第17课时 相似三角形-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

AC=8 cm, ,AE=BF,△AEC≌△BFD(AAS), 六Sa=2AB·AC=7X6X8=24(cm), .AC=BD. ..AC-BC=BD-BC,AB=CD: 又：AE是边BC的中线，.Sae=2Sac=12(cm2), 选择②CE=DF,无法证明△AEC≌△BFD,无法得出 AB-CD: △ABE的面积是12cm. 选择③∠E=∠F: (3)AE为BC边上的中线，.BE=CE, :AE∥BF,∴∠A=∠FBD, ·△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE- ,AE=BF,∠E=∠F,△AEC≌△BFD(ASA), (AB+BE+AE)-AC-AB-8-6=2(cm), ..AC=BD,.AC-BC=BD-BC,AB=CD: 即△ACE与△ABE的周长的差是2cm 故答案为①或③（答案不准一）. (二)命题新方向 第17课时相似三角形 1.D2.B 第16课时全等三角形 课前小测 2 课前小测 1.D2.D3.7 4.6 1.B2.C3.100 考点知识梳理 考点知识梳理 【核心笔记】 【核心笔记】 1.重合 1.合= 成比例线段2.ad=bc 2.(1)对应边(2)对应角 3.黄金分割点黄金比0.618 (2)高中线周长面积 1.平行线2.成比例 1.(1)相等SSS(2)夹角SAS(3)夹边ASA 1.(1)形状相同(2)角成比例(3)对应边 (4)对边AAS(5)直角HL 2.(1)相等成比例(2)相似比相似比 【跟踪训练】 3.(1)平行(2)相等(3)成比例(4)成比例夹角 1.B2.583.B4.B 1.位似位似中心2.相似比相似比相似比 例题精讲 【跟踪训练】 例1B变1D例2D变2D 1.B2.C3.504.25.C6.C7.C8.B9.D 例3正明：：△ABC是等边三角形， 10.C11.B12.A13.C14.C ∴.AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°， 例题精讲 ∴.∠ABD=∠ACE=120°， 例1D变112例2C变22 AB=AC, 例3证明：四边形ABCD是矩形， 在△ABD和△ACE中， ∠ABD=∠ACE, ∴∠ADE=∠DCF=90°，.∠CDF+∠DFC=90°， BD-CE. AELDF,.∠DGE=90°， ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠D=∠E .∠CDF+∠AED=90°，.∠AED=∠DFC 变3解：△CBD≌△CAE.理由如下： ∴.△ADE∽△DCF. '∠ACB=∠DCE=90°， 变3解：设过t秒时，以C,P,Q为顶点的三角形恰与△ABC .∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 相似， 即∠BCD=∠ACE, 则BP=2t(cm), BC=AC, CP=BC-BP=(8-2t)cm.CQ=t cm, 在△CBD与△CAE中，∠BCD=∠ACE. :∠C是公共角， DC=EC. '.△CBD≌△CAE(SAS). ①当需-器，即8=吉时，△CPQ△CBA 8 中考演练 解得t=2.4: (一)经典考题 ②当器-器即8-言时，△cPo△CB, 1.A2.B3.2.25或3 4.(1)证明：：∠CDE+∠C=180°， 解得4=器 .DE∥AC,.∠EDB=∠C, ∠E=∠ABC, 过2.4或器秒时，以C,P,Q为顶点的三角形恰与 在△BDE和△ACB中，∠EDB=∠C, △ABC相似， BD=AC. 中考演练 .△BDE≌△ACB(AAS),.DE=BC (一)经典考题 (2)解：由(1)可知，DE=BC,DE=12,∴BC=12, 1,∠D=∠ABC(答案不唯一) :D为线段BC的中点，BD=号BC=号×12=6， 2.证明：(1)在矩形ABCD中，，∠BAD=90°，∠ADE=90°， AB=DC, 由(1)可知，△BDE2△ACB,∴.AC=BD=6. ∠ABD+∠ADB=90°， (二)命题新方向 AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=9O, 1.D2.100 .∠ABD=∠DAE, 3.①或③ '∠BAD=∠ADE=90°， 解：选择①CE∥DF: :AE∥BF,CE∥DF,∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA, △ADB△BAD,÷贺-器即AD=DE,BA, 新操标中考宠典数学（广东专用版） AB=DC,.AD=DE·DC: (2)连接AC交BD于点O,如答 例3解：∠C=90∴血A-指-是 图所示， 令BC=5x,AB=13x, 在矩形ABCD中，∠ADE=90, ∴.AC=√AB-BC=√/I3x)-(5)=12x, 则∠DAE+∠AED=90°， :∠BDC=45°，∠C=90°，∠BDC=∠CBD=45, AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB= BC=CD=5x,..AD=AC-CD=7x=7, 90°，∴∠ADB=∠AED, 答图 ∴.x=1.∴.CD=5x=5. :∠FEC=∠AED,·∠ADO=∠FEC,在矩形ABCD 变3解：如答图，过点A作AD⊥BC于 中，0A=0D=号BD, 点D,则∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中， .EF-CF-7BD,:.0A-OD-EF-CF, ∠B=30°，AB=43 答图 ·∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE, '∠ADO=∠FEC, 六BD-AB.cos30-4BX号-6， .∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE, AD-AB-=25, ∠ODA=∠FEC, 在△ODA和△FEC中， ∠OAD=∠FCE, 在Rt△ACD中，tanC= 0-号AD-25 OD-FE, :.CD=4,..BC=BD+CD=10. △ODA2△FEC(AAS),.CE=AD. 中考演练 3.C4.C (一)经典考题 (二)命题新方向 1.16.82.203.C 1.A2.asin03号 第18课时 特殊三角形 课前小测 4解：原式=是-2×（号）+受×（停）-号 1.C2.A3.A4.100 11 考点知识梳理 =2-1+2- 【核心笔记】 1 1.两边相等腰底 2 2.(1)1(2)等边(3)平分线中线 5.解：(1)由题意得：CD⊥AB, 3.(1)两条边(2)两个角等角 '.∠AEC=∠BEC=90°， 1,三条边相等2.(1)3(2)60 在R△ACE中，mA-爱-号 3.(1)三条边(2)三个角(3)等腰三角形 1.直角2.(1)互余(2)一￥(3)30(4)a2+8=2 .设CE=2a,则AE=5a, (5)正整数 .AC=√AE+CE=√(5a)+(2a)=√29a, 【跟踪训练】 ∴imA-C票-2a=22厘 1.B2.D3.24.65.B6.B7.(1)5(2)8(3)32 AC√29a29 8.A 在△BCE中，mB=能-， 例题精讲 .设CE=3k,则BE=5k, 例1B变1B例2C变2C例3C变3C 中考演练 ∴.BC=/CE+BE=√(3k)+(5k)=/34k, (一)经典考题 ∴cosB=5-5k-53 1.B2.A3.C BC√34k34 (二)命题新方向 sin A=229 1.B2.53.1 29 ,c0sB=534 341 第19课时锐角三角函数 (2)设AE=a米， 课前小测 AB=2米，.BE=AB-AE=(2-a)米， 1.D2B34544后5号 在R△ACE中，amA=号， 考点知识棱理 CE=AE·tanA-名 a(米)， 【核心笔记】 在R△BCE中，mB=号 515 ∴，CE=BE·tanB= 号(2-a*). 3 【跟踪训练】 号a=号2-，解得a=号 1.A29 3.A4.45°5.96.30°7.A CE-号4-号（米）， 例题精讲 例1B变1D例2A变275 CE的长为号米。 8口中考宝典·数学（广东专用版） 第17课时 相似三角形 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 黄金分割 题6,3分 相似三角形的性质 题15,3分 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段：通过建筑、艺术上的实 例了解黄金分割 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3.了解相似三角形的性质定理和判定定理，“了解相似三角形判定定理 的证明 新课标要求 4.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比 5.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 7.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点分别扩大（或缩 小)相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的 课前小测 1.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是 A.1:2 B.14 C.1:8 D.1:16 2.(2024·河北沧州期中)如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C‘是位似图形，则位似中心是 ( A.点R B.点P C.点Q D.点O 第2题图 第4题图 (2024·安阳模拟)若”。-昌则2 4.(2024·吉林模拟预测)如图，两条直线被三条平行线所截，若AB:BC-23,DE=4,则EF的长为 94 第二部分考点基础过关 考点知识梳理 考点比例线段 球核心笔记 【跟踪训练】 1.比例线段：四条线段a,b,c,d 1.如果6m=7n(n≠0)，那么下列比例式成立的是 中，如果a与b的比等于c与d C."6 的比，即 ,那么这四 Ag- n 7 条线段叫做 2.(2024·全国专题练习)下列各组中的四条线段成比例的是( 2.比例的基本性质：若号-行则 A.a=1,b=2,c=3,d=4 B.a=2,b=3,c=4,d=5 C.a=2,b=3,c=4,d=6 D.a=2,b=4,c=6,d=8 3.黄金分割：点C把线段AB分成 3.(2024·陕西渭南二模)某品牌的行李箱拉杆拉开后如图所示放 两条线段AC和BC(AC>BC), 置，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底 且脂-瓷那么点C叫数钱段 部到拉杆顶部的高度D之比清足黄金分制间部5，已知 AB的 :AC与 AB的比叫做 ,即 CD=25(5+1)cm.则AB的长为 cm. AC-B-1≈ A 2 (2024·重庆模拟)已知号-名-号，则十2为的值是 3a-2bc 考点2平行线分线段成比例 审核心笔记 【跟踪训练】 1.平行线分线段成比例定理：两条 5.(2024·东坡区模拟)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平 直线被一组 所截，所 行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上，若线 得的对应线段成比例 2.推论：平行于三角形一边的直线 段AB=3,则线段BC的长是 ( 与其他两边（或两边的延长线）相 交，载得的对应线段 A号 B名 C.1 6.(2024·姑苏区校级二模)如图，已知点A(0,6)在y轴上，点B为 x轴正半轴上一动点，连接AB.将线段AB绕点A逆时针旋转 90°得到线段AC,连接BC,取BC的中点D,连接OD,移动点B, 14 若OD∥AC,则此时点B的横坐标为 A.3 B.5 C.6 D.8 95 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点③相似三角形的性质与判定 母核心笔记 审【跟踪训练】 1.相似图形的有关概念 7.(2024·新疆克孜勒苏二模)下列哪组图形是相似图形？( (1) 的图形称为相 似图形. (2)两个边数相同的多边形，如果 它们的 分别相等，对应 边 ,那么这两个多 8.两个相似三角形的周长比是1：2.则其相似比是 { 边形叫做相似多边形. A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 (3)相似比：相似多边形 9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽ 的比叫做相似比 △ADE的是 ( 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角 A.∠C=∠E B.∠B=∠E C.AB-AE n铝船 对应边 (2)相似三角形对应高的比、对应中 线的比、对应角平分线的比和 周长的比都等于 △76 (3)相似三角形面积的比等于 第10题图 第11题因 的平方， 10.(2024·罗湖区校级模拟)如图，在△ABC中，∠A=76°，AB=8, 3.相似三角形的判定方法 (1) 于三角形一边的直 AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原 线和其他两边相交，所构成 三角形不相似的是 的三角形与原三角形相似， (2)两角分别 的两个三 角形相似。 (3)三边 的两个三角 B 形相似. (4)两边 且 11.(2024春·乳山市期末)如图，点P在△ABC的边AB上，∠A 相等的两个三角形相似 70°，∠B=45°，若△ABC∽△ACP,则∠APC= A.75 B.65 C.559 D.45 考点4相似三角形的应用 核心笔记 【跟踪训练】 利用相似三角形解决实际问题，常见问题有： 12.如图，已知零件的外径是7cm,现用一个交叉卡 (1)测量不可以到达对岸的河的宽度： 钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔 (2)测量底部不可以到达的物体的高度； 直径AB.如果OA:OC=OB:OD=2:1,且量得 (3)利用投影、平行线、标杆等构造相似图形求解 CD=3cm,则零件的厚度为 问题： A.0.5 cm (4)证明线段的数量关系，求线段的长度、图形的面 B.1 cm 积大小等： C.1.5 cm (5)利用相似三角形的有关知识测量两建筑物之间 D.2 cm 的距离. 96 第二部分考点基础过关 考点⑤位似 审核心笔记 审【跟踪训练】 1.如果两个图形不仅相似，而且对 13.(2024·重庆三模)如图，△ABC与△A1B,C,是以点O为位似 应顶点的连线（或其延长线）相 交于一点，那么这两个图形叫做 中心的位似图形，若OC,= 20C,△A,BC的面积为1，则 图形，这个交点叫做 △ABC的面积为 2.位似图形上任意一对对应点到位似 A.1 B.2 中心的距离之比等于 C.4 D.8 B 位似图形周长的比等于 14.(2024·山西阳泉三模)如图，在平面直角坐标系中，△OAB与 面积比等于 的平方 △OCD的位似比是2：1，若点A(-3,2),B(一2，一2)，则点B的 3在平面直角坐标系中，如果以原 点为位似中心，相似比为k,则 对应点D的坐标为 原图形上的点(x,y)对应的位 A.(-1,-1) 似图形上的点的坐标为(kx, B.(-4,-4) ky)或(-kx,一ky C.(-1,-1)或(1,1) D.(-4,-4)或(-1，-1) 十十对中1十十方方十十行”1卡十行为中十1节行中十十十十中中于无1下无11于中中于1中中中十十十形 例题精进 考点平行线分线段成比例 例1(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D,E 变1(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相 分别为边AB,AC的中点.下列结论中，错 交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是 误的是 14,若AB=6,则CD的长为 A.DE∥BC A B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE D.S△DE= 1 考点②相似三角形的性质 常考题型：(1)利用相似三角形求长度、角、面积；(2)利用相似三角形解决实际问题， 例2(2024·连山区二模)如图是钉板示意图，每 变2(2024·北京三模)如图，在平行四边形 相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正 ABCD中，点M为边CD的中点，AM与 方形顶点，钉点A,B的连线与钉点C,D的连 BD相交于点N,已知S△vM=1,那么 线交于点E,则△BDE面积为 S△ADN= A月 B号 c号 5 97 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点③相似三角形的判定 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：如图，在△ABC中，BC=12,高AD=6, 解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x, 正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB. :四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90, AC上，AD交EF于点N,求AN的长， EF∥BC,∴.△AEFC∽△ABC,…2分 解： ,AD是△ABC的高，，∠HDN=90°，∴.四边形 EHDN是矩形，.DN=EH=x,…3分 :△AEF△ABC8-能（和级三角考对应 边上的高的比等于相似比)，…5分 ?BC=12.AD=6AN=6-,6。=意解 得江=4，……6分 ∴.AN=6-x=6-4=2. …8分 满分：8分 实得： 例3(2023·山东节选)如图，在矩形ABCD 变3如图所示，∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm, 中，点E,F分别在边DC,BC上，AEI 点P从点B出发，沿BC向点C以2cms DF,垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF 的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点 A以1cm/s的速度移动，如果P,Q分别从 B,C同时出发，过多少秒时，以C,P,Q为顶 点的三角形恰与△ABC相似？ 98 第二部分考点基础过关口 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟正确率：/4】 1.(2024·云南昆明·三模)如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD,添 加一个条件，使△BDE)△ABC.你添加的条件是 2.(2024·上海)如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. (1)求证：AD=DE·DC: (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=2BD,求证：CE=AD. 99 口中考宝典·数学（广东专用版） 3.(2024·潮阳区模拟)如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平 行，则点P表示的数是 A.√2 B.2 c. D.5 0 eenbenesubebe 0 P B 第3题因 第4题图 4.(2024·丰润区一模)如图，在△ABC中，直尺的边与BC重合，另一边分别交AB,AC于点D,E.其中点 B,C,D,E,处的读数分别为8,16,10.5,14.5，已知直尺宽为2，则△ABC中BC边上的高为( A.2 B.3 C.4 D.6 (二)命题新方向 【建议用时：5分钟正确率：/3】 1.【数学文化】（模型观念，几何直观）(2024·建始县模拟)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法. “矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量 物体的高度.如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A,B,N在同一水平线上，∠ABC 和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D,测得AB=40cm,BD=30cm,BN=22m,则信号塔MN 的高度为 m. B -30 cm2 cm 第1题因 第2题图 第3题图 2.【跨学科融合】（模型观念、应用意识）(2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利 用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直 放置)上成像A'B'.设AB=36cm,A'B'=24cm.小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的 距离为 cm. 3.【北师八下数学理解改编】（几何直观、推理能力、模型观念）(2024·巴中)如图，是用12个相似的直角 三角形组成的图案.若OA=1,则(OG= ) A.1256 & c D.323 64 27 100