精品解析：北京市东直门中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

北京市东直门中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 2025.04 命题人：王保国 审题人：陈昕 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 选择题：（共10小题，每题4分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 又，所以. 故选：C 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式及复合函数求导逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 3. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B，求出，最后由条件概率求解. 【详解】设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B， 则，，所以. 故选：B 4. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件由全概率公式求解即可. 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件， 买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡， 则，，，， 所以. 故选：B. 5. 在的展开式中，的系数为10，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解. 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 6. 如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用y关于x的经验回归直线必过中心点,计算即得. 【详解】由，，，，可得， ，， 则y关于x的经验回归直线必过点. 故选：A. 7. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 60种 B. 50种 C. 40种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的3人为2男1女，有种选法； ②选出的3人为1男2女，有种选法； 所以一共有种选法. 故选：D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增求出的取值范围，结合充分条件、必要条件的概念可得答案. 【详解】由题意得，， ∵在上单调递增，∴恒成立， ∴，解得， ∴“”是“在上单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 10. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 第二部分 填空题：（共5小题，每题5分） 11. 已知随机变量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴为， 所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 12. 已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的二项式系数和为，可求得；采用赋值法，令可得各项系数和，求得；根据二项式定理可得展开式通项，代入即可求得的系数. 【详解】的展开式的二项式系数和为，； 令，则展开式的各项系数和为，解得：； 则展开式通项为：， 令，解得：，则，展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出． 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 14. 关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知函数与的图象有3个交点，利用导数的几何意义可求相切时，然后利用数形结合即得. 【详解】因为关于的方程有3个不同的实数解， 所以函数与的图象有3个交点， 当与相切时， 由，则，所以切点坐标为， 则此时， 作出函数与的大致图象， 所以，即． 故答案为：． 15. 同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数根据导数求解其单调性，即可根据得，利用导数求解的最值即可. 【详解】令则在单调递增， 由可得， 则， 由于，所以，故， 记， 当单调递增，当单调递减， 故， 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛；构造函数将不等式同构为，得，利用导数求解的最值. 问答题：（共6小题，共85分） 16. 将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求X的期望及方差. 【答案】（1）答案见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别求得其概率，可得分布列； （2）由期望及方差公式求解. 【小问1详解】 由已知可得随机变量的可能取值有：，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 【小问2详解】 ， . 17. 已知函数， （1）求曲线在点点处的切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 【答案】（1） （2）极大值点为；极大值0，无极小值与极小值点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的极值点和极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而 所以所求切线方程为：. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值与极小值点． 18. 近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 人数 2 3 10 10 75 以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名， （1）求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率； （2）记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为， 所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、、、，且， 所以，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 所以. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分、讨论可得的单调区间； （2），由得，不等式等价于，令，利用导数判断的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 ， ， 当时，，所以函数在上递增， 当时，时，单调递减， 时，单调递增， 综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 由（1）知，当时，，且， 所以， 因为，所以不等式等价于， 令，则在时恒成立， 所以函数在上递增， 所以当时，， 又，则，所以， 故，即. 【点睛】方法总结：利用导数证明不等式问题的求解策略 （1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 20. 椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为 （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交椭圆C于两点，设直线的斜率分别为，证明：与的和为定值. 【答案】（1）； （2） 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由消去得：， ，解得或， ，， 因此， 当直线斜率不存在时，由，得， 不妨令，则， 所以与的和为定值2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得椭圆的方程. （2）当直线的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算推理得证，再验证斜率不存在的情况即可. 【小问1详解】 由椭圆上顶点为，得， 由椭圆C的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． （1）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． （2）设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； （3）设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 【答案】（1）数表不能被确定，数表能被确定 （2） 对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与， 便可根据，求出该等差数列中的每一项． 故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数． 一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数， 所以． 另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知， 于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知， 所以数表中所有的数都能求出，即能被确定． 综上，的最小值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义直接判断即可； （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与，便可根据，求出该等差数列中的每一项．分析可知，数表中每一列都至少有两个数已知，由此可得出的最小值； （3）先讨论，结合（1）中的结论可判断不成立，再讨论，通过等差数列的定义进行逻辑推理，可推断出数表能被确定，由此可得出的最小值. 【小问1详解】 数表不能被确定；数表能被确定． 对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为， 则，，， 则， 、均无法确定，故数表不能被确定； 对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定， 对于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定， 综上所述，数表可由条件确定. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数． 当时，已知与中的任意个数， 则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数． 因为与中至多有两个数在同一行， 所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中． 当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； 当时，， 因为在与中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数． 又因为第行的数均已得到， 所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数． 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 2025.04 命题人：王保国 审题人：陈昕 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 选择题：（共10小题，每题4分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95 5. 在的展开式中，的系数为10，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 7. 从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（ ） A. 60种 B. 50种 C. 40种 D. 30种 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 填空题：（共5小题，每题5分） 11. 已知随机变量，若，则______． 12. 已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为__________（用数字作答）. 13. 随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有________________． 14. 关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______________. 15. 同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是______. 问答题：（共6小题，共85分） 16. 将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码. （1）求的分布列； （2）求X的期望及方差. 17. 已知函数， （1）求曲线在点点处的切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 18. 近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 人数 2 3 10 10 75 以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名， （1）求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率； （2）记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：． 20. 椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为 （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线交椭圆C于两点，设直线的斜率分别为，证明：与的和为定值. 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． （1）已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． （2）设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； （3）设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $