20综合考点三 二次函数中的面积问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 4 命题点　二次函数中的面积问题　 【核心母题】 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=3OB=3，且抛物线经过点(2，5)，连接AC，BC. 5 (1)求抛物线的表达式. (2)连接AC，在AC下方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出△ACP的最大面积及点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)在直线AC下方的抛物线上是否存在动点M，使得四边形ABCM的面积最大？若存在， 请求出四边形ABCM的最大面积及点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题启发】 求△ACP与四边形ABCM的面积用什么方法最合适？ 6 【解题模板】 解题 方法 图形 面积 和差法 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD 7 解题方法 图形 面积 铅垂法 S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·h1+BD·h2=BD· (h1+h2)，即S△ABC=×水平宽×铅垂高 等底 等高法 过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l，则直线l上任一点P'与BC组成的三角形的面积等于△PBC的面积 8 【规范解答】 解：(1)抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)存在.理由如下： 令y=0，即y=x2+2x-3=0，解得x=-3或1，∴A(-3，0). 由点A，C的坐标可得直线AC的表达式为y=-x-3. 如图，过点P作PH∥y轴交AC于点H，连接AP，PC. 设P(p，p2+2p-3)，则H(p，-p-3)， ∴PH=-p-3-(p2+2p-3)=-p2-3p， ∴S△ACP=S△PHA+S△PHC=PH·OA=(-p2-3p)=-(p+)2+. ∵-<0，∴当p=-时，△ACP面积有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为(-，-). 9 (3)存在.理由如下： 如图，过点M作MG∥y轴交AC于点G. 由点A，C的坐标可得直线AC的表达式为y=-x-3. 设M(m，m2+2m-3)，则G(m，-m-3)， ∴MG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m， ∴S△ACM=S△MGA+S△MGC=MG·OA=(-m2-3m)=-(m+)2+. ∵-<0，∴当m=-时，△ACM的面积有最大值，最大值为. ∵S四边形ABCM=S△ABC+S△ACM，S△ABC=AB·OC=×4×3=6， ∴S四边形ABCM最大=6+=，此时点M的坐标为(-，- ). 10 【变式1】 求共边三角形面积相等的动点坐标 在核心母题条件下，抛物线上是否存在点N，使得S△ABN=S△ABC？ 若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 11 解：存在.理由如下： S△ABC=AB·OC，S△ABN=AB·|yN|. ∵S△ABN=S△ABC，∴|yN|=OC=3，∴yN=±3. ①当yN=3时，即x2+2x-3=3，解得x1=-1+，x2=-1-， ∴N1(-1+，3)，N2(-1-，3)； ②当yN=-3时，即x2+2x-3=-3， 解得x1=-2，x2=0(与点C重合，舍去)，∴N3(-2，-3). 综上所述，点N的坐标为(-1+，3)或(-1-，3)或(-2，-3). 12 【变式2】 共边固定时，求面积相等的动点坐标 在核心母题条件下，抛物线上是否存在点H，使得S△BCH= S△ABC？ 若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 13 解：存在.理由如下： ∵S△BCH=S△ABC，∴点A、点H到BC的距离相等. 利用平行线间的距离处处相等可知AH∥BC. 设H(x，y)，设直线BC的表达式为y=kx+b'. 分别代入点B(1，0)，C(0，-3)得解得 ∴直线BC的表达式为y=3x-3， ∴直线AH的表达式为y=3x+n. 代入点A(-3，0)得0=3×(-3)+n，∴n=9，∴y=3x+9. 联立 解得x1=4，x2=-3(与点A重合，舍去)，∴yH=42+2×4-3=21，∴H(4，21). 14 【变式3】 共边不固定时，求三角形面积相等的动点坐标 在核心母题条件下，如图，抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 15 解：存在. S△AOQ=AO·|yQ|， S△COQ=CO·|xQ|. ∵S△AOQ=S△COQ，AO=CO=3，∴|yQ|=|xQ|， ∴点Q到AO，OC的距离相等， ∴点Q位于∠AOC的平分线上. ∵∠AOC=90°，∴∠AOC的平分线的表达式为y=x. 联立解得x=， ∴Q1()，Q2(). 16 【变式4】 求平分固定面积的动点坐标 在核心母题条件下，如图，抛物线上是否存在点E，使得BE平分△ABC的面积？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 17 解：存在. 如图，当BE平分△ABC的面积时，AF=CF，即点F为AC的中点. ∵A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)， ∴F()， 即F(-，-). 18 设直线BF的表达式为y=k1x+b1， 将点F(-，-)，B(1，0)分别代入得 解得 ∴直线BF的表达式为y=x-.联立 解得x1=-，x2=1(与点B重合，舍去)，∴E(-，-). 19 【变式5】 求平分变化面积的动点坐标 在核心母题条件下，如图，若点P在第三象限的抛物线上，过点P作PM⊥x轴于点M，交线段AC于点N，使AC平分△APM的面积，求出点P的坐标. 20 解：如图.∵线段AC平分△APM的面积，∴直线AC经过线段PM的中点，即点N为PM的中点， ∴MN=PN. 设P(x，x2+2x-3)，由题意得-3<x<0， N(x，-x-3)，M(x，0). ∵MN=|-x-3|=x+3， PN=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x， ∴x+3=-x2-3x，解得x1=-1，x2=-3(与点A重合，舍去)， ∴P(-1，-4). 21 【变式6】 求涉及面积比值的动点坐标 在核心母题条件下，若点P在第三象限的抛物线上，作PM⊥x轴于点M，交线段AC于点N，使AC将△APM的面积分为2∶1的两部分，求出点P的坐标. 22 解：∵AC将△APM的面积分为2∶1两部分， ∴MN=2PN或PN=2MN. ∴设P(p，p2+2p-3)，则N(p，-p-3)，M(p，0)， MN=|-p-3|=p+3，PN=-p-3-(p2+2p-3)=-p2-3p， ①当MN=2PN时，p+3=2(-p2-3p)，解得p1=-，p2=-3(与点A重合，舍去)， ∴P(-，-)； ②当PN=2MN时，-p2-3p=2(p+3)，解得p1=-2，p2=-3(与点A重合，舍去)， ∴P(-2，-3). 综上所述，点P的坐标为(-，-)或(-2，-3). 23 【变式7】 求使面积比值为最大值的动点坐标 在核心母题条件下，如图，若点P在第三象限的抛物线上，连接PC，BP，BP与AC交于点D，记△DPC的面积为S1，△DBC的面积为S2，求的最大值及此时点P的坐标. 24 解：如图，过点P作PF∥x轴交AC的延长线于点F. 设P(m，m2+2m-3). ∵PF∥x轴，∴△FDP∽△ADB， ∴==. 在y=-x-3中，令y=m2+2m-3得 x=-m2-2m， ∴F(-m2-2m，m2+2m-3)， ∴PF=-m2-2m-m=-m2-3m. 25 ∵A(-3，0)，B(1，0)，∴AB=4， ∴==-(m+)2+， ∴当m=-时，的最大值为， 此时点P的坐标为(-，-). 26 建议用时：20分钟 1.(2024·黑龙江龙东地区)如图，抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)， C(0，3). (1)求抛物线的表达式. (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 27 解：(1)抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. (2)存在.点P的坐标为(-)，△APC的面积最大值为. 1 3 题序 2 28 2.(2024·凉山)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2 相交于A(-2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的表达式. (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求点P的坐标. (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 29 解：(1)把点B(3，m)代入y=x+2得m=3+2=5，∴B(3，5). 把点A(-2，0)，B(3，5)分别代入y=-x2+bx+c得 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8. 1 3 题序 2 30 (2)设P(t，-t2+2t+8)，则E(t，t+2)，D(t，0). ∵PE=2DE，∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2)， 解得t=1或t=-2(此时点P不在直线AB上方，舍去)， ∴点P的坐标为(1，9). (3)存在.点M的坐标为()或()或()或(). 1 3 题序 2 31 3.抛物线y=-x2+(a-1)x+2a与x轴交于A(b，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，c)，点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧. (1)求a，b，c的值. (2)如图，连接BC，AP交于点M，连接PB.若=， 求点P的坐标. 1 3 题序 2 32 解：(1)将点B(4，0)代入y=-x2+(a-1)x+2a， 得-8+4(a-1)+2a=0， ∴a=2，∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4， 令x=0，则y=4，∴c=4， 令y=0，则0=-x2+x+4， ∴x1=4，x2=-2，∴A(-2，0)，即b=-2. 1 3 题序 2 33 (2)如图，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点A作y轴的平行线交BC的延长线于点H. 设直线lBC：y=kx+b，将点C(0，4)， B(4，0)分别代入得b=4，k=-1， ∴直线lBC：y=-x+4. 设P(m，-m2+m+4)， 则D(m，-m+4). ∴PD=yP-yD=-m2+m+4- (-m+4)=-m2+2m. ∵PD∥AH，∴△PMD∽△AMH，∴=. 1 3 题序 2 34 将x=-2代入y=-x+4得y=6，∴AH=6. ∵===， ∴===，∴PD=，∴=-m2+2m， 解得m1=1(舍去)，m2=3，∴P(3，). 1 3 题序 2 35 $$