵BC=9，BD=14，AC=8， ∴AD=9，OA=4，OD=7， ∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解题的关键． 15. 若A、B两点关于轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线上，设点A的坐标为（a,b）,则=________________． 【答案】16 【解析】 【详解】试题解析：∵点A的坐标为（a，b），A、B两点关于y轴对称， ∴B（-a，b）， ∵点A在双曲线y=-上，点B在直线y=x+3上， ∴b=-，-a+3=b，即ab=-，a+b=3， ∴原式==16. 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点、分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是______． 【答案】10−10. 【解析】 【分析】由条件可先证得△CBD是等边三角形，过点C作CE⊥BD于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时CO最短，可求得OE和CE的长，进而得出OC的最小值. 【详解】如图所示：过点C作CE⊥BD于点E， ∵是等边三角形， ∴AB=BD=AD=20，∠BAD=60°， ∵平行四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，∠BAD=∠BCD=60°， ∴CD=BC=BD=20， ∴△CBD是等边三角形，∠CBD=60°， ∵CE⊥BD，△CBD是等边三角形， ∴E为BD中点， ∵∠DOB=90°，E为BD中点， ∴， 当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短， 故CO的最小值为：CO=CE−EO= CB·sin∠CBE-10=CB·sin60°-10=10−10， 故答案为：10−10. 【点睛】此题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用以及直角三角形的性质，判断出当点C，O，E在一条直线上，OC最短是解题的关键. 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】针对二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【详解】解：原式=. 18. 解方程 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得：， 解得 检验：当时， ， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解的方法是解题的关键．先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证，得，则，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：四边形平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 学校为落实“新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个足球的进价比排球多10元，用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同． （1）每个足球和排球的进价分别是多少？ （2）学校准备购进足球和排球共100个，其中排球数量不超过足球数量的3倍，请你设计一种购买方案，最低费用为多少元？ 【答案】（1）每个足球的价格为90元，每个排球的价格为80元 （2）购买足球25个，购买排球75个，最低费用为8250元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键综合运用相关知识解决问题． （1）设每个排球的价格为元，则每个足球的价格为元．由题意：用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每个排球的价格为元，则每个足球的价格为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每个足球的价格为90元，每个排球的价格为80元； 【小问2详解】 解：设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个， 则， 解得：， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 答：购买足球25个，购买排球75个，购买费用最低，最低费用为8250元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标． 【小问1详解】 解：，、，四边形是平行四边形， ， ， 把点代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设点， ，， ，， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键． 23. 小明和小红同时从学校出发骑自行车到公园后返回，他们与学校的距离y（千米）和离开学校的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答： （1）如果小明两次经过途中某一地点时间间隔为15分钟，求该地与学校的距离； （2）若小红出发35分钟后两人相遇，求小红从公园回到学校所用的时间． 【答案】（1）3.6千米 （2）18分钟 【解析】 【分析】（1）分、、三段，利用待定系数法求出关于的函数关系式，设该地与学校的距离为，则第一次经过该地时的时间为，第二次经过该地的时间为，根据两次时间间隔为15分钟，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出两人相遇时，小红骑行的路程，根据“速度路程时间”求出小红的速度，再根据“时间速度”求出小红到达公园的时间，进而可求出小红从公园回到学校所用的时间． 【小问1详解】 解：设小明出发后，与之间的函数关系式为， 当时，将、代入中， ，解得：， ， 当时，， 当时，将、代入中， ，解得：， ， 设该地与学校的距离为，则第一次经过该地时的时间为，第二次经过该地的时间为， 根据题意得：， 解得：． 答：如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为15分钟，则该地与学校的距离为3.6千米． 【小问2详解】 解：当时，， 小红从学校去公园的速度为， 小红到达公园的时间为（分钟）， 小红从公园回到学校所用的时间为（分钟）． 答：若小红出发35分钟后两人相遇，则小红从公园回到学校所用的时间为18分钟． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，从函数的图象获取信息等，解题关键是结合图象，找准等量关系，列出关于一元一次方程． 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． （1）求点C的坐标． （2）如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． （3）若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 【答案】（1） （2）存在，最大值 （3）图见解析，8或6或2 【解析】 【分析】（1）联立与即可求得点的坐标； （2）由三角形的三边关系可知当点、、在一条直线上时，的值最大，据此求解即可； （3）根据全等三角形对应顶点的位置分情况进行讨论，画出图形，即可得到的值． 【小问1详解】 解：联立与， 得，解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图， 由三角形的三边关系可知，， 当点、、在一条直线上时，的值最大为的长， ，令，则， 点的坐标， 点为轴上的中点， 点的坐标为， ， ， 直线上存在点，使的值最大，这个最大值为． 【小问3详解】 解：，令，则， 点的坐标， ，， ，， 分三种情况讨论： ①当，如图： ，， 轴， ， ， ， ； ②当，如图： ， ，即经过点， 点，重合， ； ③当，如图， ，， ， 轴， 点，重合， ， ； 综上所述，当取8或6或2时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，三角形的三边关系，勾股定理求最短路径，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质以及全等三角形的性质． 25. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是，直接写出k的值和的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点与点P、B不重合，连接AQ、BQ，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），面积是15 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】由P点坐标可直接求得k的值，过P、B两点，构造矩形，利用面积的和差可求得的面积，利用对称，则可求得的面积； 可设出P点坐标，表示出直线PA、PB的解析式，则可表示出M、N的坐标，作轴于点G，可求得，即G为MN的中点，则可证得结论； 连接QA交x轴于点，连接QB并延长交x轴于点，利用的结论可求得，结合可得到，利用外角的性质及对顶角进一步可求得 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 点横坐标为4， ， 连接OP，过P作x轴的平行线，交y轴于点，过B作y轴的平行线，交x轴于点，两线交于点D，如图1， 则， ，，，， ，， ， 、B关于原点对称， ， ， ； 【小问2详解】 点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方， 可设点P坐标为，且可知， 设直线PA解析式为， 把A、P坐标代入可得，解得， 直线PA解析式为，令可求得， ， 同理可求得直线PB解析式为，令可求得， ， 作轴于点G，如图2，则， ，， ，即G为MN中点， 垂直平分MN， ，即是等腰三角形； 【小问3详解】 ，理由如下： 连接QA交x轴于，连接QB并延长交x轴于点，如图3， 由可得，即， ， 由知， ， ， 又， 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、垂直平分线的判定和性质、等于腰三角形的判定和性质等知识．在中求三角形面积时注意矩形的构造，在中设出P点坐标求得是解题的关键，在中注意中结论的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$