第18课时 特殊三角形-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

第二部分考点基础过关 0 第18课时 特殊三角形 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 等腰三角形 题20,6分 题18,7分 等边三角形 直角三角形 1,理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角 形的两个底角相等：底边上的高线、中线及顶角平分线重合，探索并掌 握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，探索等边 新课标要求 三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰 三角形)是等边三角形 3.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理，掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 4.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 课前小测 1.(2024·广东佛山三模)下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是 A.1,√6,7 B.3,4,5 C.2,2.3 D.5,12,13 2.(2024·青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是( A.3 B.6 C.3 D.33 D 第2题图 第3题图 第4题图 3.(2024·云南楚雄模拟预测)如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E.若CE=2,BC=3, 则口ABCD的周长为 ( A.16 B.14 C.10 D.8 4.(2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 101 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点知识梳理 考点等腰三角形 球核心笔记 【跟踪训练】 1,定义：有 的三角形1.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是( 是等腰三角形，相等的两边叫 A.12 B.15 C.12或15 D.9 ,第三边为 2.性质 2.(2024·河北张家口三模)如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据 (1)轴对称性：等腰三角形是轴对 圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是 称图形，有 条对称轴： (2)等腰三角形的两腰相等：等 A.只有甲可以 B.只有乙可以 腰三角形的两个底角相等 (即 对等角)： C.甲、乙都不可以 D.甲、乙都可以 (3)等腰三角形顶角的 底边上的 、底边上的高 60 相互重合（简称“三线合一"”）. 3.判定 (1)有 相等的三角形 第2题图 第3题 是等腰三角形： 3.(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分 (2)有 相等的三角形 ∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 是等腰三角形（即 对等边). 考点2等边三角形 都核心笔记 世【跟踪训练】 1.定义： 的三角形 4.如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC,若BD=3,则AB 是等边三角形 的长为 2.性质 (1)等边三角形是轴对称图形， 有 条对称轴： (2)等边三角形具备等腰三角形 第4题图 第6题国 的所有性质：等边三角形三 5.(2024·聊城一模)满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角 条边相等，三个内角相等，且 形的是 每个内角都等于 A.有两个内角是60°的三角形 3.判定 (1) 都相等的三角形 B.有两边相等且是轴对称图形的三角形 是等边三角形： C.有一个内角是60°且有两边相等的三角形 (2) 都相等的三角形 D.三边都相等的三角形 是等边三角形： 6.(2024·浙江杭州·三模)如图，已知点E为正方形ABCD内一 (3)有一个角是60°的 点，△ABE为等边三角形，连接ED,EC,则∠DEC的度数为 是等边三角形. ( A.120° B.150 C.108 D.135 102 第二部分考点基础过关 考点3直角三角形 切核心笔记 【跟踪训练】 1.定义：有一个角是 的三角形叫做直角三 7.(1)如图，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=30°， 角形 EF=10,则DF= 2.性质 (1)直角三角形的两个锐角 (2)已知直角三角形的斜边长是16，则斜边上的 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 中线长是 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 ,那 (3)在△ABC中，∠A=∠B=45°，BC=3,则AB 么它所对的直角边等于斜边的一半： 的长为 (4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边，b的平方 和等于斜边c的平方，即 (5)勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个 ,称为勾股数， 第7题图 第8题图 8.(2024·安宁区校级模拟)如图的数轴上，点A,C 对应的实数分别为1,3，线段AB⊥AC于点A, 且AB的长为1个单位长度，若以点C为圆心， BC的长为半径的弧交数轴于0和1之间的点 P,则点P表示的实数为 A.3-√5 B.5-2 C.5-1 D.3-√10 例题精进 考点①直角三角形的性质 例1(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大 变1 (2023·湖南)一位技术人员用刻度尺（单位： 数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立 cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已 体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰 知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A, 三角形模型（如图所示），它的顶角为120°，腰 B对应的刻度为1,7，则CD= 长为12m,则底边上的高是 A.3.5 cm A.4m B.3 cm D B 0123456789 B.6 m C.4 cm C.10m D.6 cm D.12m 103 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点②等边三角形的性质和判定 常考题型：(1)根据等边三角形的性质求线段长；(2)根据等边三角形的性质求角， 例2(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点变2(2023·益阳二模)如图，AB∥CD,△ACE为等 E在AD上，当△EBC是等边三角形时， 边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于( ∠AEB的度数为 A.40 A.30 B.30° B.45 C.20° C.60° D.15 D.120 考点3等腰三角形的性质和判定 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2023·湖南)如图，在□ABCD中，DF (1)证明：在□ABCD中，AB∥CD,∴.∠CDE=∠F, 平分∠ADC交BC于点E,交AB的延长线于 ,DF平分∠ADC,∠ADE=∠CDE,…2分 点F ∴.∠F=∠ADF, (1)求证：AD=AF; AD=AF;… 4分 (2)若AD=6,AB=3,∠A=120°，求BF的长和 (2)解：，AD=AF=6,AB=3, △ADF的面积. ∴.BF=AF-AB=3;…5分 (1)证明： 过点D作DH⊥AF交FA的延长 答图 线于点H,如答图， ∠BAD=120°.∠DAH=60°，∴.∠ADH=30°， AH=2AD=3,…7分 (2)解： ∴.DH=√AD-AH=33, ∴△ADF的面积= AF,DH 1×6×33=93. 小…小…小…9分 满分：9分 实得： 例3(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边 变3 如图，E为AC上一点，连接BE,CD平分 长分别是方程x2一10.x十21=0的两个 ∠ACB交BE于点D,且BE⊥CD,∠A 根，则这个三角形的周长为 ( ∠ABE,AC=10,BC=6,则BD的长为 A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 A.1.2 B.1.5 C.2 D.3 104 第二部分考点基础过关 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟正确率：3】 1.(2024·江苏南京模拟预测)在△ABC中，三个内角的度数分别为a,3,y,且满足等式|a一3十(a Y)”=0,这个三角形是 A只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 2.(2024·礼县模拟)如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿 AB离岸边点C处的距离CD=1.5米，竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉 向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为 () A.2米 B.2.5米 C.2.25米 D.3米 D 第2题国 第3题图 3.(2023春·深圳统考期末)如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别是BC,AC边的中点，连接AD, 点P是AD上一动点，若AD=8,则PC十PE的最小值是 A.2 B.4 C.8 D.16 (二)命题新方向 【建议用时：15分钟正确率：/3】 1.【新考法】（几何直观、模型观念）(2024·淮安)如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图 形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为1，则下列整数与 l最接近的是 ( A.14 B.13 C.12 D.11 第1题围 第2题图 第3题图 2.【传统文化】（空间观念、应用意识）(2024·广陵区一模)象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘 中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与 “帅”的最大距离是 3.【新定义】（几何直观、创新意次）(2024·辽宁铁岭三模)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业 生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，边长为半径作弧， 三段圆弧围成的封闭图形是~来洛三角形”，若该~菜洛三角形“的面积为。.则等边三角形AC 的边长为 105新操标中考宠典数学（广东专用版） AB=DC,.AD=DE·DC: (2)连接AC交BD于点O,如答 例3解：∠C=90∴血A-指-是 图所示， 令BC=5x,AB=13x, 在矩形ABCD中，∠ADE=90, ∴.AC=√AB-BC=√/I3x)-(5)=12x, 则∠DAE+∠AED=90°， :∠BDC=45°，∠C=90°，∠BDC=∠CBD=45, AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB= BC=CD=5x,..AD=AC-CD=7x=7, 90°，∴∠ADB=∠AED, 答图 ∴.x=1.∴.CD=5x=5. :∠FEC=∠AED,·∠ADO=∠FEC,在矩形ABCD 变3解：如答图，过点A作AD⊥BC于 中，0A=0D=号BD, 点D,则∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中， .EF-CF-7BD,:.0A-OD-EF-CF, ∠B=30°，AB=43 答图 ·∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE, '∠ADO=∠FEC, 六BD-AB.cos30-4BX号-6， .∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE, AD-AB-=25, ∠ODA=∠FEC, 在△ODA和△FEC中， ∠OAD=∠FCE, 在Rt△ACD中，tanC= 0-号AD-25 OD-FE, :.CD=4,..BC=BD+CD=10. △ODA2△FEC(AAS),.CE=AD. 中考演练 3.C4.C (一)经典考题 (二)命题新方向 1.16.82.203.C 1.A2.asin03号 第18课时 特殊三角形 课前小测 4解：原式=是-2×（号）+受×（停）-号 1.C2.A3.A4.100 11 考点知识梳理 =2-1+2- 【核心笔记】 1 1.两边相等腰底 2 2.(1)1(2)等边(3)平分线中线 5.解：(1)由题意得：CD⊥AB, 3.(1)两条边(2)两个角等角 '.∠AEC=∠BEC=90°， 1,三条边相等2.(1)3(2)60 在R△ACE中，mA-爱-号 3.(1)三条边(2)三个角(3)等腰三角形 1.直角2.(1)互余(2)一￥(3)30(4)a2+8=2 .设CE=2a,则AE=5a, (5)正整数 .AC=√AE+CE=√(5a)+(2a)=√29a, 【跟踪训练】 ∴imA-C票-2a=22厘 1.B2.D3.24.65.B6.B7.(1)5(2)8(3)32 AC√29a29 8.A 在△BCE中，mB=能-， 例题精讲 .设CE=3k,则BE=5k, 例1B变1B例2C变2C例3C变3C 中考演练 ∴.BC=/CE+BE=√(3k)+(5k)=/34k, (一)经典考题 ∴cosB=5-5k-53 1.B2.A3.C BC√34k34 (二)命题新方向 sin A=229 1.B2.53.1 29 ,c0sB=534 341 第19课时锐角三角函数 (2)设AE=a米， 课前小测 AB=2米，.BE=AB-AE=(2-a)米， 1.D2B34544后5号 在R△ACE中，amA=号， 考点知识棱理 CE=AE·tanA-名 a(米)， 【核心笔记】 在R△BCE中，mB=号 515 ∴，CE=BE·tanB= 号(2-a*). 3 【跟踪训练】 号a=号2-，解得a=号 1.A29 3.A4.45°5.96.30°7.A CE-号4-号（米）， 例题精讲 例1B变1D例2A变275 CE的长为号米。 8