第7课时 一元二次方程及其应用-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

(二)命题新方向 1.(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验(6)答 1.2或42.D3.D 2.(4)(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x) 第6课时分式方程及其运用 【跟踪训练】 课前小测 1.A2.C3.A4.4-2 1.D2.D3.B4.x=2 5.解：原方程可变形为(x+1)(x一3)=0， 5,解：去分母得2(x+1)■5， x十1=0，或x-3=0,.x1=-1,x4=3. 去括号得2x+2=5,移项合并得2x=3, 6.D7.A8.D9.C10.B 解得x■立 3 例题精讲 例12024变11例2D变2D 将工一是代人原方程，原方程左右相等。 例3解：移项得x一6x■一2， 配方得x2-6x十3=-2+32，(x-3)=7, 3 “原方程的解为x一乞 两边开平方得x一3=士√7， 考点知识梳理 ∴x1=3十7，x1=3-√7， 【核心笔记】 变3解：(1)三 1.分式2.①去分母最小公倍数3.(1)0(2)整式 (2)二次项系数化为1，得x+2x一4=0， (3)整式 移项，得x2十2x=4, 1.(1)设未知数(2)等量关系 配方，得x2+2x+1=4+1,即(x+1)2=5, 【跟踪训练】 由此，可得x十1=士√5， 1.B2B3-14-司 所以，=-1+5，x4=-1-5. 中考演练 5.解：设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x十 (一)经典考题 2)个这种零件， 1.A2.A3.25%4.6 根据题意得罕2一2解得=8，经检貌， (二)命题新方向 1.解：(1)31(2)1大一4 x=8是所列方程的解，且符合题意 (3):-x2+3x+y+8=0, 答：乙每小时加工8个这种零件. y=x2-3x-8,∴x+y=x2-2x-8=(x-1)2-9. 例题精讲 :(x-1)≥0，(x-1)2-9≥-9，即x十y≥-9. 例1B变1D例2m>4且m≠6变2D .当x=1时，x十y取最小值为一9. 例3解：去分母得5(x-1)-(x+1)=0, 2.-i 去括号得5x一5-x-1=0, 第8课时 一元一次不等式（组）及其应用 移项，合并同类项得4红=6， 课前小测 系数化为1得x一受 1.④2.B3.A 考点知识梳理 检验：将z=号代入x(红十1)（红-1）中得号× 【核心笔记】 (2+1)(2-1)=号0， 2.(1)不变> (2)不变>>(3)改变<< 1.个1 则原分式方程的解为工一是 2.去分母去括号移项合并同类项系数化成1 1.一元一次不等式 公共部分 变3解：去分母得16+(x+2)(x一2)=(x+2)(x+2), 2.(1)每个不等式 去括号得16+x2-4=x2+4x十4， 【跟踪训练】 移项，合并同类项得一4x=一8， 1.D2.B3.A4.B 系数化为1得x=2, 5.解：去分母得x一1一3>0， 检险：当x=2时，(x十2)(x一2)=0， 移项得x>4, “x=2是原方程的增根， 6.C7.D8.79.B 原方程无解。 例题精讲 中考演练 例1D变1D例2A变2C例3D变3B (一)经典考题 例4A 1B2B32型-20=2 变4解：解不等式①，得x>一1， 解不等式②，得x<3, (二)命题新方向 在同一条数轴上表示不等式①②的解 1.C2.B 第7课时一元二次方程及其应用 集， -3-10123 课前小测 原不等式组的解集是一1<x<3, 1.A2.B3.D4.C5.C ∴，整数解为0,1,2. 考点知识梳理 中考演练 【核心笔记】 (一)经典考题 1.-个2.ax2+bx+e=0 (1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 1.C2.A3.A4.0≤m<3 3第二部分考点基础过关 第7课时一元二次方程及其应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2020 2021 2022 2023 2024 一元二次方程及其解法 题22(2)，4分 题14,4分 题14,3分 一元二次方程的根的判别式 题13,3分 一元二次方程的 根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程 解的意义，经历估计方程解的过程 2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系效的一元二次方程 新课标要求 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 4,了解一元二次方程的根与系数的关系 5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 课前小测 1.(2023·武进区校级模拟)在下列方程中，属于一元二次方程的是 A.x-3=x B.x2+y2=4 C.3-1=0 D.x(1-2x2)=5.x 2.(2023·东莞市校级一模)一元二次方程5.x2-2x十2=0的一次项系数是 A.5 B.-2 C.2 D.0 3.一元二次方程x2一x十4=0的根的情况为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.方程x2=3.x的解是 A.x=3 B.x=0 C.x1=3,x2=0 D.x1=-3,x2=0 5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台被感染.设每轮感染 中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为 A.1+2x=100 B.x(1+x)=100 C.(1+x)2=100 D.1+x+x2=100 35 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点知识梳理 考点 一元二次方程及其解法 球核心笔记 【跟踪训练】 1.一元二次方程的定义：只含有 1.用配方法解方程x2十8.x十7=0，则配方正确的是 未知数的整式方程，并 A.(.x+4)=9 B.(x-4)=9 且未知数的最高次数是2的方 程叫一元二次方程 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57 2.一元二次方程的一般形式： 2.一元二次方程，x”一9=0的根为 (a,b,c是 A.3 B.-3 C.3或-3 D.0 常数，a≠0). 3。常用解法与步骤 3.用公式法解方程4x2+12x+3=0,得 (1)直接开平方法：形如x=p或 (mx十n)2=(p≥0)的一元二 A.x=-3±v6 2 B.x=3±6 2 次方程，由直接开平方可得 x=士√p或mr十n=士√p: C.x=-3±2,3 2 D.x=3±23 2 (2)配方法：将一元二次方程配 4.若2是方程x一c=0的一个根，则常数c= ,这个方程的另 成形如(.x十n)=p的形式， 再利用直接开平方法求解： 一个根为 (3)公式法：形如ax2十b.x十c= 5,解方程：x2一2x一3=0. 0(a≠0)，求根公式是x= b上√F=4ac(6-4ac≥0)： 2a (4)因式分解法：容易变形为形 如(x-a)(.x-b)=0. 考点2一元二次方程的根的判别式 审核心笔记 【跟踪训练】 一元二次方程根的判别式： 6.方程x2一3.x一1=0的根的情况是 △=7-4ac. A.没有实数根 B.有一个实数根 (1)当△>0台原方程有 的实数根： C,有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 (2)当△=0台原方程有 7,若关于x的一元二次方程x2十2x一k=0有两个不相等的实数 的实数根： 根，则k的取值范围是 ( (3)当△<0台原方程 A.k>-1 B.k>≥-1 C.k≤1 D.k<1 数根 反之也成立！ 雪特别提醒：△>0一方程有实数根 考点③一元二次方程的根与系数的关系 核心笔记 ,【跟踪训练】 若一元二次方程a+hr+=08.已知x1,x2是一元二次方程x2+4x十3=0的两根，则x,+x2十 (a≠0，一4ac≥0)的两根分别为 2.x1x的值为 和2，则十= ,x2= a A.-2 B.-1 C.1 D.2 36 第二部分考点基础过关 考点④一元二次方程的实际应用 御核心笔记 【跟踪训练】 1.列一元二次方程解应用题的“六字诀” 9.一种药品原价每盒48元，经过 (1) :理解题意，明确未知量、已知量及它们之间的数量关系： 两次降价后每盒27元，两次降 (2) :根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数： (3) :根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知 价的百分率相同，则每次降价的 量，从而列出方程： 百分率为 (4) :准确求出方程的解： A.20% B.22% (5) :检脸所求出的根是否符合所列方程和实际问题： C.25% D.28% (6) :写出答案 2.主要题型 10.一个小组若干人，新年互送贺 (1)增长（下降）率问题： 卡一张，若全组共送贺卡90 设a为变化前的量，n为变化次数，b为变化后的量。 张，则这个小组共有( 当x为平均增长率时，则a(1十x”=b:当x为平均下降率时，则a(1一 A.9人 B.10人 x)"=b. (2)销售利润问题： C.12人 D.15人 利润一售价一进价：总利润=单件利润X销售量。 (3)循环问题： ①握手、单循环赛总次数，m(",1D(n为人数或参寒队数)： 2 ②互送礼物总份数：n(n一1)(n为人数). (4)面积问题： 如图1，设阴影部分的宽为x,则Sa= 如图2图3，设阴影部分的宽为x,则S堂4 图2 图3 例题精讲 考点1一元二次方程的根 例1若关于x的一元二次方程ax”+bx+3=0 变1 已知关于x的方程(m+3).x2+x+m2+2m (a≠0)的一个根是x=1,则代数式2021 3=0的一个根为0，另一个根不为0，则m的 a一b的值为 值为 考点②一元二次方程的根的判别式 常考题型：(1)利用根的判别式判断一元二次方程根的情况：(2)利用根的判别式求字母的值或取值范围， 例2若关于x的方程2x2十4.x十c=0没有实 变2等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b 数根，则c的值可能为 是关于x的一元二次方程x2一12x十k十2= A.0 B.1 C.2 D.3 0的两根，则k的值为 ( A.30B.34或30C.36或30 D.34 37 口中考宝典·数学（广东专用版） 考点③一元二次方程及其解法 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 示范题： 解：原方程可变形为(x一1)(x一2)=0， …2分 解方程：x2-3.x十2=0. x一1=0，或x一2=0，…4分 解： .x1=1,不2=2.…5分 满分：5分 实得： 例3解一元二次方程：x2一6.x十2=0. 变3(2023·新华区校级模拟)下面是小明解一元 二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的 任务 解：2x2+4x-8=0. 二次系数化为1，得x十2x一4=0，…第一步 移项，得x2十2x=4,…第二步 配方，得x2十2x十4=4十4，即(x十2)=8， 第三步 由此，可得x十2=士22，…第四步 所以，=一2十2y2=一2-2√2.…第五步 (1)小明同学解题过程中，从第 步开 始出现错误； (2)请给出正确的解题过程. 38 第二部分考点基础过关门 中考演练 (一)经典考题 【建议用时：5分钟正确率：/4】 1.(2024·南阳一模)若关于x的一元二次方程x2十2x十m=0有实数根，则m的值不可能是( A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.(2024·南通)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求水 稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,则可列方程为 (） A.7200(1+x)2=8450 B.7200(1+2.x)=8450 C.8450(1-x)2=7200 D.8450(1-2.x)=7200 3.(2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每 次降价的百分率为 4.(2024·烟台)若一元二次方程2.x2-4x一1=0的两根分别为m,n,则3m2-4m+n的值为 (二)命题新方向 【建议用时：5分钟正确率：/2】 1.【易错题】（数学运算）(2024春·普宁市期末)上数学课时，张老师在讲完因式分解(a士b)=a士 2ab十b的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2十4.x十5的最小值.同学们经过 交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2十4x+5=x2+4x十4十1-(x十2)2十1， ,(x+2)≥0，.当x=-2时，(x十2)2的值最小，最小值是0，.(x十2)2十1≥1， ∴.当(x+2)=0时，(x+2)+1的值最小，最小值是1， ∴x2十4x十5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. (1)知识再现：当x=时，代数式x2一6x十10的最小值是 (2)知识运用：若y=一x2+2x一5，当x=时.y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若-x+3.x十y十8=0，求x+y的最小值. 2.【教材拓展】（数学运算）我们知道，一元二次方程x2=一1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 一1，如果我们规定一个新数“”使它满足严=一1（即x=一1有一个根为），并且进一步规定：一切 实数可以与新数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有=i,严=一1，产 ·i=-i,i=()2=1,…那么8= 39