特训营五【专训篇】五大常考相似模型-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 特训营五【专训篇】 五大常考相似模型 回模型一A字型 【模型分析】 B。 CE 正A型 斜交型 母子型 双垂直共角型 射影定理型 模型特点：“A字型”有公共角∠A相等，再加上另一组对应角相等或夹住∠A的两边对应成比例，即 可证明三角形相似.当题中未明确相似三角形对应顶点时，需分类讨论.“射影定理型”是母子型的特 例，根据同角的余角相等，可证得三组三角形相似 结论：l.△ECBn△BCA推曲侵-C,所以BC-CE·AC 2△EBAO△BCA推出能A是.所以AB=AE·AC △BCO△EBA推出能能所以BE=CE·AE 【跟踪训练】 1.(2024九上·郑州期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，则下列条件中：①∠B= ∠AED:@DE/BC:⊙把-能：④AD,BC=DE·AC,能使得以A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似的条件有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024九上·聊城期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E. (1)求证：△CDE∽△CBA: (2)若AB=6,BC=8,E是BC的中点，求DE的长. 回模型二8字型 【模型分析】 模型特点：有一对对顶角相等，再加上题目给出或自己求得的另一组 角相等，能够通过“AA”证明三角形相似 198 第三部分特训营突破 【跟踪训练】 3.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点F是OD上 EF 一点，连接EF,若∠FEO=45”,则C的值为 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2024·楚雄模拟)如图，在△ABC中，E线段AC上一点，且AE:CE=1:2,过点C作CD∥AB,交BE 的延长线于点D.若△BEC的面积为1O,则△ECD的面积为 A.10 B.15 C.20 D.25 回模型三 一线三垂直型 【模型分析】 模型特点：已有两个直角相等，再利用同角的余角相等可证另一对锐角相等，即可证明三角形相似。 常见图形背景： 【跟踪训练】 5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF,连接AE,EF,若点E是 CD的中点，则CF的长为 6.(2024春·周口期末节选)如图，在矩形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥ DE交BC于点F. (1)求证：△AED△BFE: (2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长， 199 口中考宝典·数学（广东专用版） 回模型四一线三等角型 【模型分析】 模型特点：三个等角在同一直线上，如图中，∠1一∠2-∠3，可 根据三角形内角和定理及补角的性质得另一组等角，从而得三 角形相似. 解题思路：有边相等证全等：无边相等证相似， 【跟踪训练】 7.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，AB=6,BD 2,则CE的长等于 6M° B D 8.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，连接AD,DE,有 ∠ADE=45. (1)证明：△BDAc∽△CED: (2)若BC=6,当AE=ED时，BD= 回模型五手拉手模型 【模型分析】 模型特点：从一个顶点出发，散发出来的四条线段对应成比例，然后 夹角相等，则有三角形相似. 手拉手模型，也叫旋转模型，即凡是一个图形绕某个顶点旋转，就会 出现手拉手模型 【跟踪训练】 9.(2023·周村区一模)如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E,过点E作BE 的垂线交AD于点F,如果AB=3,BC=4,那么DF的长是 第9题图 第10题图 10.(2022·瑶海区三摸)如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C,连接CC',将 CC沿CB'方向平移至EB,连接BE,若CC=√6，则BE的长为 A.1 B.2 C.3 D.2 200少考若案 ·点P(一之，豆)时，△ACP的面积最大 35 AB-AE. 在△ABD和△AED中， ∠BAD=∠EAD, 【综合训练】 1.B2.B3.3 △ABD2△AED(SASAD=AD. ,∴.∠B=∠AED,BD=DE 4,解：(1)：一次函数y=kx+2的图象与反比例函数出 又：∠B=2∠C,∴.∠AED=2∠C E 一是的图象相交于Aa,一2a).B(4,-2)两点。 ∠AED是△EIDC的外角， D .-2=4k十2， ∴.∠EDC=∠C, ∴k=-1,y=-+2,代人A(a,-2a), .ED=EC..BD=EC. 答图 得-2a=一a+2, ..AB+BD=AE+EC=AC. 【综合训练】 解得4=一2，a的值为一2，k的值为一1x 1.C2.B3.A4.4 (2)不等式k虹+2+8<0的解集为-2<r<0或r>4: 特训营四【专训篇】六大常考全等模型 (3)如答图，令AB与y轴交于点C, 【跟踪训练】 由直线y=一x+2可知C(0,2), 1.3 △AOB的面积=2 ×2×4+2 2.(1)证明：，∠DAB=∠DBA,AD=BD. 又，AC⊥BD.BE⊥AD,∴.∠C=∠E=90, 2×2=6. ∠E=∠C. 5.(1)2 在△BDE和△ADC中，∠BDE=∠ADC, (2)解：如答图1，过点D作DP⊥x轴 答图 BD-AD. 于点P, .△BDE≌△ADC(AAS). (2)5 3.证明：AB=AE,.∠B=∠E. AB-AE. 在△ABC和△AED中，∠B=∠E, BC=DE. ∴.△ABC2△AED(SAS)..∠BAC=∠EAD. 答图1 4.证明：AE=CF, 由题意得，SBORR=AB·AO=k=8. 'AE+EF=CF+EF,即AF=CE Sesw=AD·AO=k=2, AD=CB. ，即BD=是AB 在△ADF和△CBE中，∠A=∠C AF=CE. S-BDA0-ABA0-3 '.△ADF≌△CBE(SAS). (3)证明：如答图2，连接OE 5.证明：∠1=∠2， ∠I+∠DAF=∠2+∠DAF,即∠BAC=∠DAE, ∠AFE=∠CFD,∠2=∠3， ∠C=180°-∠3-∠CFD,∠E=180°-∠3-∠AFE, 即∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中，∠C=∠E, C F G AB-AD. 答图2 .△ABC≌△ADE(AAS). 由题意得5=0C·CE=1,5-号0CCB=4 6(1)证明：，BDL直线m,CE⊥直线m, ,.∠BDA=∠CEA=90°， ,∠BAC=90,.∠BAD+∠CAE=90°， ,∠DEB=∠CEF,∠DBE=∠FCE, :∠BAD+∠ABD=90°，∠CAE=∠ABD ÷△DEBn△FEC,CF=吉BD ∠BDA=∠AEC. 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, OC=GC.AB=OC. AB-AC. FG=AB-CF=专BD-号BD=BD, ∴.△ABD≌△CAE(AAS). (2)6 :AB∥OG,∴BD∥FG..四边形BDFG为平行四边形. 7.解：(1)BD 特训营二【专训篇】与中点有关的问题 (2),AC=10,△ABC的周长为24， 【跟踪训练】 ,∴.AB+BC=24-AC=24-10=14, 1./3 2.D3. 4.B5.2、6T6.2 ,△A≌△CDE,∴.AB=D,∴，BD=C+CD=C+AB=14, 特训营三【专训篇】与角平分线有关的问题 8.B 9.2 cm 【跟踪训练】 特训营五【专训篇】五大常考相似模型 1.62.D3.B4.58°5.126.230°7.88 【跟踪训练】 8.证明：如答图，在AC上取一点E,使AB=AE,连接DE, 1.C 5 新爆标中考宝典盐学（广东专用版） 2.(1)证明：DE⊥AC,∠B=90°，∠CDE=90°=∠B. 特训营七【专训篇】三种方法求与圆有关 又'∠C=∠C,∴.△CDE△CBA: 的阴影部分面积 (2)解：在R1△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8, 【跟踪训练】 ∴.AC=√/BC+AB=10. 1,B2.2r-253.A4.D :E是BC的中底CE=专BC=4 【综合训练】 :△CDE△CBA,-票， 1922-48D4B5号65E-元音+号 2 即DE4 pE-高DE-=-2,4. 8.3元 3.号C5.g 第四部分 题型专题突破 6.(1)证明：四边形ABCD是矩形 题型一重难选填突破 .∠A=∠B=90°，.∠ADE十∠AED=90°. 专题一几何动点问题中的函数图象 DE⊥EF,.∠DEF=90..∠BEF+∠AED=90°， 类型一 ∠ADE=∠BEF,∴.△AELD∽△BFE: 1.B2.C3.B4.B (2)解：E为AB的中点，.AE=BE=5. 类型二 由(1)知△AED△BFE, 1.B2.C 类型三 6 1.C2.A 类型四 1.B2.A 8.(1)证明：，∠AED=∠C+∠EDC=45°+∠EDC: 而∠ADC=∠ADE+∠EDC. 专题二阴影部分面积的计算专题 :∠ADE=45,.∠ADC=45+∠EDC.·∠AED= 类型一 ∠ADC..∠DEC=∠ADB(等角的补角相等). 1.A2.A3.C4号x5意6.3x7. 而∠B=∠C=45,.△BDA∽△CED. (2)3 类型二 1.B2.C3.A4.B5.16.217.108.14cm 9.号10.B 类型三 特训营六【专训篇】常见的折叠问题 1.D2.C34-开4号5.号 【跟踪训练】 1.(1)证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=BC= 题型二基础解答突破 EC,∠D=∠B=∠E=90°， 专题一 计算题 ∠DFA=∠EFC 类型一 在△DAF和△ECF中，∠D=∠E, 1.解：原式=1十2-√5十-4 DA=EC. =1+2-4 .△DAF≌△ECF(AAS). =3-4 (2)25 =-1. 2号 2.解：原式=1+2区-2×名+巨 3.(1)证明：四边形ABCD是矩形 =1+22-1+√/2 ∴.∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，AB=CD. 由折叠得AB=PD,∠A=∠P=90°，∠B=∠PDF=90°， =32. PD=CD,∠P=∠C=90°， 3.解：原式=-8+3+2×号 :∠PDF=∠ADC,∠PDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF, =-8+3十1 .∠PDE=∠CDF, =-4. ∠P=∠C=90°， 在△PDE和△CDF中，PD=CD, 1.解：原式=1十4十3一π十3.14 ∠PDE=∠CDF, =11.14- .△PDE≌△CDF(ASA). 类型二 29 5.解：/+=4…①， ①十②.得3x=9, 12x-y=5…②. 【综合训练】 解得x=3,把x=3代人②，得y=1, 1.D2.C3.D4.D 5.证明：如答图，在矩形ABCD中， 六原方程组的解是一3， y=1. AD∥BC, 2 /5x=3y…①， 6.解： .∠1=∠FAP. B 1x-y=4…②， 由折叠可知∠1=∠2， ①-②×3，得2x=一12.解得x=-6. ∴.∠FAP=∠2..FA=FP 将x=一6代人②，得-6-y=4,解得y=-10, 答图 16