第12课时 二次函数的图象和性质-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

【跟踪训练】 c=0, a=一3. 1.D2.A8y=-64.D5.0<<16.y= 7.k>2 得a++c=27,解得6=30. 4a+2b+c=48. c=0 例题精讲 .y关于1的函数解析式为y=一3产十301。 例1C变1<例？B变222 (2)当1=4时，y=一3×45+30×4=72， 253 答：汽车刹车4s后，行驶了72m: 例3解：口)：一次函数=一十m与反比例函数：= (3)不会.理由如下：”y=-3+301=-3(t-5)2+75, ∴.当=5时，汽车停下，行驶了5m, 相交于点A和点B(3,一1)， 75<80. .-1--3+m,1专，解得m-2,k-3匀 ·该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车。 ·反比例函数的解析式为为=一3 第13课时函数的综合应用 考点知识梳理 【跟踪训练】 (2)解方程组 3得/一1， 或/3， 1y=-1. -、1.A y=- 1y=3 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十(k≠0)， .A(-1.3). 观察图象可得，当y>”时，x的取值范围为江<一1 将，10.6,150)代入y-+6得0，解 或0<r<3. 中考演练 得/10， b=100 (一)经典考题 .y与x之间的函数关系式为y=10x+100: 1.B2.D3.44,8 (2)根据题意得(60-x一40)(10.x十100)=1760， (二)命题新方向 整理得x一10x一24■0， 1.42.C 解得工=12工=一2（不符合题意，舍去）， 3.解：(1)由表格可知，压强p与受力面积S的乘积不变，故 .60-r=60-12=48(元). 压强P是受力面积S的反比例函数，设p一专。 答：这种排球每个的实际售价是48元 将(200,0.5)代人得=200×0.5=100， 二、1，解：1)设y与r之间的函数解析式为y=(>0) 即所受压强p(P)关于受力面积S(m)的函数解析式为 =100 将4,32)代人可得32=年，则k=4×32=128, ∴y与x之间的函数解析式为y=128(x>0): 当p=500时，S=100=0.2,a=0.2 (2)这种摆放方式不安全，理由如下： 2将e,80)代人y=12则80=12a=1.6 由图可知S=0.1×0.2=0.02(m), 实际意义：当面条的横截面积为1,6mm时，面条的总 ,将长方体放置于该水平玻璃桌面上， 长度为80m. 三、L.y=-2x2+400x-16800 -0-50oGPa> 2.解：(1)炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度 :5000>2000,∴.这种摆放方式不安全。 是2.88百米， 第12课时二次函数的图象和性质 ·设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为y=:(x 12)2+2.88. 课前小测 代人(0,0)得144+2.88=0， 1.D2.C3.D4.A5.(5.0) ∴.a=-0.02,.y=-0.02(x-12)+2.88: 考点知识梳理 (2):山丘M顶部距炮口的水平距离为8百米， 【跟踪训练】 .当x=8时，y=2.56>2.3, 1.C2.C3.A4.C5.D6.A7.A8.x=1 炮弹能够越过山丘： 例题精讲 (3)令y=-0.02(x-12)十2.88=0，得x=0或x=24, 例1D变1(0,11)例2C变2D .炮弹落在距离炮口24有米的地方， 例3解：根据题意设抛物线的解析式为y=a(r十1)(r一3)， ,炮弹的最大杀伤半径为2百米，山丘M顶部距炮口的水 把B(0,一3)代人得一3=一34，则a=1, 平距离为8百米， .地物线的解析式为y=x一2r一3. .为使射击有效，目标物设置在距山丘顶部水平距离d应 4d-2b+c=5, ra=1, 满足24-2-8≤d24+2一8，.14≤d≤18. 变3解：由题意得)a一b十c=0,解得h=一2， 中考演练 9a+3h+=0. e=-3 (一)经典考题 .揽物线的解析式为y=2一2x一3. 1,解：(1)把x=2,y=19代入y=r+15中，得19=2k+15, 中考演练 解得k=2,所以y与x的函数关系式为y=2+15: (一)经典考题 (2)把y=20代人y=2x+15中，得20=2x+15, 1.y=2x2十4x2.A3.C4.B5.B 解得x=2.5,所以所挂物体的质量为2.5kg. (二)命题新方向 【二)命题新方向 1.2402.C 3.解：(1)设y=a+b1+c,将(0,0)，(1,27)，(2,48)代人， 1.解：1)h=20 5第二部分考点基础过关 第12课时二次函数的图象和性质 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 题9,3分 二次函数的图象及性质 题10,3分 题8,3分 题10,3分 待定系数法求二次 题23(1).5分 函数的解析式 a,b.c,b2一4ac符号的确定 题10,3分 二次函数图象的平移规律 题7,3分 题12,4分 二次函数与一次、 二次方程的关系 二次函数的应用 题22(2)，4分 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系 数与图象形状和对称轴的关系 新课标要求 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相 应的实际问题 4.知道二次西数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似解 课前小测 1.下列函数中，是二次函数的是 A.y=-2 B.y=-x C.y=2.x+1 D.y=-2x2+1 2.(改编)二次函数y=3.x2+7x一5的一次项系数是 A.3 B.-7 C.7 D.-5 3.(改编)二次函数y=3(x一1)一2图象的顶点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(改编)用配方法将二次函数y=x2-6.x十10化为y=a(x一h)十k的形式为 A.y=(x-3)2+1B.y=(x+3)2+1 C.y=(x-3)2-1 D.y=(x+3)2-10 5.(改编)将抛物线y=一8.x2向右平移5个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 65 口中考宝典·数学（广东专用版】 考点知识硫理 考点①二次函数的定义 审核心笔记 【跟踪训练】 一般地，形如y=ax十x十c1,(改编)下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做 A.y=z-3 B.y=ax2+bx+c 二次函数 w特别提醒：当b=0或c=0或b, C.y=2x2 D.y--1 c同时为0时，也是二次函数. 考点2二次函数的图象及性质 核心笔记 抛物线 y=dr2 y -ar+c a(z-h) V= a(x-h)+k y=ax'+br+c y-a(x+2a +4ae- 当a>0时，开口向上，并向上无限延仲 开口方向 当a<0时，开口向下，并向下无限延仲 顶点坐标 (0,0) (h,0) (h,k) b 4uc-b (0,c) 2a'4a 对称轴 y轴 y轴 直线x=九 直线x=h 直线x= 6 2a =0时， x=0时， x=h时， x=h时， b 最 a>0 x= ymin=0 yuin-c 3min=0 ymin= 时，yn=4ac-尼 2a Aa 值 x=0时， x=0时， x=h时， x=h时， a<0 Aac-b t= Yx=0 ymx=c yx=0 ymax-k 时y… 2a Aa 增 a>0 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 减 性 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 a<0 在对称物右侧，y随x的增大而减小 444444444444444444+444444444+44444++4444444444444444444444444444444444444444+44444 4444444444444444+4444444444444444444444444++ 【跟踪训练】 2.(改编)如图，二次函数y=a(x十4)+k的图象与x轴交于A(一6,0)，B两点， 则下列说法正确的是 A.a<0 B.点B的坐标为（一4,0） B C.当x>一4时，y随x的增大而增大 D.图象的对称轴为直线x=4 考点③待定系数法求二次函数的解析式 审核心笔记 已知条件 设解析式的形式 待定系数法求解析式 已知项点(h,k)十其他，点坐标 顶，点式：y=a(x一h)2十k 已知与x轴的两个变点(x1,0), 联立方程，得出结果，再代回所 (xg,0)十其他点坐标 交点式：y=a(x一x)(x-x) 设解析式 已知任意三个点坐标 般式：y=ax+b.x+c 66 第二部分考点基础过关 【跟踪训练】 3.一个二次函数，当x=0时，y=一5：当x=一1时，y=一4；当x=一2时，y=5,则这个二次函数的 关系式是 A.y=4x2+3.x-5 B.y=2.x2+x+5 C.y=2x2-x+5 D.y=2.x2+x-5 +.若二次函数图象的顶点坐标为(2，一1)，且过点(0,3)，则该二次函数的解析式为 Ay=2（x-2)-1By=+2-1 C.y=(x-2)2-1 D.y=-(x-2)2-1 考点④a,b,c,b一4ac符号的确定 审核心笔记 抛物线y=a.x2十b.x十c. 1.a决定抛物线的开口方向和开口大小 (1)a相同一抛物线的形状相同 上正 (2)a>0→抛物线的开口向上 下负 (3)a<0台抛物线的开口向下 w特别提醒：a还决定开口大小，即a越大，开口越小. 2.a,b决定对称轴的位置 抛物线y=a.x2十hr十c的对称轴为直线x= b 2u' (1)a与b同号台对称轴在y轴的左侧 左同 (2)a与b异号台对称轴在y轴的右侧 右异 (3)b=0台对称轴就是y轴 3.c决定抛物线与y轴的交点位置 抛物线y=a.x2十hr十c,当x=0时，y=c,即抛物线与y轴的交点为(0，c). (1)c>0台抛物线与y轴相交于正半轴1 上正 (2)=0口抛物线与y轴相交于原点 下负 (3)c<0抛物线与y轴相交于负半轴 4.?一4a的符号决定抛物线与x轴的交点个数. (1)6一4ac>0曰抛物线与x轴有2个交点： (2)6一4ac=0曰抛物线与x轴有1个交，点： (3)一4ac<0曰抛物线与x轴没有交点. π【跟踪训练】 5.已知二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图所示，则a,b,c满足 A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,e>0 D.a>0,b<<0,c>0 67 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点⑤二次函数图象的平移规律 甲核心知识 平移前的解析式 移动方向(m>0) 平移后的解析式 简记 向左平移m个单位长度 y=a(x-h十m)2十k 左“十” 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)+k 右“” y=a(x-h)*+k 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k十m 上“十” 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k一m 下“一” 【跟踪训练】 6.(2023秋·河北张家口九年级统考期末)将抛物线y=2(x一1)”十3的图象向左平移1个单位长 度，再向下平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为 A.y=2x B.y=2x2+6 C.y=2(x-2) D.y=2(x-2)2+6 考点⑥二次函数与一元二次方程的关系 【核心知识】 审【跟踪训练】 △=B-4ac 抛物线y一ax十br十 一元二次方程a2+ 7.(改编)抛物线y=(x一3)一4与x轴的交点个 c与x轴的交点个数 hr十c=0的根 数是 A.2个 B.1个 C.0个 D.不能确定 8-4ac>0 两个 两个不相等的实数根 8.(改编)已知抛物线y=x2一2x十1与x轴的交点 片-4ac=0 一个 两个相等的实数根 坐标是(1,0)，则一元二次方程x一2x十1=0的 -Aac<0 无 无实数根 解是 例题精进 考点①二次函数的平移规律 例1(2023秋·浙江)将二次函数y=5.x2的图 变1（改编）将抛物线C(y=a.x2十b.x十c)向左平 象先向右平移3个单位长度，再向下平移2 移2个单位长度得到抛物线C,(y=x2一 个单位长度，得到的函数图象的解析式为 2x+3),则抛物线C,与y轴的交点坐标 ( 是 A.y=5(x+3)2+2B.y=5(x-3)2+2 C.y=5(x+3)2-2D.y=5(x-3)-2 考点2二次函数的图象和性质 常考题型：(1)根据二次函数的性质判定对错：(2)求二次函数的最值， 68 第二部分考点基础过关 例2(2023·枣庄)二次函数y=a.x2+bx十c(a≠ 变2（改编）已知抛物线y=ax2十b.x十c(a,b,c为 0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下 常数，a≠0)的顶点坐标为（一2,5），与y轴 列结论：①albr<0:②方程a.x2十bx十c=0(a 的交点在x轴上方，结论正确的是( ≠0)必有一个根大于2且小于3：③若(0， A.抛物线开口向下 B.c<0 一（侵）是抛物线上的两点，那么< C.与x轴只有一个交点D.4a-2b+c=5 :④11a十2c>0:⑤对于任意实数m,都有 m(am十b)≥a十b,其中正确结论材 的个数是 ( A.5 B.4 C.3 D.2 考点3待定系数法求二次函数解析式 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题：已知抛物线y=a.x2十x十c(a≠0)经过 解：将A(-1,0),B(2,0)代入y=az十x十c(a≠0)得 A(一1,0)，B(2,0)两点，与y轴相交于 a-1十c=0. 解得 a=-1 点C,该抛物线的顶点为点M,求该抛物 14a+2+c=0. e=2, 线的解析式及点M的坐标. 故抛物线的解析式为y=一x2十x十2…3分 解： 故顶点M, …6分 满分：6分 实得： 例3(2023·大庆节选)如图所示，在平面直角 变3 (2022·广州二模节选)如图，抛物线y=a.x2+ 坐标系中，抛物线与x轴分别交于A(3,0), bx十c经过点A(一2,5)，与x轴相交于 C(一1,0)两点，抛物线与y轴的交点为 B(一1,0)，C(3,0)两点.求抛物线的解析式。 B(0,一3).求抛物线的 解析式 69 口中考宝典·数学（广东专用版） 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 1.(2021·广东)把抛物线y=2x+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线 的解析式为 2.(2024·广东)若点(0，y1),(1,),(2,y)都在二次函数y=x2的图象上，则 A.ys>y>y B.ya>y>ys C.yi>ys>y: D.ys>y>y 3.(2020·广东)把函数y=(x一1)+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1C.y=(.x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 4.(2023·广东)如图，抛物线y=a.x+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac 的值为 ( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5.(2024·白云区模拟)如图，抛物线y=a.x2十b.x十c的对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0:②b 4ac>0:③8a+c<0:④5a+b+2c>0.其中正确的结论有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 20 (二)命题新方向 【建议用时：10分钟正确率：/3】 1.【跨学科】（应用意识，运算能力）(2023·山西模拟)生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会 随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强：超过一定温度范围，酶的活性又随温度的升高逐 渐诚弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值y(单位：U)与温度x(单位：℃)的关系可以近似用二 次函数)y=一号十1十12来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 IU. 2.【数学文化】（模型观念、应用意识、运算能力）(2021·广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用 三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边 长分别为a,b,c,记p=a+十S,则其面积S=√/p(b-a)(p-b(p-c.这个公式也被称为海伦-秦 2 九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为 ( A.5 B.4 C.25 D.5 70 第二部分考点基础过关口 3.【综合实践】（模型观念、应用意识、运算能力）(2024·浉河区二模) 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查，刹车 距离。 【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行 驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离。 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对 它的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间1 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：m)与刹车后行驶的时间t(单位：s)之间成二次函数关系： ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间1的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完 全停止， 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)汽车刹车4s后，行驶了多长距离？ (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下 是否会撞到抛错的车？试说明理由。 71