第15课时 三角形的基本概念与性质-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

新课标中考实典数(广东专用版) 20.得25-20.解得p-0.8. (2)把h-25代入-20 2/2 9.C 10.19 11.D 答:该液体的密度p为0.8g/cm. 例题精讲 例1 B 变1C 例2 30* 变2 A 例3 解:(1)15” (2)DE1BE,理由如下; 将y-代人y-ar中,得-ar. : AEB-60*},AD/BC. ' DAE- AEB-6 0 D()-(_,an). ·AE平分 BAD...BAD=2DAE=12 'AB/CD ADC=180*-BAD=60° ·ADE-3CDE.ADE= ADC+ CDE c.函数y-的图象必经过点C; $ ADE=ADC=90”。 (2)解;:B(1,2)在直线y=ax上.'a=2.y-2x. 又:AD/BC.BED-180*- ADE=9$$ .DE1BE. A点的横坐标为1,C点的纵坐标为2 变3 ·函数y-的图象经过点A.C. 解;(1)AB/CE.理由如下; ·乙1+乙2-180”(已知). .C(2)A(1,h).:.D().vDC=k一2, 2.DE/BC(同旁内角互补,两直线平行). 2.乙ADF一乙B(两直线平行,同位角相等). ·把矩形ABCD沿BD折 r :B-乙E(已知), 叠,点C的对应点为E. .ADF一乙E(等量代换), '.AB/CE(内错角相等,两直线平行). (2)'AB//CE.B+ BCE-180”. BED- BCD-90*. - ,B-50” .BCE-130*. ·CA平分乙BCE.. ACF- BCE-65°。 BE: /0 AB/CEA- ACE-65”。 如答图,过点D作DHy 中考演练 轴,过点B作BFy轴, 答图 ·AD/:轴:H.A.D三点共线, (一)经典考题 1.B 2.A 3.B $. HED+ $BEF=90{$ BEF+ EBF=90{$$$ (二)命题新方向 ' HED- EBF. 1.A 2.C .DHE- /EFB=90”,$△HDEC0△FEB _一 第15课时 三角形的基本概念与性质 课前小测 1.B 2.D 3.8 4.20* 5.4 考点知识梳理 .HF=2+,由答图1知,HF=DC. 【核心笔记】 1.(1)大于(2)小于 2.180 360(1)等于 (2)大于 3.稳定性 1.(1)# 第四章 三角形 (2)三边 # 第14课时 线、角、相交线与平行线 4.(1)/ 课前小测 【跟踪训练】 1.B 2.C 3.C 4.B 1.A 2.D 3.C 4.B 5.a+b+c 6.C 7.C 8.A 考点知识梳理 9.2.5 10.6 【核心笔记】 例题精讲 1.直线 一个 两个 2.(1)两点(2)两点之间 例1 20* 变165 例2C 变2C 例3 A 1.射线 e 60 60 2.90 相等 3.180 相等 变315 4.反向延长线 相等 中考演练 1.平行 相交 2.(1)平行 3.相等 (一)经典考题 5.同位角 内错角 同旁内角 6.同位角 1.C 2.C 3.B 4.B 1.一条 2.线段 3.垂线段 5.解:(1)'BAC-90*,AD是边BC上的高, 1.(1)角平分线 (2)角平分线 .AB·AC-BC·AD. 2.(1)线段垂直平分线 (2)垂直平分线 1.正确 不正确 正确 错误 .AD-AB.AC_68_4. 8(cem), 2.结论 题设 BC 10 【跟踪训练】 即AD的长度为4.8cm; 1.D 2.9 cm或3 cm 3. C 4. D 5. C 6.C 7. C 8. (2)·'△ABC是直角三角形,乙BAC=90{*,AB-6cm. 参考答案 AC-8 cm. .AE-BF..'△AEC△BFD(AAS) AB·AC-×6×8-24(em). .S '.AC-BD. '.AC-BC-BD-BC,即AB=CD; 又'AE是边BC的中线.'S-S=12(cm ). 选择②CE-DF;无法证明△AEC△BFD.无法得出 AB-CD; '.△ABE的面积是12cm. 选择③乙E-乙F; (③)AE为BC边上的中线...BE一CE '.△ACE的周长一△ABE的周长=AC十AE+CE- .AE//BF..'A- /FBD (AB+BE+AE)-AC-AB-8-6-2(cm), .AE=BF.E- F...AFC△BFD(A$A). 即△ACE与△ABE的周长的差是2cm. '.AC=BD...AC-BC=BD-BC,即AB-CD; 故答案为①或③(答案不唯一). (二)命题新方向 1.D 2.B 第17课时 相似三角形 第16课时 课前小测 全等三角形 课前小测 4.6 1.B 2.C 3.100* 考点知识梳理 考点知识梳理 【核心笔记】 【核心笔记】 1.- 成比例线段 1.重合 2.d-hc 2.(1)对应边(2)对应角 3.黄金分割点 黄金比 0.618 (2)高 中线 周长 面积 1.平行线 2.成比例 1.(1)相等 sSS (2)夹角 SAS (3)夹边 1.(1)形状相同(2)角 成比例 ASA (3)对应边 (4)对边 AAS(5)直角 HL. 2.(1)相等 成比例(2)相似比 相似比 (2)相等(3)成比例 3.(1)平行 【跟踪训练】 (4)成比例 夹角 1. B 2.58 3. B 4. B 1.位似 位似中心 2.相似比 相似比 相似比 例题精讲 【跟踪训练】 例1 B 变1 D 例2 D 变2 D 1.B 2.C 3.50 4.2 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 例3 证明:,△ABC是等边三角形, 10.C 11.B 12.A 13.C 14.C '.AB-AC.ABC= ACB-60* 例题精讲 .. /ABD-/ACE-120*. 例1D变112 例2C变2 2 AB-AC. 例3 证明:,四边形ABCD是矩形, 在△ABD和△ACE中, ABD=ACE. '. ADE= DCF=90. CDF+ DFC-90 BD-CE. .AF DF... DGF-90*: '△ABD△ACE(SAS)../D- E '. CDF+ AED=90*.AED= DFC 变3 解:△CBD△CAE.理由如下: .△ADEo△DCF. 变3 . ACB- DCE-90*. 解:设过/秒时,以C.P.Q为顶点的三角形恰与△ABC '. /ACB+/ACD=/DCF十/ACD 相似. 即BCD-ACE. 则BP-2t(cm). BC-AC. CP-BC-BP-(8-2t)cm,CQ-tcm. 在△CBD与△CAE中. 乙BCD=乙ACE. ./C是公共角: DC-EC. .□C-2-时.:△CPQ△CBA. .△CBD△CAE(SAS). 8 中考演练 解得-2.4; ②-2-一时,△CQ△CAB. (一)经典考题 1.A 2.B 3.2.25或3 解得_ 4.(1)证明:'CDE+C-180”. '.DE/AC.EDB-C. .过2.4或秒时,以C.P.Q为顶点的三角形恰与 E=乙ABC. 在△BDE和△ACB中,EDB-C. △ABC相似. IBD-AC. 中考演练 'BDE/ACB(AAS)..'DEBC (一)经典考题 (2)解:由(1)可知,DE-BC.'·DE=12...BC=12. 1.乙D-乙ABC(答案不唯一) 2.证明;(1)在矩形ABCD中.' BAD-90”.ADE-90。 AB-DC: 由(1)可知,△BDE△ACB..'AC-BD-6. '. ABD+ ADB-90{. (二)命题新方向 :AE BD.DAE+ ADB-90*. 1.D 2.100 .ABD-乙DAE. 3.①或③ .乙BAD-乙ADE-90. 解:选择①CE/DF; :AF// BF.CE//DF.' A= FBD. D= ECA. 7 __第二部分考点基础过关 加 第15课时 三角形的基本概念与性质 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 三角形的中位线 题6,3分 题5,3分 多边形 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形 的稳定性 新课标要求 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角的和 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边 课前小测 1.(2023·云南统考)如图，A,B两点被池塘隔开，A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N. 若MN=3米，则AB ( A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 第1题因 第2题图 第3图 第4避图 2.(2024·西城区二模)如图，直线AB⊥CD于点C,射线CE在∠BCD内部，射线CF平分∠ACE.若 ∠BCE=40°，则下列结论正确的是 A.∠ECF=609 B.∠DCF=30 C.∠ACF与∠BCE互余 D.∠ECF与∠BCF互补 3.(2024·榆林模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BP平分∠ABC交AC于点P,PE⊥AB于 点E,若BC=8,AC=6,则△AEP的周长为 4.(2023·山东东营统考)如图，AB∥CD,点E在线段BC上（不与点B,C重合），连接DE,若∠D= 40°，∠BED=60°，则∠B= 5.(2024·浙江)如图，D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若∠AED= ∠BEC,DE=2,则BE的长为· 83 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点知识梳理 考点I三角形的分类 审核心笔记 【跟踪训练】 1.按角分类 1.下列说法不正确的是 锐角三角形 A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 三角形钝角三角形 直角三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 2.按边分类 C.有两个角互余的三角形是直角三角形 三边都不相等的三角形 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 穷 等腰 底边和腰不相等的 2.(2022·河北石家庄模拟预测)如图，一只手盖住了一个三角形的 等腰三角形 形 三角形 等边三角形 部分图形，则这个三角形不可能是 A.钝角三角形 B.直角三角形 30m C.等腰三角形 D.等边三角形 考点2三角形的边角关系 r核心笔记 【跟踪训练】 1,三角形三边关系 3.(2024·湖南长沙三模)下列长度的三条线段，能组成三角形 (1)三角形的任意两边之和 的是 第三边； (2)三角形的任意两边之差 A.1,2,3 B.2.3,7 C.2,6,7 D.3,3,6 第三边 4.(2024·长春·一模)三角形结构在生产实践中有着广泛的应用， 2.三角形的内角和等于 如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ( 三角形的外角和等于 (1)推论1：三角形的一个外角 与它不相邻的两个 内角的和： (2)推论2：三角形的一个外角 与它不相邻的任何 A.两点之间，线段最短 一个内角. B.三角形的稳定性 3.三角形有 C.三角形的任意两边之和大于第三边 D.三角形的内角和等于1809 5.已知a,b,c是△ABC的三条边长，化简|b十c-a十b-c-a十 |c一a一b的值为 84 第二部分考点基础过关 考点③三角形中的重要线段 可核心笔记 【跟踪训练】 1.三角形的中线 6.不一定在三角形内部的线段是 A.三角形的角平分线B.三角形的中线 C.三角形的高 D.三角形的中位线 7.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE∥OB (1)性质：BD=CD= BC: 交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC=2,则 (2)重心：三角形三条 的交点； OD的长为 (3)应用：中线平分三角形的对边，除此之外，每 A.2 条中线将三角形分成面积相等的两部分： D B.23 S△D=S么ND. 2.三角形的高 C.4 D.5 8.(2024春·石家庄期末)如图，BD,BE,BF分别 是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中 (1)性质：AE⊥BC:即∠AEB=∠AEC= 错误的是 (2)垂心：三角形三条 的交点： A.AE=EC (3)应用：与三角形面积有关. 3.三角形的角平分线 F2∠ABC B.∠ABE= C.AC=2CF D.BD⊥CD 9.一个三角形的三条边的长度分别为3,4,5，则这 (1)性质：∠1=∠2= 个三角形最长边上的中线长为 ∠BAC: 10.如图，AD是△ABC的中线，AB=8cm,△ABD与 (2)内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三 角形 的距离相等； △ACD的周长差为2cm,则AC= cm. (3)应用：利用角平分线上的点到角两边的距离相等. 4,三角形的中位线 (1)性质：GH BC.GH= BC; (2)应用：在三角形中通到中点时，常构造中位线. ①递定理一：在三角形内，与三角形的两边相 交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线： ②逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的 中点，且与另一边平行的线段，是三角形的 中位线 85 口中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 考点1三角形内、外角和定理 例1(2024·山西晋城期中)如图，在△ABC 变1如图，AE是△ABC的外角∠CAD的平分 中，∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC交 线，且AB=AC,∠ABC=65°，则∠DAE BC于点D,点E为CB的延长线上一点， 0 过点E作EF⊥AD于 点F,若∠C=40°，则 ∠E= 考点2三角形的重要线段 常考题型：(1)利用三角形的重要线段求角度、线段长：(2)利用三角形的重要线段求面积 例2以下列每组数为长度（单位：cm)的三根小 变2在△ABC中，BC=3,AC=4,下列说法错误 木棒，其中能搭成三角形的是 ( 的是 A.2,2,4 B.1,2,3 A.1<AB<7 C.3,4,5 D.3,4,8 B.SAABC≤6 C.△ABC内切圆的半径r<1 D.当AB=√7时，△ABC是直角三角形 考点③三角形中的重要线段 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：(2024·沧州校级期末)如图，在△ABC 解：(1)，AD为边BC上的高，△ABC的面积为30， 中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一 “号0AD-30∴号CX5=30C=12.…1分 点，连接AE (1)当AE为边BC上的中线时，若AD=5, :AE为边BC上的中线CE-2BC=6…3分 △ABC的面积为30，求CE的长： (2):∠C=66,∠B=34°， (2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°， ∴.∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-66°-34°=80°， ∠B=34°，求∠DAE的度数. 解：(1) :AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE-2∠BAC=40, …5分 :∠ADC=90°，∠C=66°， (2) ∴.∠CAD=90°-66°=24°， ……6分 ∴.∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-24°=16°.…8分 满分：8分 实得： 86 第二部分考点基础过关门 例3(2024·陕西榆林期末)如图，已知点M是 变3(2022·株洲)如图所示，点O在一块直角三 △ABC的边BC上一点，且BM=2CM, 角板ABC上（其中∠ABC=30),OM⊥AB 线段AM与△ABC的中线BN交于点O, 于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则 连接MN,若△ABC的面积为12，则 ∠ABO= 度 △CMN的面积是 A.2 B.4 C.3 D.1.5 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟 正确率：15】 1.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE,则图 中的直角三角形有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第1题图 第4题因 2.(2024·天河区校级一模)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点O是内心，则∠BOC的 度数是 ( A.50° B.100° C.1159 D.1209 3.(2024·长沙·模拟)已知三条线段的长分别是6，m,8,若它们能构成三角形，则整数m的最小值是 ( A.2 B.3 C.6 D.8 4.(2024·合肥期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，连接BE,CE,若△ABC与 △DEC的面积差为9，则△ABC的面积为 A.9 B.12 C.15 D.18 87 口中考宝典·数学（广东专用版） 5.(2024·河南驻马店阶段练习)如图所示，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC= 8cm,BC=10cm,∠CAB=90°.试求： (1)AD的长： (2)△ABE的面积： (3)△ACE与△ABE的周长的差. D (二)命题新方向 【建议用时：5分钟正确率：/2】 1.【新考法】(2024·桥东区模拟)用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下 列三角板的摆放位置正确的是 2.【数学文化】（新定义、几何直观）(2024·昌图县一模)《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之 宣(u0),一宣有半谓之橘(zhú)…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做 褐…即：1宜=2矩，1福=12宜（其中，1矩=90），问题：图(1)为中国古代一种强弩图，图(2) 为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C的度数为 A.15 B.22.5 C.30 考工记 D.45 图1) 88