第23课时 正方形-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

第二部分考点基础过关 第23课时 正方形 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 题15,3分 正方形的性质 题9,3分 题23,8分 题20,9分 题7,3分 题23,12分 1,理解正方形的概念 新课标要求 2.正方形既是矩形，又是菱形 3.理解矩形、菱形、正方形之问的包含关系 课前小测 1,(改编)正方形具有而菱形不具有的性质是 A.对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相垂直平分 D.四条边相等 2.(改编)如图，在正方形ABCD中，CE=DF,则不一定成立的结论是 A.CF=BE B.AE=FB C.AB=2AE D.CE⊥DF 第2题图 第3题图 3.(改编)如图，在正方形OBCD中，O,B两点的坐标分别是(0,0)，(3,0)，点C在第一象限，则点C的 坐标是 考点知识梳理 考点正方形的定义、性质 审核心笔记 伊【跟踪训练】 1.正方形定义：有一组 D ,并且 1.如图，正方形ABCD的对角线 的平行四边形叫做正方形. 相交于点O,则∠AOB的度 2.正方形的性质： 数是 )A (1)两组对边分别平行， (2) A.30° B.45 0 (3) ,对角线平分一组对角： C.60° D.90° R (4)正方形既是 (有4条对称轴)，又是 2.(改编)如果正方形的一条对角 线长为6，那么该正方形的面积 (5)正方形的周长： 为 (6)正方形的面积： 131 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点2正方形的判定 事核心笔记 【跟踪训练】 正方形的判定： 3.已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判 (1)有 ,并且 定四边形ABCD为正方形的是 的平行四边形叫做正方形（定义）： (2)有一组邻边相等的 是正方形： A.∠ABD=∠CBD B.∠A+∠C=180° (3)对角线互相垂直的 是正方形： C.AB=BC D.AC⊥BD (4)有一个角是直角的 是正方形： (5)对角线相等的 是正方形 考点3平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系 审核心笔记 【跟踪训练】 平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系： 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 矩形 个 角线相 对角线互相垂 A.对边平行且相等 加： 组年边相争入 B.对角线互相垂直 平行四边形 加；一个内角为9心且一组饰边相正方形 加：对角线垂直相等 C.每条对角线平分一组对角 加 D.四边相等 一组邻边相等 对角线至相垂直 加： 5.一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到 菱形 正方形： 平行四边形 添加条件 矩形 四边形 正方形 a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等； 哪特别提醒：平行四边形、矩形、菱形和正方形之间 c.一组邻边相等；d.一个角是直角. 的关系一定要很清晰，特别是性质与判定 顺次添加的条件：①a→c→d:②b→d→℃；③ab→c 则正确的是 ( A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 例题精讲 考点1平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系 例1(2024·铁锋区三模)小华在整理平行四 变1 如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是边 边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现 AD,BC的中点，点G,H分别是对角线BD, 它们的对角线都具有同一性质是( AC的中点，依次连接E,G,F,H得到的四边 A.相等 B.互相垂直 形一定是 C.互相平分 D.平分一组对角 132 第二部分考点基础过关 考点2正方形的判定 常考题型：(1)添加条件使四边形是正方形；(2)证明四边形是正方形. 例2(2024春·沈阳期未)如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方 形，下列条件：①AC=BD:②AC⊥BD:③AB十AD=BD:④∠ACD=∠ADC,其中符合要求的是 A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 变2(2023春·宜春期末)如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O,点E,F在AC上，AE=CF. (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC=∠DAC,DO=EO,求证：四边形EBFD是正方形. 考点③正方形的性质 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·阜宁县校级模拟)如图，在平行 (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上， ∴.AB=CD, ……1分 且四边形BEDF为正方形. 正方形BEDF,.BE=DF,…2分 (1)求证：AE=CF; ∴.AB-BE=CD-DF, (2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5, AE=CF…4分 求BC的长. (2)解：，正方形BEDF,,BF⊥AB, (1)证明： ∴.BF…AB=20,…5分 BF=4,……6分 ∴.CF=CD-DF=5-4=1,… 7分 (2)解： ,在Rt△BCF中，CF+BF=BC,∴.BC=√I7 ………8分 满分：8分 实得 133 口中考宝典·数学（广东专用版） 例3(2023·钢城区二模)如图，已知正方形 变3(2023·思明区二模)如图，点E,F分别为正 ABCD,点P是对角线AC上任意一点，点P 方形ABCD的边DC,BC的中点.求证： 不与点A,C重合，求证：∠ABP=∠ADP. AE=AF. 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟 正确率：/4】 1.(2023春·南开区期末)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠AEB的度数为( A.15 B.22.5° C.20 D.10° D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.(2020·广东)如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在边AB,CD上，∠EFD=60°.若将四 边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为 ( A.1 B.√2 C.3 D.2 3.(2023·重庆)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45. 若∠BAE=a,则∠FEC= () A.2a B.90°-2a C.45°-a D.90°-a 4.(2023·广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图 中阴影部分的面积为 134 第二部分考点基础过关 (二)命题新方向 【建议用时：10分钟正确率：/3】 1.【数学文化】（模型观念、应用意识、运算能力）(2023·铜山区一模)由沈康身教授所著，数学家吴文俊 作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为2的祖传正方形 地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长应是 ( A.2√2-2 B B.3-1 ③ ④③ C.1 ⑦ D.2 2.(2023·广东节选)【综合实践】（模型观念、应用意识、运算能力） 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC 绕点O逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<45),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F.当旋转角 ∠COF为多少度时，OE=OF. 图1 图2 3.(2023·广东)【综合实践】（模型规念、应用意识、运算能力） 主题：制作无盖正方体形纸盒。 素材：一张正方形纸板 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形： 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒， 猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠AB,C,的大小关系； (2)证明(1)中你发现的结论. 图1 图2 135新爆标中考宝典默学（广东专用版）》 第五章 四边形 (二)命题新方向 第21课时平行四边形与多边形 1.D2.C3.C 4.证明：点A关于BD的对称点为A', 课前小测 .点E是AA'的中点，∠AE)=90°， 1.C2.D3.A4.D5.A 又，四边形ABCD是矩形， 考点知识梳理 ∴.点O是AC的中点，.OE是△ACA'的中位线， 【核心笔记】 ∴.OE∥A'C,∴∠AM'C=∠AEO=90°， 1.(n-2)×180°2.3603.(n-3) n(n一3) 2 .AA'⊥CA' 4.”-2)×180°360 第23课时正方形 课前小测 1.平行2.(1)分别平行且相等(2)相等(3)平分 1.B2.C3.(3.3) (4)中心对称中心对称轴对称 考点知识梳理 1.(1)平行(2)相等(3)平行且相等(4)相等(5)平分 【核心笔记】 【跟踪训练】 1.邻边相等有一个角是直角 1.C2.B3.B4.D5.C6.B 2.(1)四条边都相等(2)四个角都是直角 例题精讲 (3)对角线互相垂直平分且相等 例1B变1C例2C变2C例3A变3D (4)轴对称图形中心对称图形 中考演练 (一)经典考题 (5)边长×4(6)边长的平方S=号AC 1.C2.B3.B4.B5.C (1)一组邻边相等有一个角是直角 (二)命题新方向 (2)矩形(3)矩形(4)菱形(5)菱形 1.C2.C 【跟踪训练】 3.(1)证明：连接AC.在△ABC和△CDA中，如答图 1.D2.183.B4.A5.C :AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA, 例题精讲 AB=CD.AC=CA. 例1C变1平行四边形例2B .△ABC≌△CDA(SAS) 变2证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， BC=DA, ∴.AO=CO,D0=BO. 答图 ,四边形ABCD是平行四边形： AE=CF...AO-AE=CO-CF,OE=OF. (2)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC.AD=BC. ,∴.四边形EBFD是平行四边形： BC=CF..AD//CF.AD-CF. (2)四边形ABCD是平行四边形 .四边形ACFD是平行四边形： ∴.AB∥CD,.∠BAC=∠DCA. (3)解：根据题意判断四边形ACFD和四边形ABCD均为 又'∠BAC=∠DAC,.∠DAC=∠DCA, 平行四边形， .AD=CD,.□ABD是菱形. ∴.AC⊥BD,即EF⊥BD ∴.平行四边形ACFD和平行四边形ABCD同底等高， ∴.平行四边形ACFD面积=平行四边形ABCD面积=7. 又DO=EO,,DB=EF 第22课时 菱形、矩形 :四边形EBFD是平行四边形， ∴四边形EBFD是正方形 课前小测 例3 证明：：四边形ABCD是正方形， 1.B2.A3.A4.D5.菱形 ∴.AB=AD,∠BAP=∠DAP, 考点知识梳理 AB-AD. 【核心笔记】 在△ABP和△ADP中，∠BAP=∠DAP, 2.(1)四条边相等(2)对角相等 APAP, (3)对角线互相垂直平分 .△ABP≌△ADP(SAS), (4)轴对称图形中心对称图形 ∴.∠ABP=∠ADP. 3.边长×44.(1)底×高(2)2AC·BD 变3正明：，正方形ABCD, .∠D=∠B,AD=AB=DC=BC, (1)一组邻边相等(2)对角线互相垂直(3)四条边相等 ,点E,F分别为边C,C的中点， L.平行四边形2.(1)平行相等(2)直角 (3)互相平分相等(4)轴对称中心对称 ∴.DE= 2DC.BF=BC∴DE=BF, 3.(长+宽)×24.长×宽两条对角线的交点 AB-AD. (1)一个角是直角(2)对角线相等(3)三个角是直角 在△ADE和△ABF中，J∠B=∠D 【跟踪训练】 BF=DE. 1.D2.D3.D4.D5.A6.D7.D ∴.△ADE≌△ABF(SAS), 例题精讲 ∴.AE=AF 例1D变1C例26变215例3C变3C 中考演练 例4B变4B (一)经典考题 中考演练 1.A2.D3.A4.15 (一)经典考题 (二)命题新方向 1.45°2.70°3.C4.B5.B 1.A 10 2.解：正方形OABC,.OΛ=C, (9-5√3)m. ,OE=OF,,Rt△OCF≌Rt△OAE(Hl). 1 .∠COF=∠AOE. y=10=100(9-5/5)=(900-5005)吨， :AB交直线y=x于点E,如题图2，∴∠EOF=45, .至少要增加(900一5003)吨的货物才能通过. ∴.∠COF+∠AOE=45. 第25课时点、直线与圆的位置关系 即∠C0F=22.5°. 课前小测 3.1)解：∠ABC=∠ABC: 1.C2.C3.44 (2)证明：：AB,为正方形的对角线，∠AB,C=45°， 考点知识梳理 设每个方格的边长均为1，则AB=√+3=√0， 【核心笔记】 AC-BC=√T+2=√/5， 1.一个2.(1)等于(2)垂直 .AC+BC=AB. 3.(1)唯一(2)等于(3)过切点 ,由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形， 4,两条切线相等平分 .∠ABC=45,.∠ABC=∠ABC. 1.(1)内切圆角平分线内心(2)距离相等 第六章圆 2.(1)三个顶点三条边的垂直平分线 (2)距离相等 第24课时圆的有关概念和性质 【跟踪训练】 课前小测 1.C2.C3.D4.B5.B 1.D2.B3.D4.C5.60 例题精讲 考点知识梳理 【核心笔记】 例1C变1C例2110°变2 1.定点定长2线段圆心的弦 例3C变3C 3.两点间的部分半圆优弧劣弧4.等圆互相重合 中考演练 1.相等相等相等2.一组量相等 (一)经典考题 1.平分2.垂直平分弦圆心直径3.相等 1.A2.C3.D4.16cm 1.一半2.相等3.圆周角直径 (二)命题新方向 1.同一个2.互补 【跟踪训练】 1.1)证明：由圆周角定理得∠A-∠1，∠C-∠BOD, 1.D2.C3.A4.C5.A6.C7.C8.B :∠1+∠BOD=360°.∴∠A+∠C=180°， 例题精讲 同理∠B十∠D=180°，即圆内接四边形的对角互补： 例1144°变112例2B变2C (2)①证明：，∠DAE+∠BAD=∠DAB十∠C=180°， 例312变3D ∴∠DAE=∠C, 中考演练 :BC=BE,∴.∠C=∠E, (一)经典考题 ∴∠DAE=∠E,∴AD=DE, 1.B2.B3.B4.B ,△ADE是等腰三角形 (二)命题新方向 ②解：连接BD,如答图， 解：任务1，设圆心为点O,则点O在CD的延长线上，延长 BC是直径，.BDCE, CD,则CD经过点O,连接AO.如答图1， BC=BE=6...CE=2DE. 设桥拱的半径为rm, :∠E=∠E,∠DAE=∠C, 则OD=(r-4)m ∴.△DAEc∽△BCE. 答图 ,OC⊥AB. 器器…就 4 DE 6 AD-BD-AB-8 m. ∴DE=25 OD+AD=OA. 第26课时 与圆有关的计算 .(r-4)+8=,.r=10 课前小测 ·圆形拱桥的半径为10m 1.D2.C3.B 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加 考点知识梳理 (900-5003)吨的货物才能通过.理由： 【核心笔记】 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M,连接OE,OH, 1.中心2.圆心角 360 如答图2， 3.边心距 ,四边形EFGH为矩形， 4.m-2)×180 ∴.EH∥FG, OC⊥AB..OML EH D 360 5.边长×边数 合×周长×边心距 ∴EM=专EH=5(m, 【跟踪训练】 ∴.OM=√OE-EM=5√3(m》, 答图2 1.B2.x3.B4.D5.A6.号 *OD=6m.∴.DM=53-6<3. 例题精讲 ∴，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 例1D变1A例2240πcm2变2π例3B 船在水面部分可以下降的高度y=3一(5√尽一6)= 变3B 11