第25课时 点、直线与圆的位置关系-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 第25课时 点、直线与圆的位置关系 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 切线的判定与性质 题22(1)，3分题24(2)，3分 题22(2)，4分 1.探索并掌握点与圆的位置关系 2.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 3.能用尺规作图：过不在同一直线上的三，点作圆：作三角形的外接圆、内 新课标要求 切圆：作圆的内接正方形和内接正六边形 4.·能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 5.‘探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等 课前小测 1.(改编)已知⊙O的直径为9，OP=5,则点P与⊙O的位置关系是 A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.不能确定 2.(改编)已知⊙O的直径为6，点O到直线1的距离为4，则直线1与⊙O的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 3.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10,CD=12,则四边形ABCD A 的周长为 考点知识梳理 考点点、直线与圆的位置关系 核心笔记 【跟踪训练】 1.点与國的位置关系有3种：设⊙O的半径为r,点 1.(改编)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3, P到國心O的距离为d,则有： AB=5,以点C为圆心，BC长为半径作圆.下列 ①d<r台点P在⊙O内：②d=r台点P在⊙O上； 结论正确的是 ③d>r台点P在⊙O外. 2.直线与國的位置关系有3种：设⊙O的半径为r, 圆心O到直线l的距离为d,则有： 直线与圆交点个数r与d的关系 A.点A在圆内B.点A在圆上 相离 0 d>r C.点A在圆外D.点A和圆的位置关系不确定 相切 1 d=r 相交 2 d<r 特别提醒：r与d的大小关系决定点（或直线）与圆 的位置关系 142 第二部分考点基础过关 考点2切线的判定与性质 审核心笔记 审【跟踪训练】 1.切线的定义：直线与圆只有 公共，点，这时我们 2.(2022秋·阜阳·九年级校考期中)如图，已知 说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线 PA与⊙O相切于点A,∠P=22°，则∠POA= 2.切线的判定： (1)与圆心的距离 圆的半径的直线是國 ( 的切线. A.55 B.58 (2)经过半径的外端并且 于这条半径的直线 C.68 D.88 是圆的切线。 3.(2023秋·茂名·九年级校考期末)如图，点P 3.切线的性质：(1)切线与國有 公共点 (2)切线与圆心的距离 半径的长.(3)切线 为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO 垂直于 的半径 交⊙O于点B,∠P=30°，OB=4,则线段AP的 4.切线长定理：从图外一点引圈的 长为 们的切线长 ,这一点和圆心的连线 A.4 B.8 两条切线的夹角。 旷特别提醒：不知道直线与圆是否有公共点时用到 C.83 D.4√3 的方法，简称“作垂直，证半径”；知道直线与圆有公 共点时用到的方法，简称“连半径，证垂直” 考点3三角形与圆 审核心笔记 审【跟踪训练】 1.内切圆 4.(2024·西陵区模拟)如图，⊙O的半径为1， (1)定义：与三角形各边都相切的圆叫微 △ABC内接于⊙O,若∠A=60°，∠B=75°，则 内切圆的圆心是三角形三条 交点，这个交点叫做三角形的 AB的长为 (2)性质：三角形的内心到三角形三边的 A.2 B.2 C.3 D.2√2 2.外接圆 (1)定义：经过三角形的 可以作一个 5.(2023春·九年级单元测试)如图，等边三角形 圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心 内接于大⊙O,小⊙O是等边三角形的内切圆，随 是三角形的 的交点， 意向大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小 这个交，点叫做三角形的外心 ⊙O内部（阴影）区域的概率为 (2)性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的 A号 B. 特别提醒：内心到三角形三边的距离相等；外心到 三角形的三个顶点的距离相等. 1 C.3 143 口中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 考点①点、直线与圆的位置关系 例1如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O 变1 (2023·泸州·统考一模)在平面直角坐标系 上，OC⊥AB,∠ABC=30°.⊙O所在的平 xOy中，以点（一3,4）为圆心，4为半径的圆 面内有一点P,若OP=5,则点P与⊙O 与x轴的位置关系是 ( 的位置关系是 A.相交 B.相离 A.点P在⊙O上 C.相切 D.无法判断 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定 考点2三角形与圆 常考题型：(1)三角形内切圆求角或线段长；(2)三角形外接圆求面积， 例2(2022秋·潍坊·九年级统考期末)如图， 变2如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连 ⊙O是△ABC的内切圆，点D,E是切点， 接OB,OC,OA,若∠CAO ∠A=50°，∠C=60°，则 40°，∠ACB=70°，则阴影部分 ∠DOE= 的面积是 考点3切线的判定与性质 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·沈阳节选)如图，AB是⊙O的 证明：，AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， 直径，点C是⊙O上的一点（点C不与点A,B重 .∠ACD十∠BCD=90°，…1分 合)，连接AC,BC,点D是AB上的一点，AC= ,AC=AD,.∠ACD=∠ADC, AD,BE交CD的延长线于点E,且BE=BC. ,∠ADC=∠BDE,.∠ACD=∠BDE 求证：BE是⊙O的切线 BE=BC,∠BCD=∠E,…2分 证明： .∠BDE+∠E=90°， ∴.∠DBE=180°-（∠BDE+∠E)=90°， 即OB⊥BE. ………3分 ,AB为⊙O的直径，BE是⊙O的切线.… ……4分 满分：4分 实得： 144 第二部分考点基础过关口 例3(2024·广州一模)如图，在△ABC中， 变3(2023·重庆)如图，AC是⊙O的切线，B为 AC=BC,∠ACB=100°，⊙O与AB,BC 切点，连接OA,OC.若∠A=30°，AB=2√3， 分别切于点D,C,连接CD.则∠ACD的 BC=3,则OC的长度是 ( 度数为 A.3 B.2√3 A.50° B.40° C.√13 D.6 C.30° D.20° 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟正确率：/4】 1.(2024·浙江模拟)如图，X,Y,Z是某社区的三栋楼，XY=40m,YZ=30m,XZ=50m.若在XZ的中点 M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m,则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是() A.X,Y,Z B.X,Z C.Y,Z D.Y 第1题图 第2题图 2.(2024·祥区一模)如图所示，一圆弧过方格的格点A,B,C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点 A的坐标为（一2,4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 A.(-1,2) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(2,1) 3.如图，已知△ABC,点D在边AB上，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点C,若AC=4,AD=2,则 线段BC的长为 A.5 B.25 C.45 B 第3期图 第4题图 4.如图，PA,PB,DE分别切⊙O于点A,B,C,DE分别交PA,PB于点D,E,已知点P到⊙O的切线 长为8cm,那么△PDE的周长为 145 口中考宝典·数学（广东专用版） (二)命题新方向 【建议用时：15分钟正确率：/1】 1.【教材延伸】（模型观念、应用意识、推理能力）(2024·吉安模拟)课本再现 推论圆内接四边形的对角互补 推论证明 为了证明该推论，某同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”和不完整的证明过程，请你把 证明过程补充完整 (1)已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D=180 证明：连接BO,DO, 知识应用 (2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径，边BA,CD的延长线交于点E,且BC-BE ①求证：△ADE是等腰三角形； ②若BC=6,AE=4,求DE的长. 图1 图2 1462.解：正方形OABC,.OΛ=C, (9-5√3)m. ,OE=OF,,Rt△OCF≌Rt△OAE(Hl). 1 .∠COF=∠AOE. y=10=100(9-5/5)=(900-5005)吨， :AB交直线y=x于点E,如题图2，∴∠EOF=45, .至少要增加(900一5003)吨的货物才能通过. ∴.∠COF+∠AOE=45. 第25课时点、直线与圆的位置关系 即∠C0F=22.5°. 课前小测 3.1)解：∠ABC=∠ABC: 1.C2.C3.44 (2)证明：：AB,为正方形的对角线，∠AB,C=45°， 考点知识梳理 设每个方格的边长均为1，则AB=√+3=√0， 【核心笔记】 AC-BC=√T+2=√/5， 1.一个2.(1)等于(2)垂直 .AC+BC=AB. 3.(1)唯一(2)等于(3)过切点 ,由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形， 4,两条切线相等平分 .∠ABC=45,.∠ABC=∠ABC. 1.(1)内切圆角平分线内心(2)距离相等 第六章圆 2.(1)三个顶点三条边的垂直平分线 (2)距离相等 第24课时圆的有关概念和性质 【跟踪训练】 课前小测 1.C2.C3.D4.B5.B 1.D2.B3.D4.C5.60 例题精讲 考点知识梳理 【核心笔记】 例1C变1C例2110°变2 1.定点定长2线段圆心的弦 例3C变3C 3.两点间的部分半圆优弧劣弧4.等圆互相重合 中考演练 1.相等相等相等2.一组量相等 (一)经典考题 1.平分2.垂直平分弦圆心直径3.相等 1.A2.C3.D4.16cm 1.一半2.相等3.圆周角直径 (二)命题新方向 1.同一个2.互补 【跟踪训练】 1.1)证明：由圆周角定理得∠A-∠1，∠C-∠BOD, 1.D2.C3.A4.C5.A6.C7.C8.B :∠1+∠BOD=360°.∴∠A+∠C=180°， 例题精讲 同理∠B十∠D=180°，即圆内接四边形的对角互补： 例1144°变112例2B变2C (2)①证明：，∠DAE+∠BAD=∠DAB十∠C=180°， 例312变3D ∴∠DAE=∠C, 中考演练 :BC=BE,∴.∠C=∠E, (一)经典考题 ∴∠DAE=∠E,∴AD=DE, 1.B2.B3.B4.B ,△ADE是等腰三角形 (二)命题新方向 ②解：连接BD,如答图， 解：任务1，设圆心为点O,则点O在CD的延长线上，延长 BC是直径，.BDCE, CD,则CD经过点O,连接AO.如答图1， BC=BE=6...CE=2DE. 设桥拱的半径为rm, :∠E=∠E,∠DAE=∠C, 则OD=(r-4)m ∴.△DAEc∽△BCE. 答图 ,OC⊥AB. 器器…就 4 DE 6 AD-BD-AB-8 m. ∴DE=25 OD+AD=OA. 第26课时 与圆有关的计算 .(r-4)+8=,.r=10 课前小测 ·圆形拱桥的半径为10m 1.D2.C3.B 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加 考点知识梳理 (900-5003)吨的货物才能通过.理由： 【核心笔记】 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M,连接OE,OH, 1.中心2.圆心角 360 如答图2， 3.边心距 ,四边形EFGH为矩形， 4.m-2)×180 ∴.EH∥FG, OC⊥AB..OML EH D 360 5.边长×边数 合×周长×边心距 ∴EM=专EH=5(m, 【跟踪训练】 ∴.OM=√OE-EM=5√3(m》, 答图2 1.B2.x3.B4.D5.A6.号 *OD=6m.∴.DM=53-6<3. 例题精讲 ∴，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 例1D变1A例2240πcm2变2π例3B 船在水面部分可以下降的高度y=3一(5√尽一6)= 变3B 11