专题03 解三角形（11类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦正余弦定理的系统性应用，覆盖从基础求解到综合拓展的11个考点，题型分层递进，强化逻辑推理与实际应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理解三角形|13题|已知边边角、角角边等条件求边或角|从基本定理直接应用到多解情况判断，构建"定理-条件-求解"逻辑链| |面积与形状问题|13题|面积计算、形状判断（等腰/直角等）|结合面积公式与边角关系，体现几何直观与推理能力| |最值与范围|10题|周长/面积最值、锐角三角形条件限制|运用函数思想与不等式，强化数学思维的严谨性| |中线/角平分线/实际问题|14题|中线长度、仰角测量等实际场景|从平面几何到实际应用，培养模型意识与空间观念| |与三角函数综合|4题|结合三角函数性质求范围|跨模块知识融合，提升综合解题能力|

专题03 解三角形 考点 01 余弦定理解三角形 考点 07 三角形面积的最值与范围问题 考点 02 正弦定理解三角形 考点 08 三角形周长的最值与范围问题 考点 03 正弦定理判断三角形解的个数 考点 09 三角形的中线、角平分线及高的问题 考点 04 三角形面积公式及应用 考点 10 解三角形中的实际问题 考点 05 三角形形状的判断 考点11 正余弦定理与三角函数性质的综合 考点 06 三角形中的边角互化问题 考点 01 余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，若，，，则等于（） A． B．7 C．4 D．8 6．（25-26高一下·江苏常州·期中）记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 考点 02 正弦定理解三角形 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江·期中）在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 考点 03 正弦定理判断三角形解的个数 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1）    （2） （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 4．（24-25高一下·浙江宁波·月考）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点 04 三角形面积公式及应用 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的面积，则（    ） A． B．4 C． D．6 5．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 6．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点 05 三角形形状的判断 1．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 5．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，试判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．非特殊三角形 考点 06 三角形中的边角互化问题 1．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 5．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 考点 07 三角形周长的最值与范围问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 3．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 4．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 考点 08 三角形面积的最值与范围问题 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 6．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 考点 09 三角形的中线、角平分线及高的问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 5．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. (1)求中线的长； (2)若的平分线为，求的长； (3)求的余弦值. 8．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 考点 10 解三角形中的实际问题 1．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 2．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 5．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则_____. 6．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 考点11 正余弦定理与三角函数性质的综合 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 2．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 考点 01 余弦定理解三角形 考点 07 三角形面积的最值与范围问题 考点 02 正弦定理解三角形 考点 08 三角形周长的最值与范围问题 考点 03 正弦定理判断三角形解的个数 考点 09 三角形的中线、角平分线及高的问题 考点 04 三角形面积公式及应用 考点 10 解三角形中的实际问题 考点 05 三角形形状的判断 考点11 正余弦定理与三角函数性质的综合 考点 06 三角形中的边角互化问题 考点 01 余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）在△ABC中，满足，则（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由余弦定理得：，又因为， 所以. 2．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】在，，，， 则， 所以. 3．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化可得： ，设， 则. 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 5．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，若，，，则等于（） A． B．7 C．4 D．8 【答案】B 【分析】用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】因为，，，且， 所以， 因为，所以. 6．（25-26高一下·江苏常州·期中）记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式及条件，结合余弦定理，可得，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】由面积公式得，则， 由余弦定理得， 两式联立得， 由，即， 又，则， 整理得，解得或（舍）. 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 由余弦定理得：，， ，解得：，. 考点 02 正弦定理解三角形 1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出角，然后再求解的值. 【详解】由，，，可得 ，所以，. 3．（25-26高一下·浙江·期中）在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理， 所以， 又，所以 所以或． 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以. 5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 考点 03 正弦定理判断三角形解的个数 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1）    （2） （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于（1），，由正弦定理得， 因为且，所以为锐角，所以只有一解， 对于（2），，因为， 所以三角形有两个解； 对于（3），， 由余弦定理可得， 则，所以三角形有唯一解； 对于（4），， 由余弦定理可得， 所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解， 综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个. 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 4．（24-25高一下·浙江宁波·月考）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 考点 04 三角形面积公式及应用 1．（25-26高一下·江苏南通·期中）在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 2．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理：. 代入已知条件，，， 得， 即， 解得或. 由题设，故. 的面积 3．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系及三角形内角的性质得，根据正弦定理边角关系、余弦定理求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，，则， 由正弦边角关系得，令， 由，则，可得， 所以，则. 4．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的面积，则（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】由，可求出，再由余弦定理可求出，从而可求出的值. 【详解】因为，， 所以，得， 因为， 所以由余弦定理得，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 5．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】C 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 6．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 考点 05 三角形形状的判断 1．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边长比值，通过余弦定理得到最大角的余弦值 大于，进而判断三角形为锐角三角形 【详解】由正弦定理可得，则，， 因此根据余弦定理，即， 而由可知，三角形为锐角三角形. 2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正余弦的边角关系及三角恒等变换得到（或），即可得. 【详解】法一：由及正弦边角关系得，又， 所以，即， 由，则，且，即， 法二：， 综上，是直角三角形且，但不能确定的关系. 3．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以是等腰直角三角形. 4．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 5．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由， 根据正弦定理，得， 又， 则， 即，在中，， 则，因为，所以，则为直角三角形. 6．（25-26高一下·江苏连云港·期中）在中，已知，试判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得，即， 因为，所以，所以是等腰直角三角形. 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．非特殊三角形 【答案】A 【分析】直接根据余弦定理判断可得两边相等，进而可判断三角形的形状. 【详解】在中，，根据余弦定理得：， 化简整理，即,得，故. 因为有两条边相等，因此是等腰三角形，无法推出一定是直角三角形. 所以只有A正确. 考点 06 三角形中的边角互化问题 1．（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 2．（25-26高一下·重庆·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由代入，结合余弦定理即可求解． 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 3．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得出的值，分析可知为锐角，再利用同角三角函数的基本关系可得出的值. 【详解】因为，，由正弦定理得，故， 由题意可知，则，故为锐角，所以. 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得，所以. 5．（25-26高一下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 6．（25-26高一下·山东临沂·期中）在中，内角A，B，C所对边分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简可得即可求解. 【详解】，由正弦定理得. 结合余弦定理可得， 根据正弦定理得， ， 因为为三角形的内角，则 考点 07 三角形周长的最值与范围问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式，可得角C，根据正弦定理，可得边长c的值，根据余弦定理，结合基本不等式，可得的范围，分析即可得答案. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由正弦定理将已知条件中的边与角的混合等式转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简等式，进而求出角； （2）已知和角，要求周长最大值，可先结合余弦定理得到关于的关系式，再利用基本不等式求出的取值范围，进而得到周长的最大值. 【详解】（1），由正弦定理得，即，得； 又，∴，得； ，，得； ，； （2），，由余弦定理得，即 ； ，，，当且仅当时等号成立； ，解得，当且仅当时等号成立； 又为的边长，，，即； ，得； 周长的最大值是12. 3．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解 （3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理有 即 展开化简得, ，，，，, , ，. （2）由（1）可知，， 由余弦定理：得， 又，，即，联立 解得，所以. （3）由正弦定理， ∴. ∴ . ∵为锐角三角形，， 可得 ，解得：， ∴，∴ ∴，∴， ∴的范围是. 4．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 考点 08 三角形面积的最值与范围问题 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求解，由正弦定理求解边长，再由化简，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为， 则由余弦定理得， 因为，则， 设的外接圆半径为，则， 由正弦定理得，， 则即为， 因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则， 则面积的最大值为. 3．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 5．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    6．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 考点 09 三角形的中线、角平分线及高的问题 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解 【详解】题中已知 由半角公式得 化简得 再化简得，即， 解得或，因为，所以， 是的角平分线，点在上，， ， ，，， ， 化简得，即， 将代入得：，那么， 由余弦定理： 得，即，所以. 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法，结合三角形面积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 解得. 3．（25-26高一下·河北石家庄·阶段检测）在中，，，，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 则．设边上的高为，由等面积法可得， 则． 4．（多选）（25-26高一下·江苏·期中）在锐角中，角所对的边分别为，则（   ） A． B．的取值范围是 C．存在，其面积为1 D．边上的中线长的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理，得， 则 ， 即， 则， 即 ， 在锐角中，，则， 则，即，故A正确； 对于B，由，则， 在锐角中，，即，则， 由正弦定理，得，故B错误； 对于C，由，，，，即， 根据正弦定理，得，则，即， 则 ， 因为函数在上单调递减， 且时，，时，， 所以，则， 则存在，其面积为1，故C正确； 对于D，设的中点为，则， 所以 ， 又， 而，则， 则， 令，则， 令，则， 因为函数在上单调递增，且时，，时，， 则，即，则， 所以， 即边上的中线长的取值范围是，故D正确. 5．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 7．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. (1)求中线的长； (2)若的平分线为，求的长； (3)求的余弦值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解. （2）利用三角形面积公式列式求解. （3）利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）在中，，由为的中点，得， . （2）由的平分线为，得，由， 得， 所以. （3）由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 8．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 考点 10 解三角形中的实际问题 1．（24-25高一下·江苏·期中）镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度MN，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物AB，高约为170m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，苏宁广场顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（   ） A．320m B．340m C．360m D．380m 【答案】B 【分析】在中，根据题意可得.在中，利用正弦定理可求出的值，然后在中即可求解的值. 【详解】在中，，，∴. 在中，，， ，， ∴由正弦定理可得，∴. 在中，，，∴. 故选：B. 2．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：，​ 又，即 ， 是 中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式： ，​ 化简计算： ， 因此木铎金声钟的高约为 . 3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求出即可. 【详解】在中，， 则， 在中，，由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，. 二、填空题 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 5．（24-25高一下·河北唐山·期中）地面上有两座相距120米的塔，高塔的高为米，矮塔的高为米，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点处望两塔塔顶的仰角互为余角，则_____. 【答案】 【分析】在直角三角形中分别表示出、的正切值，由二倍角公式建立关系，再分别表示、的正切值，利用互余建立关系，然后解方程组即得. 【详解】 设在O点望高塔塔顶的仰角为β，， 由二倍角的正切公式得，即， 由在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，得在O点望矮塔顶的仰角为， 由， ，而 则， 因此，解得，所以. 故答案为： 6．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】在中， ， 根据正弦定理，代入，，， 得，解得. 在中，，，， 所以，且， 根据余弦定理，在中，， 代入得， 因此. 故答案为：. 考点11 正余弦定理与三角函数性质的综合 1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求A的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，所以，进而得到，即可求得的大小； （2）由正弦定理化简得到，再由为锐角三角形，得到，求得的范围，进而得到的取值范围； （3）由余弦定理得和，得到，化简，根据，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 则，可得，所以. （3）解：由余弦定理，可得，即， 又由 则， 由 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，则，即， 所以，即的取值范围为. 2．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 4．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若. (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先用余弦定理写出关于边的表达式，再代入已知等式化简，之后结合正弦定理将边的比值转化为正弦的比值，再利用三角恒等变换公式证明角的等量关系； （2）首先根据锐角三角形的条件确定的取值范围，再利用正弦定理将转化为关于角的正弦表达式，再结合和三角形内角和为，将表达式统一为关于的三角函数，最后根据三角函数的单调性求取值范围 【详解】（1）由余弦定理得 因为，所以 由正弦定理得，，，代入上式得 因为，所以，， 代入得， 展开得， 整理得， 即. 因为，所以，故有两种情况： ，即； ，即（舍去）， 因此. （2）由（1）知，则. 因为是锐角三角形，所以三个内角均小于， 所以， 解得. 由正弦定理得， 化简得， 又，所以， 令，因为，故. 设函数，. 因为和都单调递增，所以在区间上单调递增. 时，， 时，， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $