第20课时 解直角三角形的实际应用-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

参考答案 (二)命题新方向 '.AC=CD·tan CDA~54Xtan 6*~54X0.1-5.4. 1.B 2.B 3.A ..AB-AC+BC~5.4+54~59 第20课时 解直角三角形的实际应用 答:桥塔AB的高度约为59m. 课前小测 6.解:由题意可知, ORB-36.9{}{ORA-24.2^$ 1.(50+50③) 在Rt△AOR中,AR=40m, ORA-24.2, 2.解:(1)由题意可知,OC1BD. '.OA=sin ORAXAR=sin 24.2X40~16.4(m). ·CBO=45*...BOC-90*- CBO-45 $$ OR-c0s24.2'×40~36.4(m) '. C0D-180*-50”-90-40*, 在Rt△BOR中,OB-tan36.9*×36.4~27.3(m). '.D-90-COD-50”,故答案为:45,50; ..AB-0B-0A-27.3-16.4-10.9(m). (2)由题意可知:BC-3km, 答:无人机的上升高度AB约为10.9m. 在Rt△BOC中.CBO=45*..'.OC-BC=3km 例题精讲 例1 B 变1 8/3 例2 B 变2 80 在R△DOC中,D=50”,:.ODC3 “sn Dsin50~3.9(km), co835{ 答:点D到灯塔O的距离约为3.9km. 例3 解:(1)由题意得,BCA-90”, 考点知识梳理 .AC-3m, CAB-60*, -. 【核心笔记】 .在Rt△ABC中,由cos乙A= 1.仰角 2.俯角 1.坡角 2.6 【跟踪训练】 (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得. 1.27+93 2.D 3.A BC-AB-AC-33(m). 2 4.解:如答图所示,过点D作DG1AH于点G,连接FG,则 四边形CDGH是矩形, '$GH-CD-1.6m,DG-CH. .CD-EF-1.6m.'GH-EF 由题意可得GHICE,EF1CE 由题意得,BC十AB-BE+BD. '.GH/FF 'BE-BC+AB-BD=33+6-5/3-6-2/3 '.四边形EFGH是矩形, '.CF-BC-BE-3③-(6-2③)-53-6~2.7(m) .$FG-HE, HGF=90". 答:物体上升的高度约为2.7m. H . DGH+ FGH-180*, 变3 解:如答图,延长BA交PQ的延长线于点C, 答图 .D.G,F三点共线, 由题意得BC1PQ.PQ-7.5m,P0 BC-30m. ·DF-DG+FG-CH+HE=CE=180 m$ 450 25~ 设AG-xm, 在Rt△BCQ中.CQB-45*, .QC-BC tan45{-30(m). *PC=PQ+CQ-30+7.5=37.5(m. . tan 45*-..DG-xm; 答图 在Rt△APC中,CPA-25*; *$AC-CP·tan 25*~37.5X0.47-17.625(m). '.AB=BC-AC=30-17.625~12.4(m). . tan53-. FG~3m; .玲现塔的高度AB约为12.4m. 中考演练 ..+3x=182,解得x=104.v. AG=104 m, (一)经典考题 .AH-AG+GH-105.6(m). 1.A 2.C 3.6 '.风电塔筒AH的高度约为105.6m. 4.解:由题意可知CE//AD.CDE一 ABE-90”. 5.解:(1)设CD=xm,由DE=36m,得CE=CD+DE (x+36)m. .EC1AB,垂足为C... BCE=ACD=90*, 在Rt△BCD中,tan/CDB-BC. BC,CDB-45", (二)命题新方向 ..BC-CD·tan CDB=x·tan45*-xm. 1.(6-2/③) 2.40* 在Rt△BCE中,tanCCEB-BC -BC, CEB-31", 解:测角仪显示的度数为50”,..a-90*-50{-40。 'BC-CE·tan CEB-[(x+36)·tan31]m. .ABI BD,EDI BD.CEI AE. ..x-(x+36)·tan31*. . ABD-EDB-AED-90*. 解得,54- .四边形ABDE是矩形, '.AE-BD-10 m,ED=AB-1.54m, 答:线段CD的长约为54m. 在Rt△CAE中,CE-AE·tang=8.39(m) AC (2)在Ri△ACD中,tanZCDA-AC.(CDA-6”, '.CD-CE+ED-8.39+1.54-9.93~9.9(m). 答:古树高度CD约为9.9m.口中考宝典·数学（广东专用版） 第20课时 解直角三角形的实际应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 仰角与俯角 解三角形的实际应用 题18,7分 题23,12分 新课标要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题 课前小测 1.(2024·绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部 点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m,则 D 这栋楼的高度为 m(结果保留根号). 2.(2024·松原模拟预测)木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图1），被称为“亚洲第 一灯塔”，如图2，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于 它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继 续向北航行至直线AO上的点D处 (1)∠BOC= 度，∠D= 度； (2)求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，√3≈1,73.结果 精确到小数点后一位) 图1 图2 112 第二部分考点基础过关口 考点知识梳理 考点1仰角与俯角 审核心笔记 【跟踪训练】 视线 铅 1.(2024·南通三模)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆 仰角 水平线 线 、俯角 PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°，测得杆底端点Q的仰角是30°， 视线 1.拾头时，视线与水平线的夹角叫 PQ=9m.则，点A到山坡底部点C的距离为 m.(结果 2.低头时，视线与水平线的夹角叫 保留根号) 考点2坡角、坡度（坡比】 球核心笔记 【跟踪训练】 =1:m 2.(2024·自贡三模)如图，是水库大坝横断面的部分，坝高h=6m, 迎水斜坡AB=10m,斜坡的坡角为a,则该大坝的坡度为 1.坡面与水平面的夹角a叫 2.坡面的铅垂高度h与水平宽度1 的比叫坡度（坡比），记为i,i A.5 ,坡度通常写成1：m的 4 0. 形式 考点3方位角 御核心笔记 w【跟踪训练】 方位角一般指以观测者的位置为 3.(2024·济宁一模)如图，一艘船由A港沿北偏东50°方向航行 中心，将正北或正南方向作为起始 100km至C港，然后再沿北偏西25°方向航行至B港，B港在A 方向，旋转到目标方向所形成的角 (一般指锐角) 港北偏东20°方向，则A,B两港之间的距离为 北30 A.(50√3+50)km B.(50√3-50)km 北偏东30 东 C.50√3km D.50 km 南偏西45 10 459 南 考点④解三角形的实际应用 类型一 背靠背型： 1.模型分析：如图，两个直角三角形有一条公共边，互相靠着，我们称之为“背靠背型”，把图形经过平 移和旋转还可以得到“背靠背型”的相关变式图形 B 2.“背靠背型”特点：如图，通过在三角形内作高AD可将原来的斜三角形化为两个直角三角形来求 解.公共边AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD十CD=BC 113 口中考宝典·数学（广东专用版） 审【跟踪训练】 4.(2024·甘肃)习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中 和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中， “风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度” 的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EF在AH两侧，CD=EF= 1.6m,点C与点E相距182m(点C,H,E在同一条直线上)，在D处测得简尖顶点A的仰角为45°， 在F处测得简尖顶点A的仰角为53.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：血53≈号c0s53≈号， a53) D 45 539.6 类型二母子型： 变式1 玲子型 变式2 AC 转 1.模型分析：如图，“母子型”是指大的“母直角三角形ACD”中有一个小的“子直角三角形ABD”.它 们有公共直角∠D,且均位于直角边AD的同一侧. 2.“母子型”特点：通过在斜三角形ABC外部作高AD将原来的斜三角形化为两个直角三角形求解， 公共高AD关联两个直角三角形，往往是解题的关键，等量关系：BD十BC=CD 114 第二部分 考点基础过关口 审【跟踪训练】 5.(2024·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）.某 学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,EC⊥AB,垂足为 C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA)为6°，又在E处 测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°.（参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1） (1)求线段CD的长（结果取整数）： (2)求桥塔AB的高度（结果取整数）. 图① 图② 类型三其他类型： 1.不管是否符合模型，关键在于通过添加辅助线构造直角三角形，常见的辅助线是作边上的高. 2.在直角三角形中至少已知一边一角才能求其他边，若只有已知角没有已知边时，常常要设未知数， 用方程思想求解 【跟踪训练】 6.(2023·安徽)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A点到R 点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求 无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m).(参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈ 0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75) 36.99 A3242 40m R 115 口中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 考点1仰角与俯角 例1(2023秋·河南省校联考期末)如图，小诚 变1 (2024·道里区模拟)如图，某数学兴趣小组测量 在距离旗杆底部B点5m的A处测得旗 一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角 杆顶部C的仰角为60°，则旗杆BC的 为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A, 高为 ( ) B,D三点在同一直线上，若 A.10m B.5√5m AB=(8√3+8)米，则这棵树 C.5m D.√3m CD的高度是 米 6459 考点②坡角、坡度（坡比） 常考题型：(1)已知坡度求水平距离或铅直高度：(2)已知坡角求水平距离或铅直高度， 例2如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地 变2如图，某登山队在攀登一座坡角为35的山，每 毯，那么地毯长度至少需要 ( 爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相 A.2米 B.6米 邻两根标杆之间的水平距离为 C.25米 D.2+5米 80米，那么这两根标杆在坡面上 的距离AB为 米 L35 考点3解三角形的实际应用 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 图(1)是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由 解：(1)如答图，设EF所在直线交GH于点M, 手机夹架、多节套管和支架脚连接而成.使用时 GH∥BC,EF⊥BC,∴.FM⊥GH, 通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度.(2)是其 ,FG=FH=13cm,∠GFH=120°， ∠GFM=∠HFM=60°，…2分 简化示意图，手机ABCD(为矩形)与其下方套 FM=FH·cos60=13X =6.5(cm), 管EF连接于点E,E为BC的中点，EF= EF=26 cm, 26cm,支架脚FG=FH=13cm,BC与地面 .点E到地面的高度EM=EF+FM=32.5(cm),…4分 GH平行，EF⊥BC (2)如答图，延长AB与GF交于点N, ,∠FGH=40°，FG=13cm, (1)当∠GFH=120°时，求点E到地面的高度： ∴.GM=FGXcos40≈13×0.77=10.01(cm), (2)若在某环境中拍摄时，调节支架脚使∠FGH= :E为BC的中点，BC=16cm,BE=8cm,…6分 40°，BC=16cm.求点G到直线AB与GF交 如答图，过点N作NP⊥EM,垂足为P,且NP=BE=8cm, 号得△FNPAFGM,-部中宽02O 8 点的距离.（参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈ ∴.FN≈10.39cm, 点G到直线AB与GF交点的距离GN=GF-FN=13 0.77,tan40°≈0.84，√3≈ 10.39≈2.6(cm).……8分 1.73.结果精确到0.1cm) 图(1) 图(2) 解： 满分：8分 实得： 116 第二部分考点基础过关口 例3(2024·辽宁)如图1，在水平地面上，一辆 变3 (2024·永城市三模)鹤壁市玄天洞石塔，原 小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直 名玲珑塔，始建于元朝，重建于明代，是河南 向上提起，起始位置示意图如图2，此时测 省现存最大的一座楼阁式石塔，也是中原地 得点A到BC所在直线的距离AC=3m, 区保存最完整的大型青石塔.此塔坐东朝 ∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时 西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，塔身 测得∠CDB=37(点C,A,D在同一直线上， 自下而上逐层收敛.某数学社团打算运用 且直线CD与平面平行，图3中所有点在同 “解直角三角形”的知识来计算玲珑塔的高 一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程 度AB.如图，先将无人机竖直上升至30m 中绳子总长不变.（参考数据：sin37°≈0.60， 高的点P处，在点P处测得玲珑塔顶端A的 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√/3≈1.73) 俯角为25°，将无人机沿水平方向继续飞行 7.5m到达点Q,在点Q处测得塔底端B的俯 角为45°，求玲珑塔的高度AB.(结果保留一 位小数，参考数据：√2≈1.41，sin25≈0.42， 图1 图2 图3 cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) (1)求AB的长； P 0 (2)求物体上升的高度CE(结果精确到 0.1m). 117 口中考宝典·数学（广东专用版） 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟 正确率：/4】 1.(2024·长春三模)如图，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB的夹角为21°，若AC的长为a米，则窗 角C到窗框AB的距离CD为 ( A.asin21°米 B.acos21°米 C.a sin27米 D.a c0s27米 60 第1题图 第2题图 第3题园 2.(2024·竞秀区二模)如图，为了测量空中某点A离地面的高度，小敏利用测角仪在点B,C分别测得 A的仰角∠ACD为37°，∠ABD为45°，地面上的点B,C,D在同一水平直线上，BC=20m,则点A 离地面的高度AD的长为 ( (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A.30m B.80m C.60m D.50m 3.(2024·杭州三模)如图，点B位于点A的北偏东60°相距2km处，点D在点B的正北方向，且在点 A的东北方向，则点D到点A的距离为 km. 4.(2024·广州·二模)某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度.下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量标杆长CD=1.6m,影长ED=1.2m,塔影长DB=39m. 方案二：测量距离CD=35m,仰角a=37°，仰角=26.5， 请你选择一个方案，求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75， sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50) (二)命题新方向 【建议用时：5分钟正确率：/2】 1.【数学文化】（模型观念，应用意识）如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chog)捣谷物的工具一 “碓(dui)”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB⊥CD D 于点B,AB与水平线L相交于点O,OE⊥1.若BC=4分米， OB=12分米.∠BOE=60°，则点C到水平线1的距离CF为 物 分米.（结果用含根号的式子表示）. 118 第二部分考点基础过关门 2.【项目式学习】（几何直观、创新意识）(2024·冠县一模)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的 高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量 图① 【步骤二】准备测量工具 图② 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简 单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺. 【步骤三】实地测量并记录数据 读数为5丽 图③ 图④ 如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的 直径刚好到达古树的最高点.如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α.测出眼睛到地面的距离 AB.测出所站地方到古树底部的距离BD. a= .AB=1.54m.BD=10m. 【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m) (参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839) 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】. 读数为50 119