专题06 解三角形范围与最值问题（5大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题06 解三角形范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：求周长范围与最值问题 题型二：求面积范围与最值问题 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 题型四：转化为角的范围 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【知识点梳理】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 题型一：求周长范围与最值问题 【例1】（23-24高一下·宁夏银川·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【变式1-1】（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，． (1)若，求的面积； (2)求周长的最大值． 【变式1-2】（2025·四川南充·模拟预测）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题． 在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，． (1)若 ， 求的面积; (2)求周长的取值范围． 题型二：求面积范围与最值问题 【例2】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【变式2-1】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【变式2-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，. (1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ (2)求烧烤区占地面积的最大值. 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 【变式3-1】（2021·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏泰州·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)若的面积为，以为边长的三个正三角形的面积分别为. （i）求的值； （ii）若，求的值； (2)设的中点为，且，求的取值范围. 题型四：转化为角的范围 【例4】（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【变式4-2】（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【变式5-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【强化训练】 1．（23-24高一上·山东临沂·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围. 3．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，在中，，，为中点，直线与边交于点． （1）若，求长度； （2）求长度范围． 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 5．（24-25高一下·江苏扬州·期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的最小值. 6．（24-25高一下·广西·阶段练习）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 7．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 8．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 9．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 10．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 11．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：求周长范围与最值问题 题型二：求面积范围与最值问题 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 题型四：转化为角的范围 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【知识点梳理】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 题型一：求周长范围与最值问题 【例1】（23-24高一下·宁夏银川·期末）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）因为， ，由余弦定理可得，，因为，由（1）知，舥， 所以，当且仅当时取等号，所以 所以，此时为等边三角形 （3）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是． 【变式1-1】（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，． (1)若，求的面积； (2)求周长的最大值． 【解析】（1）法一：∵，由正弦定理得， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴． 由余弦定理得：， ，，∴或4， ∴ 或． 综上，的面积为或. 法二：由余弦定理得，，∴， ∴，∵，． 由余弦定理得：， ，，∴或4， ∴ 或． 综上，的面积为或. （2）法一：由正弦定理得：， ,其中， 所以当时，； 法二：由余弦定理得：∵，∴， ∵， ∴ ，当且仅当时取到最大值． 【变式1-2】（2025·四川南充·模拟预测）在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题． 在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，． (1)若 ， 求的面积; (2)求周长的取值范围． 【解析】（1）若选条件①， 由 及正弦定理， 得 即 ， 化简得， 因为， 所以， 所以，因为 ， 所以． 若选条件②， 由 及正弦定理， 得， 即， 化简得, 因为 ， 所以， 所以，因为 ， 所以． 若选条件③， 由 化简得，， 由余弦定理得， 即，因为 ， 所以， 所以三个条件，都能得到. 由余弦定理得 ， 即， 解得， 所以 的面积. （2）因为 ， 由正弦定理得， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以， 所以 ， 即， 所以周 长的取值范围为. 题型二：求面积范围与最值问题 【例2】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【解析】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． （2）由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 【变式2-1】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【解析】（1）在中，有，，， 由余弦定理可得， ， 所以，. 又易知，则. 设，则， 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 所以有， 所以，， 此时 （2）不妨设， 在中，由余弦定理得. 由正弦定理可得， 整理可得. 又， 所以有， 化简可得. 则 . 又，所以， 所以，当，即时该式取最大值， 所以. 【变式2-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，. (1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ (2)求烧烤区占地面积的最大值. 【解析】（1）在中，米，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米时，等号成立， 所以，要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，米. （2）设米，则米，设， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，烧烤区面积的最大值为平方米. 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）记的内角的对边分别为，已知的面积． (1)求； (2)若，求； (3)若，且存在最大值，求正数的取值范围． 【解析】（1）由已知可得， 因为，所以， 所以． 由余弦定理可得， 所以． （2）因为，所以， 又因为，所以， 于是， 由正弦定理得． （3）因为，且，所以， 所以 ，其中． 要使得存在最大值，则能取到，因为， 所以，于是，所以， 于是，解得． 【变式3-1】（2021·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【解析】（1），，， 在中，，解得：，易知C为锐角， ， ； （2）在中，，得：， 在中，，得：， ， ，， ， ，，， 故的取值范围为． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏泰州·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)若的面积为，以为边长的三个正三角形的面积分别为. （i）求的值； （ii）若，求的值； (2)设的中点为，且，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 因为在中，，所以，即， 因为，所以； （i）因为的面积为， 所以，即， 因为，所以， 若以为边长的三个正三角形的面积分别为， 所以，，， 所以， 即， （ii）因为，， 所以由正弦定理可得：， 所以，， 又因为，所以， 在中，， 所以，故， 即. （2）因为的中点为， 所以在中，由于，，，， 则，即， 则由余弦定理可得：， 即，所以， 又因为，所以， 即 ，所以，当且仅当时等号成立. 故的取值范围. 题型四：转化为角的范围 【例4】（23-24高一下·广西南宁·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【解析】（1）由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； （2）设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【解析】（1）在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 【变式4-2】（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又，     ，即， 又，则 ，则. （2）由（1）及题设可得，即，     将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得，     所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，则，，又，； （2）在中，由正弦定理， ， ， 又为锐角三角形，， ，， ，，， 故周长的取值范围为． 【变式5-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【解析】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得                   所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． 【强化训练】 1．（23-24高一上·山东临沂·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若，求的范围. 【解析】（1）由得：， ， 即， ，， ，，，解得：. （2）由（1）知：， ，，， 或，即或； ，当时，，不合题意，， ， ，，. 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围. 【解析】（1）由正弦定理得：， ，， ， ，，，. （2）由正弦定理：，则，， ，， 周长为 ， 又锐角，，结合 ，，，，即周长的范围是. 3．（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，在中，，，为中点，直线与边交于点． （1）若，求长度； （2）求长度范围． 【解析】（1）设，则， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有： ， 故即，故. （2）设，则， 如图，过作的平行线，交于， 因为为的中点，故为的中点且， 因为，故，故，故， 所以. 在中，由余弦定理有：， 在中，由余弦定理有：， 故即 在中，有，故， 故，故. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. （3）由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 5．（24-25高一下·江苏扬州·期中）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B； (2)若，求的值； (3)若，，求实数的最小值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以，所以， 即，又所以，得； （2）由即①， 由余弦定理得②， 由①②得，由且点为的费马点， 则， 故， 化简得：， 即； （3）设，，， 在，，中，由余弦定理得， ， ， 又则得，， 即， 由，则， 故， 即有，解得或（舍去）， 当且仅当且且，解得时，等号成立， 故实数的最小值为. 6．（24-25高一下·广西·阶段练习）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： (1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【解析】（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图：    过作于，则，，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，， 由得：， 整理得，则 ． （ii）由（i）知，点在内部，且，    设，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得，即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 7．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 【解析】（1）因为，所以.   因为，所以，所以，故. （2）由正弦定理，可得， 所以，，所以. 因为，所以， 因为     ， 所以. 因为，所以，所以.   所以，即，所以， 即△周长的取值范围为. 8．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得， 在中，，则， 则， 得， 在中，，则，所以． （2）在中，由余弦定理得， 由（1）知，又， 则， 即， 又，则， 得，则， 当且仅当时，等号成立． 所以周长的最大值为． 9．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【解析】（1），故， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以， 所以为钝角三角形； （2）由（1）知， 又，故， 即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，周长的最大值为 10．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得， 又，可得； （2）由题意可得，， 由余弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又， 故，当且仅当时取等号， 即的周长的取值范围为. 11．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【解析】（1）由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； （2）①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$