第24课时 圆的有关概念和性质-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

口中考宝典·数学（广东专用版） 第六章【圆 第24课时 圆的有关概念和性质 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 圆周角定理及推论 题7,3分 题9,3分 1.理解圆、孤、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念：探索并 掌握点与圆的位置关系 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条孤 3.探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系，知道同孤（或等孤）所对的圆 斯课标要求 周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对孤上的 圆心角的一半：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径：图内接四边形的对角互补 4.了解三角形的内心与外心 5.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 课前小测 1.(改编)在半径为6的圆中，弦AB的长度，不可能是 A.4 B.5 C.10 D.14 2.(改编)下列说法中，正确的是 A.同心圆的面积相等 B.周长相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心 3.(改编)如图，点A,B,C在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠AOB的度数为 A.40° B.50 C.60 D.80 7D 第3题图 第4题图 第5题图 4.(改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是( A.CD=2ED B.AC=AD C.OE=BE D.OA=OB 5.(改编)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,若AD=DC=CB,则∠A的度数为° 136 第二部分 考点基础过关口 考点知识梳理 考点1圆中的有关概念及性质 审核心笔记 【跟踪训练】 1.圆：平面上到 的距离等于1.（改编）AB是⊙0最长的弦，若AB=8,则⊙O的半径长为( 的所有点组成的图形. A.8 B.7 C.6 D.4 2.弦：连接圆上任意两点间的 叫做弦，经过 2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E,C=BD,∠CDB 叫做直径. =30°，AC=2√3，则OE的长为 3.圆孤：圆上任意 叫做圆孤，简称孤.圆的任意一条 A号 B.√3 C.1 D.2 直径的两个端点把国分成两条孤， 每一条孤都叫做 .大于 半圆的弧叫做 小于半 圆的孤叫做 4,能够重合的两个圆叫微 第2题图 第3题图 在同圆或等圆中，能够 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°，则 的孤叫等孤， BC的长为 矿特别提醒：孤长相等的孤不一定 是等孤 A.43 B.8 C.4√2 D.4 考点2弧、弦、圆心角的关系 事核心笔记 【跟踪训练】 1.定理：在同圆或等圆中，相等的 4.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧BC的中点，连接 国心角所对的孤 ,所对 BC,DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为 的弦 ,所对的弦心距 (圆心到弦的距离) 2.推论：在同圆或等圆中， ,那么其他各组量也分 别相等. A.22 B.32 C.34° D.44° 特别提醒：运用这个定理，一定要 记住前提条件“在同圆或等圆中” 考点③垂径定理及其推论 r核心笔记 1.垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条孤。 2.推论1：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 所对的两条孤 弦的垂直平分线经过 ,并且平分弦所对的两条孤 平分弦所对的一条弧的 ,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 4.推论3：过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣孤、平分弦所对的优孤，若一条直线具备这五项中任意两 项，则必具备另外三项， 审特别提醒：平分弦（这条弦不是直径）的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的两条孤 137 口中考宝典·数学（广东专用版） 【跟踪训练】 5.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂足为点E,若AB=12,BE=3,则四边形ACBD的面积为 A.365 B.24√5 C.183 D.723 6.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其两 个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A,B,E三个接触点，该球 的大小就符合要求.图2是过球心及A,B,E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径， AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E,AC LCD,BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁 球的直径为 A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 图2 考点④圆心角、圆周角之间的关系 核心笔记 梦【跟踪训练】 1.圆周角定理：一条孤所对的圆周角 7.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则 等于它所对的國心角的 ∠B的度数是 2.推论1：同孤或等孤所对的圆周角 3.推论2：半圆（或直径）所对的 是直角，90°的圆周 角所对的弦是 A.70 B.60° C.50° D.40° 零特别提醒：同孤或等孤所对的圆 周角相等，而不是同弦或等弦。 考点5圆的内接四边形 审核心笔记 切【跟踪训练】 1.定义：如果一个多边形的所有顶 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则 点都在 图上，这个多 ∠ABC的度数是 边形叫做圆内接多边形，这个圆 叫做多边形的外接圆. 2。性质：圆内接四边形的对角 审特别提醒：圆内接四边形对角互 补且任意一个外角等于它的内 对角 A.80 B.100 C.140 D.160° 138 第二部分考点基础过关口 例题精讲 考点1圆内接多边形求度数 例1如图，∠DCE是⊙O内接四 变1 如图，正六边形ABCDEF和 边形ABCD的一个外角，若 正五边形AHIJK内接于 ∠DCE=72°，那么∠BOD ⊙O,且有公共顶点A,则 的度数为 ∠BOH的度数为 度 考点2求圆周角度数 常考题型：(1)利用圆周角定理求角；(2)利用圆周角定理推论求角. 例2(2022·阜新)如图，点A,B,C是⊙O上的三变2如图，BD是⊙O的直径，点A,C在圆上，若 点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是( ∠A=50°，则∠DBC的度数是 ( A.35 B.55 A.50 B.45 C.60° D.70° C.40 D.35 考点③垂径定理结合勾股定理 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·安徽)已知四边形ABCD内接 (1)证明：OA⊥BD, 于⊙O,对角线BD是⊙O的直径， ∴AB=AD,∴.∠ACB=∠ACD, (1)如图1，连接OA,CA,若OA⊥BD,求证：CA 即CA平分∠BCD; …2分 平分∠BCD: (2)解：延长AE交BC于点M,延长 (2)如图2，点E为⊙O内一点，满足AE⊥BC, CE交AB于点N,如答图， CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC E ,AE⊥BC,CE⊥AB, M 的长 ,'.∠AMB=∠CNB=90°， 答图 (1)证明： BD是⊙O的直径，∴.∠BAD=∠BCD=90°， (2)解： ∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, ∴.AD∥NC,CD∥AM, 图2 .四边形AECD是平行四边形，…6分 ..AE=CD=3, ∴.BC=√BD-CD=√(33)2-32=32.… …………8分 满分：8分 实得： 139 口中考宝典·数学（广东专用版】 例3(2024·扶沟县一模)京西某游乐园的摩天 变3(2024·天河区校级一模)如图，在平面直角 轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周 坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴交于 末休闲的好去处.如图，如果该摩天轮主视 A,B两点，弦CD⊥AB,AC与y轴相交于点 图的直径为88米，最高点A距地面100 P,若点A的坐标为(4a,0),且AP=2PC.则 米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟. CD的长为 但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距 A.4a 离不低于34米时为最 B.6a 佳观景期，那么摩天轮 C.23a 运行一圈中最佳观景 D.4√3a 的时长为 分钟 图1 图2 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟正确率： /4】 1.(2023·广东)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为 A.209 B.40° C.50° D.80 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.(2021·广东)如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD= 1,则⊙0的直径为 ( A.3 B.23 C.1 D.2 3.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过 拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为 A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m 4.(2024·湖北三模)如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=2√3，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC 于点D,E,连接ED,则CD的长为 () A.1 B C.2 0.2 140 第二部分考点基础过关 0 (二)命题新方向 【建议用时：10分钟正确率：/1】 1.【项目学习】（应用意识、运算能力、推理能力）(2024·湖南一模)根据索材解决问题. 设计货船通过圆形拱桥的方案 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽 素材1 图 AB=16m,拱顶离水面的距离CD=4m. 图2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF= 3m,EH=10m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查， 素材2船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x(吨)满足函数关系式 1 图3 y= 100x. 问题解决 任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨 任务2 拟定设计方案 货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 1412.解：正方形OABC,.OA=OC, (9-53)m OE=OF,,Rt△OCF≌Rt△OAE(HL), .∠COF=∠AOE, y=10,x=100(9-5B)=(900-500B)吨， ,AB交直线y=x于点E,如题图2，∴∠EOF=45, .至少要增加(900一500√3)吨的货物才能通过. ∴.∠COF+∠AOE=45, 第25课时点、直线与圆的位置关系 即∠COF=22.5°. 课前小测 3.(1)解：∠ABC=∠ABC:: 1.C2.C3.44 (2)证明：：A1B为正方形的对角线，∠ABC=45, 考点知识梳理 设每个方格的边长均为1，则AB=√/个十3■√/10， 【核心笔记】 AC=BC=√+2=√5， 1.一个2.(1)等于(2)垂直 .AC+BC=AB 3.(1)唯一(2)等于(3)过切点 ,由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形， 4.两条切线相等平分 .∠ABC=45°，.∠ABC=∠AB1C. 1.(1)内切圆角平分线内心(2)距离相等 第六章圆 2.(1)三个顶点三条边的垂直平分线 (2)距离相等 第24课时圆的有关概念和性质 【跟踪训练】 课前小测 1.C2.C3.D4.B5.B 1.D2.B3.D4.C5.60 例題精讲 考点知识梳理 【核心笔记】 例1C变1C例2110°变2 1,定点定长2.线段圆心的弦 例3C变3C 3.两点间的部分半圆优弧劣弧4，等圆互相重合 中考演练 1.相等相等相等2.一组量相等 (一)经典考题 1.平分2.垂直平分弦圆心直径3.相等 1.A2.C3.D 4.16cm 1.一半2.相等3.圆周角直径 (二)命题新方向 1.同一个2.互补 【跟踪训练】 1.(1)证明：由圆周角定理得∠A=号∠1，∠C-∠B0D, 1.D2.C3.A4.C5.A6.C7.C8.B :∠1+∠B0D=360°，.∠A+∠C=180°， 例题精讲 同理∠B+∠D=180°.即圆内接四边形的对角互补： 例1144°变112例2B变2C (2)①证明：，∠DAE+∠BAD=∠DAB+∠C=180°， 例312变3D .∠DAE=∠C, 中考演练 BC=BE,∴∠C=∠E, (一)经典考题 ∴.∠DAE=∠E,.AD=DE 1.B2.B3.B4.B ∴，△ADE是等腰三角形 (二)命题新方向 ②解：连接BD,如答图， 解：任务1，设圆心为点O,则点O在CD的延长线上，延长 BC是直径，.BD⊥CE, CD,则CD经过点O,连接AO,如答图1， ,BC=BE=6,∴，CE=2DE, 设桥拱的半径为rm, ∠E=∠E,∠DAE=∠C, 则OD=(r-4)m, ,△DAEn△BCE, 答图 OC⊥AB. 4 DE AD-BD-之AB=8m, 器-器能， .DE=25. .OD+AD=OA, 第26课时与圆有关的计算 .(r-4)2+8=,∴r=10, 课前小测 ,.圆形拱桥的半径为10m. 1.D2.C3.B 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加 考点知识梳理 (900一500，√3)吨的货物才能通过.理由： 【核心笔记】 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M,连接OE,OH, 360 如答图2， 1.中心2.圆心角 3.边心距 四边形EFGH为矩形， 4.m-2)X180 ∴.EH∥FG, OC⊥AB,∴.OM⊥EH. D 360° 5.边长×边数 ?×周长×边心距 :.EM-zEH-5(m), 【跟踪训练】 ..OM=OE-EM=53(m), 答图2 1.B2x3.B4D5A6号x OD=6m,.DM=53-6<3, 例题精讲 ,根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 例1D变1A例2240xcm变2r例3B 船在水面部分可以下降的高度y=3一(53一6)=变3B 11