特训营三【专训篇】与角平分线有关的问题-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

中考宝典·数学(广东专用版) 特训营三【专训篇】 与角平分线有关的问题 方法一 遇角一边的垂线,考虑角平分线的性质 方法解读 1.若已知OP为 MON的平分线,PA1OM,PB1ON 由角平分线上的点到角两边的距离相等,得PA一PB, Rt△POA2Rt△POB: 作PB1ON,交ON于点B 2.若只有角平分线,可以向角的两边作垂线,构造边的 垂线,得到两个全等三角形 【跟踪训练】 1.(2023春·光明区期末)如图,在△ABC中,两条角平分线相交于点P,过点P作PD BC于点D,若 PD一1,△ABC的周长为12,则△ABC的面积为 方法二 遇角一边(或角平分线)的平行线,出现等腰三角形 方法解读 1.若点P是MON的平分线上的一点,且PQ/ON, 可得等腰△OPQ,利用等腰三角形的性质解题; 作PQ/0V 2.有角平分线无平行线时,可构造平行,可简记为“角平 分线十平行线,等腰必呈现” 【跟踪l练】 2.如图,在CABCD中,DE平分ADC交BC边于点E,BE-4cm,AB-6cm,则AD的长度是( A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 3.如图,在△ABC中, ABC和 ACB的平分线交于点E,过点E作MN/BC交AB于点M,交AC _ 于点N.若BM+CN-7,则MN的长为 _ A.6 B7 C.8 D.9 190 第三部分 特训营突破 方法三 遇角平分线的垂线,考虑等腰三角形三线合一性质 方法解读 若点P是/MON的平分线上的一点,且AP OP,可 延长AP交ON于点B,则△AOP△BOP,△AOB是 延长AP,交 ON于点B 等腰三角形,可记为“角平分线遇上垂直,三线合一试 试看”, 【跟踪训练】 4.(2023·深圳模拟)如图,BD是 ABC的平分线,AD1BD,垂足为点D.DAC=20{,C=38^{*,则 BAD- ### 第题图 第5题图 第6题图 第赴因 5.(2023·官渡区二模)如图,以AB为直径的⊙O的半径为3, BAC=30{*},C是O上一点且AC平 分 BAD.D一 CBD,则AD的长为 方法四 双角平分线模型 陆方法解读 1.如图,若BD.CD分别是△ABC内角ABC,ACB的平 分线. 2.如图,若BD.CD分别是△ABC外角EBC,FCB的平 分线. 3.如图,若BD,CD分别是/ABC内角/ABC,外角/ACE 的平分线. 【跟踪训练】 6.(2024春·宿迁)如图,在四边形ABCD中,ABC的平分线与BCD的平分线交于点P,P 115*,则A+D- 7.(2024春·河南新乡)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,将△ADE沿DE翻折,使得 点A落在边BC上的点A'处.若乙A-44{,则1+乙2-_. 191 中考宝典·数学(广东专用版) 方法五 利用对称构造全等三角形 方法解读 如图,若点P是/MON的平分线上的一点,点A是 射线OM上的任意一点,在ON上截取OB-OA,连 在ON上截取 0B=OA,连接BP* 接BP. 结论:△AOP△BOP 【跟踪训练】 8.(2023·平顶山模拟)如图,在△ABC中,B=2C,BAC的平分线交BC于点D.求证;AB+ BD-AC. 【综合训练】 1.(2024春·抚顺月考)如图,BD是Rt△ABC的角平分线,C-90{*},BC-6,AC-8,则△ABD的面 ( 积是 __ C.15 B.20 A.30 D.10 ## 第2题图 第3题图 第1题图 第4题图 2.(2024秋·鲤城区校级月考)如图,已知AD是△ABC的角平分线,过点D作DE1AB于点E △ABC的面积为28,AB-8,BD:DC-4:3,则AC的长为 _ A.2 B.6 C.4 D.5 3.(2024春·宽句县期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,AD是△ABC的一条角平分线,点E,F分 ( 别是线段AD,AC上的动点,若AD一4,BD一3,则线段CE+EF的最小值是 _ B.5 C. D.6 4.如图,AD/BC,ABC的平分线BP与 BAD的平分线AP相交于点P,作PE AB于点E.若 PE-2,则两平行线AD与BC间的距离为. 19235 ∴点P(一，)时，△ACP的面积最大. AB=AE, 在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD, 【综合训练】 1.B2.B3.3 ÷△ABD2△AED(SASAD--AD, ∠B=∠AED,BD=DE 4,解：(1)：一次函数=kx+2的图象与反比例函数为一 又：∠B=2∠C,.∠AED=2∠C 一8的图象相交于A(a,-2a),B(4,-2)两点 ∠AED是△EDC的外角， .-2=4k十2， ∠EDC=∠C, ∴k=-1,∴为=-x+2,代人A(a,-2a), .ED=EC,.BD=EC. 答图 得-2a=-a十2， ..AB+BD=AE+EC=AC. 【综合训练】 解得a■一2，.a的值为一2，k的值为一1 1.C2.B3.A4.4 (2)不等式k虹+2+8<0的解集为-2<x<0或x>4: 特训营四【专训篇】六大常考全等模型 (3)如答图，令AB与y轴交于点C, 【跟踪训练】 由直线为=一x+2可知C(0,2), 1.3 :△AOB的面积=×2X4十 2.(1)证明：：∠DAB=∠DBA,∴AD=BD, 又AC⊥BD,BE⊥AD,∴∠C=∠E=90°， 2×2=6. ∠E=∠C, 5.(1)2 在△BDE和△ADC中，∠BDE=∠ADC, (2)解：如答图1，过点D作DP⊥x轴 答图 BD-AD. 于点P, ,△BDE2△ADC(AAS). (2)/5 3.证明：AB=AE,.∠B=∠E. AB-AE, 在△ABC和△AED中，∠B=∠E, BC-DE, O P .△ABC≌△AED(SAS).∴.∠BAC=∠EAD 答图1 4,证明：AE=CF, 由题意得，SsO=AB·AO=k=8, ∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE, S第B%=AD·AO=k=2, AD=CB, =，即BD=是AB, 在△ADF和△CBE中，∠A=∠C AF=CE, Saw=BD·A0-音AB:A0=3 △ADF2△CBE(SAS). (3)证明：如答图2，连接OE, 5.证明：∠1=∠2， ∠1+∠DAF=∠2+∠DAF,即∠BAC=∠DAE, ∠AFE=∠CFD,∠2=∠3， ∠C=180°-∠3-∠CFD,∠E=180°-∠3-∠AFE, 即∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中，∠C=∠E, G AB-AD, 答图2 .△ABC≌△ADE(AAS). 由题意得Saax=20C·CE=1,Saxe=20C·CB=4, 6,(1)证明：，BD⊥直线m,CE⊥直线m, 器-}即cE=号E ,.∠BDA=∠CEA=90°， ∠BAC=90,∠BAD+∠CAE=90, :∠DEB=∠CEF,∠DBE-=∠FCE, '∠BAD+∠ABD=90,∴∠CAE=∠ABD, “△DEBn△FEC.∴CF=SBD, ∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，J∠ABD=∠CAE OC=GC.AB=OC, AB-AC, FG=AB-CF=号BD-子BD=BD, .△ABD≌△CAE(AAS). (2)6 :AB∥OG,BD∥FG.∴四边形BDFG为平行四边形. 7.解：(1)BD 特训营二【专训篇】与中点有关的问题 (2)AC=10,△ABC的周长为24， 【跟踪训练】 .AB+BC=24-AC=24-10=14 1./2.D3. 4.B5.2616.2 '△ABC2△CDE,∴.AB=CD,.BD=BC+CD=BC+AB=14 特训营三【专训篇】与角平分线有关的问题 &B9,9 【跟踪训练】 特训营五【专训篇】五大常考相似模型 1.62.D3.B4.58°5.126.230°7.88 【跟踪训练】 8.证明：如答图，在AC上取一点E,使AB=AE,连接DE, 1.C 15