第21章 一元二次方程 素养检测卷-九年级上册数学单元大小卷

第二十一章 素养检测卷 考查内容：一元二次方程（时间：90 min ，满分：120 分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3分） 1.一元二次方程𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 的一次项系数是( ) A.−2 B.2 C.−3 D.3 【解析】∵ 方程𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0的一次项为−2𝑥，∴ 一次项系数为−2 .故选 A. 2.若关于𝑥的一元二次方程(𝑎 + 2)𝑥2 + 𝑥 + 𝑎2 − 4 = 0 的一个根是𝑥 = 0，则𝑎 的值为( ) A.2 B.−2 C.2 或−2 D.1 2 【解析】∵ 关于𝑥的一元二次方程(𝑎 + 2)𝑥2 + 𝑥 + 𝑎2 − 4 = 0的一个根是𝑥 = 0 ， ∴ 𝑎2 − 4 = 0且𝑎 + 2 ≠ 0，解得𝑎 = 2 ，故选 A. 3.若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 2𝑥 − 2 = 0中𝑎 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( ) A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【解析】由数轴得𝑎 > 0，∴ Δ = 22 − 4𝑎 × (−2) = 4 + 8𝑎 > 0，∴ 此方程有两个不相等的实 数根，故选 C. 4.若𝑥1 + 𝑥2 = 3，𝑥1𝑥2 = 2，则下列方程中，以𝑥1，𝑥2 为根 的是( ) A.𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0 B.𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 C.𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 D.𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 【解析】∵ 𝑥1𝑥2 = 2，𝑥1 + 𝑥2 = 3，∴ 方程𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0以𝑥1，𝑥2 为根.故选 D. 5.小李解方程𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 的步骤如图所示，则下列说法 正确的是( ) 解方程：𝑥2−3𝑥+2=0 . 解：𝑥2−2𝑥−𝑥+2=0 ,① 𝑥2−2𝑥=𝑥−2 ,② 𝑥(𝑥−2)=𝑥−2 ,③ 𝑥=1 .④ A.小李解方程的过程正确 11/115 B.𝑥 = 2 也是该方程的一个解 C.小李解方程的方法是配方法 D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误 【解析】𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0，𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥 + 2 = 0，𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 − 2 ， 𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥 − 2，𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 2) = 0，(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0，∴ 𝑥 − 2 = 0 或 𝑥 − 1 = 0，∴ 𝑥 = 2或𝑥 = 1.故小李解方程的过程错误，𝑥 = 2 也是该方程的一个解， 小李解方程的方法不是配方法，小李解方程的过程从第③步到第④步时出现错误.故选 B. 6.如图，某小区规划在一个长16 m、宽9 m 的长方形土地𝐴𝐵𝐶𝐷上修建三条同样宽的通道，使 其中两条与𝐴𝐵平行，另一条与𝐴𝐷 平行，其余部分种花草，要使花草的面积为120 m2 ，那么 通道宽应设计成多少米？设通道宽为𝑥 m，则下列方程：①(16 − 2𝑥)(9 − 𝑥) = 120 ；②16 × 9 − 9 × 2𝑥 − (16 − 2𝑥)𝑥 = 120；③16 × 9 − 9 × 2𝑥 − 16𝑥 + 𝑥2 = 120 ，其中正确的是（ ) A.① B.② C.①② D.①②③ 【解析】∵ 长方形土地𝐴𝐵𝐶𝐷的长为16 m、宽为9 m，且通道宽为𝑥 m，∴ 种花草的部分经过 平移可看成长为(16 − 2𝑥)m、宽为(9 − 𝑥)m的长方形.∵ 花草的面积为120 m2，∴ (16 − 2𝑥)( 9 − 𝑥) = 120 ，则①正确.16 × 9 − 9 × 2𝑥 − (16 − 2𝑥)𝑥 = 120 ，则②正确.16 × 9 − 9 × 2𝑥 − 16𝑥 + 2𝑥2 = 120，则③不正确.∴ 正确的是①②.故选 C. 7.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到 两个根分别是 2 和 5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是 2 和 6，则此 方程正确的解为( ) A.𝑥1 = 𝑥2 = 2 B.𝑥1 = 5，𝑥2 = 6 C.𝑥1 = 3，𝑥2 = 4 D.此方程无实数解 【解析】由题意得𝑥1 + 𝑥2 = 2 + 5 = 7，𝑥1𝑥2 = 12 ，则可知 C 选项符合题意.故选 C. 8.科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，那么全组共有学生( ) A.12 名 B.12 名或 66 名 C.15 名 D.33 名 【解析】设全组共有学生𝑥名，由题意得𝑥(𝑥 − 1) = 132，解得𝑥1 = −11 （不合题意，舍去）， 12/115 𝑥2 = 12 ，故选 A. 9.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第 1 个图形用了 6 个石子；第 2 个图形用了 10 个石子；第 3 个图形用了 16 个石子；第 4 个图形用了 24 个石子；….照此规律，第几个图形 用了 114 个石子( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】设第𝑛个图形用了𝑆𝑛个石子，则由题意得𝑆1 = 1 2 + 1 + 4 = 6 ； 𝑆2 = 2 2 + 2 + 4 = 10；𝑆3 = 3 2 + 3 + 4 = 16；𝑆4 = 4 2 + 4 + 4 = 24 ；…； ∴ 𝑆𝑛 = 𝑛 2 + 𝑛 + 4.令𝑆𝑛 = 114，则𝑛 2 + 𝑛 + 4 = 114，∴ 𝑛2 + 𝑛 − 110 = 0 ，解得 𝑛 = −11（舍去）或𝑛 = 10 .故选 C. 10.定义[𝑥]为不大于实数𝑥 的最大整数，如[1.4] = 1，[−2.1] = −3，[−3] = −3，则方程[𝑥] = 1 2 𝑥2 + 𝑥(0 ≤ 𝑥 < 2) 的根为 ( ) A.𝑥1 = 0，𝑥2 = −2 B.𝑥 = 0 C.𝑥 = −1 + √3 D.无实数根 【解析】当1 ≤ 𝑥 < 2时， 1 2 𝑥2 + 𝑥 = 1，解得𝑥 = −1 + √3（舍去）或𝑥 = −1 − √3 （舍去）； 当0 ≤ 𝑥 < 1时， 1 2 𝑥2 + 𝑥 = 0，解得𝑥1 = 0，𝑥2 = −2（舍去），∴ 方程[𝑥] = 1 2 𝑥2 + 𝑥(0 ≤ 𝑥 < 2 )的根为𝑥 = 0 ，故选 B. 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑘 = 0 有两个相等的实数根，则𝑘 的值为___. 【解析】由题意得Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−4)2 − 4 × 1 × 2𝑘 = 0，解得𝑘 = 2 ,故答案为 2. 12.若一元二次方程𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0 经过配方，变形为(𝑥 + 3)2 = 𝑛的形式，则𝑛 的值为____. 【解析】方程𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0，移项得𝑥2 + 6𝑥 = 1，配方得𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 10 ，即(𝑥 + 3)2 = 10， 则𝑛 = 10 .故答案为 10. 13.用公式法解某个关于𝑥 的一元二次方程，得 𝑥 = −9±√92−4×3×1 2×3 ，则该一元二次方程是_________________. 【解析】由题意得𝑎 = 3，𝑏 = 9，𝑐 = 1，∴ 该一元二次方程是3𝑥2 + 9𝑥 + 1 = 0 ，故答案为3 13/115 𝑥2 + 9𝑥 + 1 = 0 . 14.直角三角形的两直角边长是方程𝑥2 − 8𝑥 + 14 = 0 的两根，则它的斜边长为___. 【解析】设直角三角形的斜边长为𝑐，两直角边长分别为𝑎,𝑏. ∵ 直角三角形两直角 边长是方程𝑥2 − 8𝑥 + 14 = 0的两根，∴ 𝑎 + 𝑏 = 8，𝑎𝑏 = 14 .根据勾股定理可得 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 = 64 − 28 = 36，∴ 𝑐 = 6 （负值舍去）.故答案为 6. 15.在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才， 英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英 年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为____岁. 【解析】设周瑜去世时的年龄的十位数字为𝑥，则个位数字为𝑥 + 3 .根据题意得 10𝑥 + (𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)2，整理得𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0，解得𝑥1 = 2 （舍去）， 𝑥2 = 3，∴ 周瑜去世时的年龄为 36 岁，故答案为 36. 16.如图所示，△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 6 cm，𝐵𝐶 = 8 cm，点𝑃从𝐴点开始沿𝐴𝐵向𝐵 点 以1 cm/s的速度匀速移动，点𝑄从𝐵点开始沿𝐵𝐶向𝐶点以2 cm/s 的速度匀速移动.如果𝑃，𝑄分 别从𝐴，𝐵同时出发，那么______s 后，线段𝑃𝑄将△𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2 的两部分. 【解析】设点𝑃运动时间为𝑡 s.根据题意知𝐵𝑃 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝑃 = (6 − 𝑡)cm ， 𝐵𝑄 = 2𝑡 cm.∵ 线段𝑃𝑄将△𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2的两部分，∴ 𝑆△𝑃𝐵𝑄 = 1 3 𝑆△𝐴𝐵𝐶 或 𝑆△𝑃𝐵𝑄 = 2 3 𝑆△𝐴𝐵𝐶，则 1 2 (6 − 𝑡) ⋅ 2𝑡 = 1 3 × 1 2 × 6 × 8或 1 2 (6 − 𝑡) ⋅ 2𝑡 = 2 3 × 1 2 × 6 × 8 ， 整理得𝑡2 − 6𝑡 + 8 = 0或𝑡2 − 6𝑡 + 16 = 0（无实数解），解得𝑡1 = 2，𝑡2 = 4 .故答 案为 2 或 4. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图. （1）当𝑥 = −7 时，所捂部分的值为_____； 14/115 【解析】当𝑥 = −7 时，所捂部分的值为 2𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 2 × (−7)2 − 4 × (−7) − 5 = 121 ，故答案为 121.…………（4 分） （2）若所捂部分为𝑥2 + 2𝑥 − 6，用配方法求出𝑥 的值. 【解】根据题意得2𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 𝑥2 + 2𝑥 − 6，整理得𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0 ， ∴ 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 8 ，…………（6 分） 即(𝑥 − 3)2 = 8，∴ 𝑥 − 3 = ±2√2，解得𝑥1 = 2√2 + 3，𝑥2 = −2√2 + 3 .……（8 分） 18.（10 分）百货大楼服装区管理人员发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件，要使平均每天销售 这种童装盈利 1 200 元，那么每件童装应降价多少元？ 请先填空后再列方程求解： 设每件童装降价𝑥 元， 那么平均每天就可多售出____件， 现在平均每天可售出____件， 每件盈利____元. 【解】∵ 每件童装降价𝑥元，∴ 平均每天就可多售出2𝑥 件，现在平均每天可售出 (20 + 2𝑥)件，每件盈利(40 − 𝑥)元.故答案为2𝑥，(20 + 2𝑥)，(40 − 𝑥) .………… （3 分） ∵ 平均每天销售这种童装盈利 1 200 元，∴ (40 − 𝑥)(20 + 2𝑥) = 1 200 ，即 𝑥2 − 30𝑥 + 200 = 0 ，…………（7 分） 解得𝑥1 = 10，𝑥2 = 20. ∵ 要扩大销售量，减少库存，∴ 𝑥 = 20，∴ 每件童装应降 价 20 元.…………（10 分） 19.（10 分）实数𝑚，𝑛满足𝑚− 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1 . （1）验证𝑚 = −2，𝑛 = 3 是否满足上述等式； 【解】当𝑚 = −2，𝑛 = 3时，∵ 𝑚 − 𝑛 = −2 − 3 = −5 ， 𝑚𝑛 + 1 = −2 × 3 + 1 = −5，∴ 𝑚 − 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1，即𝑚 = −2，𝑛 = 3 满足上述等 式.…………（4 分） （2）若𝑚 = 2，𝑛 = 𝑎2 + 2𝑎，佳佳认为一定存在两个不同的𝑎 的值使得𝑚− 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1 成 立，佳佳的说法正确吗？请说明理由. 15/115 【解】佳佳的说法正确.…………（5 分） 理由：当𝑚 = 2，𝑛 = 𝑎2 + 2𝑎时，2 − (𝑎2 + 2𝑎) = 2(𝑎2 + 2𝑎) + 1 ，整理得3𝑎2 + 6𝑎 − 1 = 0 ，…………（7 分） ∵ Δ = 62 − 4 × 3 × (−1) = 48 > 0，∴ 关于𝑎的方程3𝑎2 + 6𝑎 − 1 = 0 有两个不相等的实数根， 即一定存在两个不同的𝑎的值使得𝑚 − 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1成立，∴ 佳佳的说法正确.…………（10 分） 20.（12 分）如图是 2024 年 1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请 解答下列问题. （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为 180，求最小数. 【解】设最小数为𝑥，则最大数为𝑥 + 8.由题意得(𝑥 + 8)𝑥 = 180 ，整理得𝑥2 + 8𝑥 − 180 = 0 ，……（3 分） 解得𝑥1 = −18（不符合题意，舍去），𝑥2 = 10，∴ 最小数为 10.…………（5 分） （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为 124 吗？若能，请求出最小数； 若不能，请说明理由. 【解】虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.…………（6 分） 理由如下：设最小数为𝑦，则另外三个数分别是𝑦 + 1，𝑦 + 7，𝑦 + 8 .由题意得 𝑦(𝑦 + 8) + 𝑦 + (𝑦 + 1) + (𝑦 + 7) + (𝑦 + 8) = 124 ，整理得 𝑦2 + 12𝑦 − 108 = 0 ，…………（10 分） 解得𝑦1 = −18（不符合题意，舍去），𝑦2 = 6. ∵ 6在最后一列，∴ 虚线方框中最 大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.…………（12 分） 21.（12 分）已知实数𝑚，𝑛满足𝑚2 −𝑚 − 1 = 0 ，𝑛2 − 𝑛 − 1 = 0，且𝑚 ≠ 𝑛，则𝑚，𝑛可看成 方程𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道𝑚与𝑛的和，𝑚与𝑛 的积.根据上述材料，解决以下问题： （1）𝑚 + 𝑛 =___，𝑚𝑛 = ___； 【解析】∵ 𝑚，𝑛是方程𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ 𝑚 + 𝑛 = 1 ， 𝑚𝑛 = −1.故答案为 1，−1 .…………（4 分） 16/115 （2）已知实数𝑎，𝑏满足𝑎2 − 5𝑎 + 1 = 0，𝑏2 − 5𝑏 + 1 = 0，且𝑎 ≠ 𝑏 ，求𝑎2 + 𝑏2 的值； 【解】∵ 𝑎，𝑏满足𝑎2 − 5𝑎 + 1 = 0，𝑏2 − 5𝑏 + 1 = 0，且𝑎 ≠ 𝑏，∴ 𝑎，𝑏 可看成方 程𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ 𝑎 + 𝑏 = 5，𝑎𝑏 = 1 ，…………（6 分） ∴ 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 = 52 − 2 × 1 = 23 .…………（8 分） （3）已知实数𝑠，𝑡满足2𝑠2 − 7𝑠 + 1 = 0，𝑡2 − 7𝑡 + 2 = 0，且𝑠𝑡 ≠ 1 ，求 2𝑠𝑡+2 𝑠𝑡+3𝑡+1 的值. 【解】∵ 𝑠，𝑡满足2𝑠2 − 7𝑠 + 1 = 0，𝑡2 − 7𝑡 + 2 = 0，且𝑠𝑡 ≠ 1，则𝑡 ≠ 0 ， 2( 1 𝑡 )2 − 7 ⋅ 1 𝑡 + 1 = 0，∴ 𝑠和 1 𝑡 可看成方程2𝑥2 − 7𝑥 + 1 = 0 的两个不相等的 实数根，∴ 𝑠 + 1 𝑡 = 7 2 ，…………（10 分） 则 𝑠𝑡+1 𝑡 = 7 2 ，即𝑠𝑡 = 7𝑡−2 2 ，∴ 2𝑠𝑡+2 𝑠𝑡+3𝑡+1 = 7𝑡−2+2 7𝑡−2 2 +3𝑡+1 = 14 13 .…………（12 分） 22.（14 分）【阅读】已知方程𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个 根分别是已知方程的两个根的 2 倍. 解：设所求方程的根为𝑦，则𝑦 = 2𝑥，所以𝑥 = 𝑦 2 . 把𝑥 = 𝑦 2 代入已知方程，得( 𝑦 2 )2 + 2 ⋅ 𝑦 2 − 1 = 0 . 化简，得𝑦2 + 4𝑦 − 4 = 0 ， 故所求方程可以为𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0 . 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）. （1）已知方程𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个根分别比已知方程 的两个根小 1，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）. 【解析】设所求方程的根为𝑦，则𝑦 = 𝑥 − 1，∴ 𝑥 = 𝑦 + 1.把𝑥 = 𝑦 + 1 代入已知方程，得(𝑦 + 1 )2 − (𝑦 + 1) − 3 = 0，化简，得𝑦2 + 𝑦 − 3 = 0 ，则所求方程为𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0.故答案为𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 .…………（2 分） （2）已知方程𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 的两个根的相反数，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）. 【解析】设所求方程的根为𝑦，则𝑦 = −𝑥，∴ 𝑥 = −𝑦.把𝑥 = −𝑦 代入已知方程，得 (−𝑦)2 − (−𝑦) − 3 = 0，化简，得𝑦2 + 𝑦 − 3 = 0，则所求方程为𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 .故 答案为𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 .…………（4 分） 17/115 （3）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)有两个实数根𝑚，𝑛 . ①若𝑚 ≥ 0，𝑛 ≥ 0，则关于𝑥的方程𝑎𝑥 + 𝑏√𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) 的两根分别是多少（用含有𝑚， 𝑛 的代数式表示）？ 【解】设关于𝑥的方程𝑎𝑥 + 𝑏√𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的根为𝑥1，把𝑥1 代入 𝑎𝑥 + 𝑏√𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)，得𝑎𝑥1 + 𝑏√𝑥1 + 𝑐 = 0.设关于𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的根为𝑥2，把𝑥2代入𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) ，得 𝑎𝑥2 2 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0，由此可见𝑥1 = 𝑥2 2. ∵ 已知关于𝑥 的一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)有两个实数根𝑚，𝑛，∴ 关于𝑥 的方程 𝑎𝑥 + 𝑏√𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的两根分别是𝑚2,𝑛2 .…………（7 分） ②关于𝑥的一元二次方程___________________的两个根分别是2𝑚，2𝑛 . 【解析】由题意得该一元二次方程的两个根分别是已知方程的两个根的 2 倍，设所求方程的根 为𝑥3，则𝑥3 = 2𝑥，∴ 𝑥 = 𝑥3 2 .把𝑥 = 𝑥3 2 代入已知方程，得𝑎( 𝑥3 2 )2 + 𝑏( 𝑥3 2 ) + 𝑐 = 0.化简，得𝑎𝑥3 2 + 2 𝑏𝑥3 + 4𝑐 = 0 ，则所求方程为𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 4𝑐 = 0.故答案为𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 4𝑐 = 0 .…………（9 分） （4）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0) 的两个根与哪个关于 𝑥 的一元二次方程的两个根互为倒数？ 【解】设所求方程的根为𝑦，由题意得𝑥 ≠ 0,𝑦 ≠ 0,𝑦 = 1 𝑥 ，∴ 𝑥 = 1 𝑦 .把𝑥 = 1 𝑦 代入已知方程，得𝑎 ( 1 𝑦 )2 + 𝑏( 1 𝑦 ) + 𝑐 = 0，化简，得𝑐𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑎 = 0 ，则所求方程为𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 .………… （11 分） （5）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) 的两个实数根分别为 1 和− 1 4 ，那么 关于𝑦 的一元二次方程𝑐(𝑦 − 2 025)2 − 𝑏(𝑦 − 2) = −2 023𝑏 − 𝑎(𝑐 ≠ 0) 的两个实数根分别为 __________. 【解析】由题意得𝑥 ≠ 0. ∵ 𝑐(𝑦 − 2 025)2 − 𝑏(𝑦 − 2) = −2 023𝑏 − 𝑎(𝑐 ≠ 0) ， ∴ 𝑐(𝑦 − 2 025)2 − 𝑏(𝑦 − 2 025) + 𝑎 = 0.根据（4）可得𝑦 − 2 025 = 1 𝑥 ， ∴ 𝑦 − 2 025 ≠ 0. ∵ 关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) 的两个实数根分 别为 1 和− 1 4 ，∴ 𝑦 − 2 025 = 1或𝑦 − 2 025 = −4,则𝑦 = 2 026或𝑦 = 2 021，∴ 关于 18/115 𝑦的一元二次方程𝑐(𝑦 − 2 025)2 − 𝑏(𝑦 − 2) = −2 023𝑏 − 𝑎(𝑐 ≠ 0) 的两个实数根分 别为2 026,2 021.故答案为2 026,2 021 .…………（14 分） 19/115 第二十一章 素养检测卷 考查内容：一元二次方程（时间：90 min ，满分：120 分） 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分） 1.一元二次方程𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 的一次项系数是( ) A.−2 B.2 C.−3 D.3 2.若关于𝑥的一元二次方程(𝑎 + 2)𝑥2 + 𝑥 + 𝑎2 − 4 = 0 的一个根是𝑥 = 0，则𝑎 的值为( ) A.2 B.−2 C.2 或−2 D.1 2 3.若关于𝑥的方程𝑎𝑥2 + 2𝑥 − 2 = 0中𝑎 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( ) A.无法确定 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 4.若𝑥1 + 𝑥2 = 3，𝑥1𝑥2 = 2，则下列方程中，以𝑥1，𝑥2 为根 的是( ) A.𝑥2 − 3𝑥 − 2 = 0 B.𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 C.𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 D.𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 5.小李解方程𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 的步骤如图所示，则下列说法 正确的是( ) 解方程：𝑥2−3𝑥+2=0 . 解：𝑥2−2𝑥−𝑥+2=0 ,① 𝑥2−2𝑥=𝑥−2 ,② 𝑥(𝑥−2)=𝑥−2 ,③ 𝑥=1 .④ A.小李解方程的过程正确 B.𝑥 = 2 也是该方程的一个解 C.小李解方程的方法是配方法 D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误 6.如图，某小区规划在一个长16 m、宽9 m 的长方形土地𝐴𝐵𝐶𝐷上修建三条同样宽的通道，使 其中两条与𝐴𝐵平行，另一条与𝐴𝐷 平行，其余部分种花草，要使花草的面积为120 m2 ，那么 8/66 通道宽应设计成多少米？设通道宽为𝑥 m，则下列方程：①(16 − 2𝑥)(9 − 𝑥) = 120 ；②16 × 9 − 9 × 2𝑥 − (16 − 2𝑥)𝑥 = 120；③16 × 9 − 9 × 2𝑥 − 16𝑥 + 𝑥2 = 120 ，其中正确的是（ ) A.① B.② C.①② D.①②③ 7.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到 两个根分别是 2 和 5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是 2 和 6，则此 方程正确的解为( ) A.𝑥1 = 𝑥2 = 2 B.𝑥1 = 5，𝑥2 = 6 C.𝑥1 = 3，𝑥2 = 4 D.此方程无实数解 8.科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，那么全组共有学生( ) A.12 名 B.12 名或 66 名 C.15 名 D.33 名 9.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第 1 个图形用了 6 个石子；第 2 个图形用了 10 个石子；第 3 个图形用了 16 个石子；第 4 个图形用了 24 个石子；….照此规律，第几个图形 用了 114 个石子( ) A.8 B.9 C.10 D.11 10.定义[𝑥]为不大于实数𝑥 的最大整数，如[1.4] = 1，[−2.1] = −3，[−3] = −3，则方程[𝑥] = 1 2 𝑥2 + 𝑥(0 ≤ 𝑥 < 2) 的根为 ( ) A.𝑥1 = 0，𝑥2 = −2 B.𝑥 = 0 C.𝑥 = −1 + √3 D.无实数根 二、填空题（共 6小题，每小题 4分） 11.若关于𝑥的一元二次方程𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑘 = 0 有两个相等的实数根，则𝑘 的值为___. 12.若一元二次方程𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0 经过配方，变形为(𝑥 + 3)2 = 𝑛的形式，则𝑛 的值为____. 9/66 13.用公式法解某个关于𝑥 的一元二次方程，得𝑥 = −9±√92−4×3×1 2×3 ，则该一元二次方程是_____ ____________. 14.直角三角形的两直角边长是方程𝑥2 − 8𝑥 + 14 = 0 的两根，则它的斜边长为___. 15.在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才， 英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英 年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为____岁. 16.如图所示，△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 6 cm，𝐵𝐶 = 8 cm，点𝑃从𝐴点开始沿𝐴𝐵向𝐵 点 以1 cm/s的速度匀速移动，点𝑄从𝐵点开始沿𝐵𝐶向𝐶点以2 cm/s 的速度匀速移动.如果𝑃，𝑄分 别从𝐴，𝐵同时出发，那么______s 后，线段𝑃𝑄将△𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2 的两部分. 三、解答题（共 6小题） 17.（8 分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图. （1）当𝑥 = −7 时，所捂部分的值为_____； （2）若所捂部分为𝑥2 + 2𝑥 − 6，用配方法求出𝑥 的值. 18.（10 分）百货大楼服装区管理人员发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件，要使平均每天销售 这种童装盈利 1 200 元，那么每件童装应降价多少元？ 请先填空后再列方程求解： 设每件童装降价𝑥 元， 10/66 那么平均每天就可多售出____件， 现在平均每天可售出____件， 每件盈利____元. 19.（10 分）实数𝑚，𝑛满足𝑚− 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1 . （1）验证𝑚 = −2，𝑛 = 3 是否满足上述等式； （2）若𝑚 = 2，𝑛 = 𝑎2 + 2𝑎，佳佳认为一定存在两个不同的𝑎 的值使得𝑚− 𝑛 = 𝑚𝑛 + 1 成 立，佳佳的说法正确吗？请说明理由. 20.（12 分）如图是 2024 年 1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请 解答下列问题. （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为 180，求最小数. （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为 124 吗？若能，请求出最小数； 若不能，请说明理由. 11/66 21.（12 分）已知实数𝑚，𝑛满足𝑚2 −𝑚 − 1 = 0 ，𝑛2 − 𝑛 − 1 = 0，且𝑚 ≠ 𝑛，则𝑚，𝑛可看成 方程𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道𝑚与𝑛的和，𝑚与𝑛 的积.根据上述材料，解决以下问题： （1）𝑚 + 𝑛 =___，𝑚𝑛 = ___； （2）已知实数𝑎，𝑏满足𝑎2 − 5𝑎 + 1 = 0，𝑏2 − 5𝑏 + 1 = 0，且𝑎 ≠ 𝑏 ，求𝑎2 + 𝑏2 的值； （3）已知实数𝑠，𝑡满足2𝑠2 − 7𝑠 + 1 = 0，𝑡2 − 7𝑡 + 2 = 0，且𝑠𝑡 ≠ 1 ，求 2𝑠𝑡+2 𝑠𝑡+3𝑡+1 的值. 22.（14 分）【阅读】已知方程𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个 根分别是已知方程的两个根的 2 倍. 解：设所求方程的根为𝑦，则𝑦 = 2𝑥，所以𝑥 = 𝑦 2 . 把𝑥 = 𝑦 2 代入已知方程，得( 𝑦 2 )2 + 2 ⋅ 𝑦 2 − 1 = 0 . 化简，得𝑦2 + 4𝑦 − 4 = 0 ， 故所求方程可以为𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0 . 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）. （1）已知方程𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个根分别比已知方程 的两个根小 1，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）. （2）已知方程𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0，求一个关于𝑥 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程 的两个根的相反数，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）. 12/66 （3）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)有两个实数根𝑚，𝑛 . ①若𝑚 ≥ 0，𝑛 ≥ 0，则关于𝑥的方程𝑎𝑥 + 𝑏√𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) 的两根分别是多少（用含有𝑚， 𝑛 的代数式表示）？ ②关于𝑥的一元二次方程___________________的两个根分别是2𝑚，2𝑛 . （4）关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0) 的两个根与哪个关于 𝑥 的一元二次方程的两个根互为倒数？ （5）已知关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0) 的两个实数根分别为 1 和− 1 4 ，那么 关于𝑦 的一元二次方程𝑐(𝑦 − 2 025)2 − 𝑏(𝑦 − 2) = −2 023𝑏 − 𝑎(𝑐 ≠ 0) 的两个实数根分别为 __________. 13/66