第5课时 一次方程(组)及其应用-【中考宝典】2025年中考数学（广东专用版）

第二部分 考点基础过关 第二章 方程(组)与不等式(组) 第5课时 一次方程(组)及其应用 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2020 2022 2023 2024 等式的基本性质 一元一次方程及其解法 题11,4分 二元一次方程(组)及其解法题21(1),4分 题19,9分 二元一次方程组的应用 题19,9分 1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程 解的意义,经历估计方程解的过程 新课标要求 2.掌握等式的基本性质;能解一元一次方程 3.掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组 4*.能解简单的三元一次方程组 课前小测 x-1. 的是 1.下列方程组中,解为 ) y-2 A.{2-y=1. B.{-1. D./--3. 3x+-5 13x十-5 3x+y-5 3x--1 2.如果m一n,那么下列等式一定成立的是 ( _ A.m-3-n3 B.3n7+2-3n+2 C.5n--5 3.某学校今年艺术单项比赛共有a人参加,比赛的人数比去年增加20%还多3人,则去年参加比赛的 人数为 _ C.(1+20%)a-3 D.(1+20%)a+3 4.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,该班男生有x人 ) 女生有v人,根据题意,所列方程组正确的是 _ 12-78. [十-30, B.{30. C. A. D. +y-78. 13r+2y-30 13x十2-78 12x+3-78 12x+3-30 25 中考宝典·数学(广东专用版) 考点知识梳理 考点1 等式的基本性质 核心笔记 【跟踪训练】 1.性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果 1.下列等式的基本性质运用错误的是 仍 .即:如果a-b,那么a士c= A.如果_ 2,那么a-b 2.性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0 的数,结果仍相等,即: B.若-a--b,则2-a-2-b (1)如果a-b,那么ac- C.若ac-bc,则a-b (2)如果a-b.c≠0,那么 D.若(n{}+1)a-(n}+1)b,则a= 特别提醒:等式两边同加(或减)同一个数或式子 2.若5x一2,则x的值为 。_ 乘同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍是等 B 式,等式不可以除以0,0作分母无意义。 C.5 考点2 一元一次方程及其解法 核心笔记 【跟踪训练】 1.定义:在一个方程中,只含有 未知数 3.下列各式是一元一次方程的是 (元),并且未知数的次数都是 ,这样的方程 A.2x-5+3y B-y十4 叫做一元一次方程. D.+1-2 2.一般形式:ax十b-0(a0). C.3x+2-1-2 2 3.解法步骤 4.若关于x的方程(m-1)x=-2-0是一元一次方 (1)去分母:方程中未知数系数有分母时,给方程两边 都乘以各分母的 程,则m-__. 口特别提醒:不要漏乘不含分母的项. .4-3-1-2.2-2. 5.解关于x的一元一次方程: (2)去括号:若方程中有括号时,先去括号, 5 特别提醒:括号前是负号时,去括号后括号内各项 均要 (3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边, 其他项都移到方程的另一边. -特别提醒:移项要变号. (4)合并同类项,把方程化成ar二一b(a关0)的形式。 (5)系数化为1:方程两边都除以未知数的 得到方程的解是x=- 26 第二部分 考点基础过关 考点3 二元一次方程(组)及其解法 -核心笔记 -【跟踪训练】 1.含有 未知数,并且所含 6.下列四组数中,不是二元一次方程2x十y一4的解的是 未知数的项的次数都是1,像这 1-2. C./-0.5. A./-1. B. 样的方程叫做二元一次方程. D./-2. =0 1y-2 1-3 2.把具有 -4 两个二元一次方程合在一起,就 7.已知二元一次方程2x十y=2,用含x的代数式表示y,正确的是 组成了一个二元一次方程组. ( ) 3.使二元一次方程左右两边相等 A._2-y B.2y C.y-2-2x 的两个未知数的值,叫做二元一 D.y-2+2x 2 次方程的解,二元一次方程组的 x+3--m+1. ,叫做二 两个方程的 8.已知关于x,v的二元一次方程组 '则x十y二. 元一次方程组的解. 3xy-n+3. 4.解二元一次方程组的基本方法 (x-y-1. 9.解二元一次方程组: (1)代入消元法; 3x+2y-8. (2)加减消元法. 考点④ 二元一次方程组的应用 核心笔记 【跟踪训练】 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 10.如图,由上个完全一样的小长方 (1)审题:(2) ;(③) 形组成大长方形ABCD,CD= (4) ;(5)检验;(6)作答. 2.解应用题常见的类型 7.大长方形ABCD的周长B (1)工程问题:工作总量一工作效率×工作时间 为 (2)行程问题:路程一速度×时间; 11.已知甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没 相遇问题:全路程一甲走的路程十乙走的路程 有平路,一辆汽车上坡时速度为20km/h,下坡时 追及问题: 速度为35km/h,车从甲地开往乙地需9小时,若 ①同地易时:前者走的路程一追者走的路程 ②异地同时:前者走的路程十两地间的路程一追者 从乙地返回甲地上下坡的速度不变,时间为7.5小 走的路程 时,那么甲乙两地的公路长 lm. (3)流水问题:-+,v=-: (4)打折销售问题: ①售价一标价×折扣;②销售额一售价×销量; 进价 中考宝典·数学(广东专用版) 例题精讲 考点等式的基本性质 例1 下列方程的变形中,不正确的是 变1 下列运用等式的基本性质进行变形正确 的有 A.由7x-6-1,得7t-6x=1 3-9,得x--27 B.由一 ①如果x-c=y-c,那么x=y;②如果x十c -y十c,那么x-y;③如果x-y,那么王-y; C.由5x-10,得x-2 D.由3x-6-x,得3x+x-6$ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点②一次方程(组)及其解法 常考题型:(1)解一元一次方程;(2)解二元一次方程组 -3. ( 3-4. 变2 如果方程组 3 的解与方程组 ax+by-5 +ay-2 A.12-2(2x-4)-t B.12-2x-4-x 。_ 的解相同,则a,的值是 _ C.2-2(2x-4)-x D.2-2r-4-x 一-1. (-1, A.{ B. 1-2 &-2 (a-1, (a--1. C.{ D. 1b--2 --2 2a+2b-3..① x+2y-3n. 例3 过变3 解方程组 时,下列消元方 关于x,v的方程组 的解也是方 3a十b-4...② 1x-y-9m ) . 法不正确的是 程3x+2-17的解,则m的值为 _ B.1 C.-1 A.3 A.①×3-②×2,消去 D.2 B.由②得6-4-3a③,把③代入①中消去b C.①+②×2,消去 D.由②×2-①,消去 [+2y-9..①. 已知方程组 例4 ①一②,得 3 x-y-3..②. 6 __ ) A.3y-6 B.y-6 C.2x-6 D.3y-12 28 第二部分 考点基础过关 考点3二元一次方程组的应用 答题规范 作答区域 答题模板与评分标准 解:设该商场购进摆件x件,挂件y件. 示范题:2023年9月23日至10月8日,第十九届 ......1分 亚运会在杭州举办.某商场用25000元败 40x+30y-25000. 根据题意,列方程组 进亚运吉祥物的摆件和挂件,售完后共获 1(58-40)x+(45-30)-11700 利11700元.其中摆件每件进价40元,售 ...................................................3分 价58元;挂件每件进价30元,售价45元 (x-400, 解得 ...........................分 请分别求出该商场购进摆件和挂件的数 y-300. 量,(用二元一次方程组解决问题) 答:该商场购进摆件400件,挂件300件.......6分 解: 满分:6分 实得: 例5 已知甲、乙两种商品的进价和为100元, [x+y-7, 变5 解方程组: 为了促销而打折销售,若甲商品打八折; 12x--2. 乙商品打六折,则可赚50元;若甲商品打 六折,乙商品打八折,则可赚30元,甲、乙 两种商品的定价分别为多少? 变6 用二元一次方程组解决问题: A.B两地相距12m.甲骑电动车从A地出 发到B地,与此同时,乙骑电动车从B地出发 到A地,两人均保持匀速行驶,已知第10分 钟两人相遇,又经过4分钟,甲剩余路程是乙 剩余路程的8倍,求甲、乙二人的骑行速度 中考宝典·数学(广东专用版) 中考演练 (一)经典考题 【建议用时:3分钟 正确率:/3】 1.(2024·秦安县校级三模)关于x的一元一次方程2x十m-4的解为x-1,则a十n的值为( _~ A.9 B.8 C.5 D.4 2.(2024·清远模拟)如图,将连续的偶数2,4,6,8,...排成如图形式,并用一个十字形框架框住其中的 五个数,请你仔细观察十字形框架中的数字的规律,思考;若将十字框上下左右移动,则框内五个数 之和可能是 7 _。 A.2022 48 1 B.2024 12 214161820 2 C.2025 242628 30 32 34 36 38 D.2030 40 ,。 ,. 2-1 3.(2024·渠县校级模拟)若 是关于x,y的二元一次方程x一ay一4的一组解,则a一 _-1 (二)命题新方向 【建议用时:5分钟 正确率:/3】 -1 3-若F(2,3)-1,F(3. 1_. -,且关于x的方程F(c.k)+F(x十1,2x)-2无解,则实数k的值为 2.【跨学科融合】(数学运算)一船在静水中的速度为20km/h,水流速度为4km/h,从甲码头顺流航行 到乙码头,再返回甲码头共用5h.若设甲、乙两码头的距离为xkm,则下列方程正确的是 ) A.(20+4)x+(20-4)x-15 B.20x十4r-5 D.20420-4 3.【数学文化】(逻辑推理)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:用九百九十 九文钱,可买甜果苦果共一千个,若..,..,试问买甜果苦果各儿个?若设买甜果:个,买苦果y个, 十y-1000 可列出符合题意的二元一次方程组 )11 ,根据已有信息,题中用“.......”表示的缺失的条 件应为 _~ A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱 30新课标中考实典数学(广东专用版) 4.解:原式_(第).2(2) (二)命题新方向 -3-m 1.A 2.74 第二章 方程(组)与不等式(组) 3-m 第5课时 (m+3)(m-3).2(m-2) 一次方程(组)及其应用 m-2 3-m 课前小测 =-2(m+3) 1.B 2. B 3.A 4. B =-2m-6. 考点知识梳理 .m=16+tan45*. 【核心笔记】 '.m-4+1-5, 1.相等 b士c 2.(1)be ·.原式--2$5-6--10-6--1 $ 1.一个1 3.(1)最小公倍数(2)变号 (5)系数 (二)命题新方向 1.两个 2.两个相同未知数 3.公共解 1.(1)2(2)-3 1.(2)设未知数(3)列方程(4)解方程 第4课时 二次根式 【跟踪训练】 课前小测 1.C 2.A 3.C 4.-1 1.C 2.C 3.C 4.-4 5.10 5.解:去分母得3(4x-3)-15-5(2x-2) 3+1 2 去括号得12t-9-15-10$-10+ 考点知识梳理 移项得12x-10x-24-10. 【核心笔记】 合并同类项得2x-14. 2.被开方数a>0 3.(1)分母 方程两边同除以2得x-7. 【跟踪训练】 .般 6.D 7.C 8.1 1.D 2. B 3.A 4.+2 5.A 6.C 7.4 1 8.解:原式-23-、/3-(1+③) ①x2得2x-2y-2..③. =23-3-1-3 _-1. ②+③得5x-10,解得x-2. 把x=2代人①中得2-y-1,解得y-1. 9.解:原式-(x-y)十xy -(2)+2 .原方程组的解为二2. -1. -20+2 10.34 11.210 -22. 例题精讲 例题精讲 例1 A 变1 C 例2 A 变2 A 例3 C 变3 B 例1 C 变1 B 例2 士3 变2 B 变3 D 例4 A 例3 解:原式-53-3-(-2) 变4 解:去分母得2(2x-1)=2x+1-2$6; -5+6. 去括号得4x-2-2x+1-12, 变3 解:原式一-二-1)) x(x-1) 移项得4x-2x-1-12+2. #二# 合并同类项得2x--9. 系数化为1得x-一 . x(r-1) -2. 例5 解;设甲种商品的定价为工元,则乙种商品的定价为 将x-2-2代+2得,2-2+2---1. y元, 2-2 根据题意得 0.6+0.8y-130, -50. 中考演练 答:甲、乙两种商品的定价分别为150元、50元. (一)经典考题 变5 解:{2.② (x+y-7...①. 1.B 2.2 31+2-3+1+01 3.解:原式一- ①+②得3x-9,解得x-3,把x-3代人①得y-4, (③-1(/3+1) ##4+一 2 -2. 变6 解:设甲的骑行速度为xkm/h,乙的骑行速度为ykm/h 1101012 4.解:(1).原来正方形场地的面积为900m, 依题意得 1-0-(81202) '.原来正方形场地的边长为900一30(m), '.原来正方形场地的周长为30X4-120(m); 第 (2)这些铁概栏够用:理由如下; 设新长方形场地的长和宽分别为5xm,3xm 由题意得5x·3x-735. 答:甲的骑行速度为24km/h,乙的骑行速度 ..x=7(负值舍去). 为48 km/h. '.新长方形场地的长和宽分别为35m,21m 中考演练 '.新长方形场地的周长为2×(35十21)-112(m). (一)经典考题 .120112.i.这些铁栏够用. 1.C 2.D 3.3 2 参考答案 (二)命题新方向 1.(1)审 (2)设(3)列 (4)解 (5)验 (6)答 1.2或4 2.D 3.D 2.(4)(a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) 第6课时 分式方程及其运用 选。 【跟踪训练】 课前小测 1.A 2.C 3.A 4.4 -2 1.D 2.D 3.B 4.x=2 5.解:原方程可变形为(x十1)(x-3)-0. 5.解:去分母得2(x十1)-5, r1-0,或x-3-0,.=-1,r=3 去括号得2x+2-5,移项合并得2x-3. 6.D 7.A 8. D 9.C 10. B 解得-}# 例题精讲 例1 2024 变1 1 例2 D 变2 D 例3 将x-3代人原方程,原方程左右相等, 解:移项得:-6x--2, 配方得-6x+3=-2+3{,(x-3)-7 两边开平方得z-3-士/7, 考点知识梳理 '.=3+/7,x=3-7 【核心笔记】 变3解:(1)三 1.分式 2.①去分母 最小公倍数 3.(1)0 (2)整式 (2)二次项系数化为1,得工+2x-4-0. (3)整式 移项,得^”+2x-4. 1.(1)设未知数 ( (2)等量关系 配方,得+2x+1=4+1,即(x+1)-5 【跟踪训练】 由此,可得x十1-士/5. 1.B 2.B 3.-1 4.- 所以,x--1+,r--1-5. 中考演练 5.解:设乙每小时加工x个这种零件,则甲每小时加工(x十 (一)经典考题 2)个这种零件. 1.A 2.A 3.25% 4.6 (二)命题新方向 1.解:(1)3 1(2)1大-4 x-8是所列方程的解,且符合题意. (3):-+3x+y+8-0, 答:乙每小时加工8个这种零件. '-3x-8,+y--2x-8-(x-1)-9. 例题精讲 .(r-10.(r-1) -9-9,即x+y-9. 例1 B 变1 D 例2 m>4且m≠6 变2 D '.当x-1时,x十y取最小值为-9. 例3 解:去分母得5(x-1)一(x十1)-0, 2-1 去括号得5x-5-x-1-0. 第8课时 一元一次不等式(组)及其应用 移项,合并同类项得4x-6. 课前小测 1.④ 2.B 3.A 检验:将x-代人x(x+1)(x-1)中得3× 考点知识梳理 【核心笔记】 2.(1)不变 (+1)(-1)-1{z0 >(2)不变>>(3)改变<< 1.一个1 则原分式方程的解为x-3. 2.去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成1 1.一元一次不等式 公共部分 变3 解:去分母得16+(x+2)(x-2)=(x+2)(x+2) 2.(1)每个不等式 去括号得16+x-4-×+4x+4 【跟踪训练】 移项,合并同类项得一4x=-8, 1.D 2. B 3.A 4.B 系数化为1得x一2, 5.解:去分母得x-1一3>0, 检验:当x-2时,(x+2)(x-2)-0. 移项得x>4. '.x-2是原方程的增根, 6.C 7.D 8.7 9. B .原方程无解. 例题精讲 中考演练 例1 D 变1 D例2 A 变2 C 例3 D 变3 B (一)经典考题 1.B 2.B 3.240 240 -2 例4 A 变4 x1.5x 解:解不等式①,得x一1, 解不等式②,得x<3, (二)命题新方向 在同一条数轴上表示不等式①②的解 1.C 2.B 第7课时 一元二次方程及其应用 集,_, 课前小测 原不等式组的解集是一1<x<3 1.A 2.B 3.D 4.C 5.C .整数解为0,1,2. 考点知识梳理 中考演练 【核心笔记】 (一)经典考题 1.-个 2.ar^+bx+c-0 1.C 2.A 3. A 4.0<m<} (1)两个不相等 (2)两个相等 (3)没有 2